第2章 §3 第1课时 函数的单调性(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固]

1．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)

A.＞0

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0

C．若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)

D.＞0

解析　因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A、B、D都正确，而C中应为若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)．故C错误．

答案　ABD

2．下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．f(x)＝3－x　　　 B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝－|x|  D．f(x)＝－

解析　对于A，f(x)＝3－x为一次函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于B，f(x)＝x2－3x为二次函数，在区间上单调递减，不符合题意；对于C，f(x)＝－|x|＝在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，f(x)＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意．故选D.

答案　D

3．函数y＝x2－6x的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]  B．[2，＋∞)

C．[3，＋∞)  D．(－∞，3]

解析　y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故单调递减区间为(－∞，3]．

答案　D

4．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　)

A．f(x1)<f(x2)  B．f(x1)>f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)  D．不能确定

解析　由函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.

答案　D

5．若函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析　要使f(x)在R上是减函数，

需满足

解得≤a＜，故选A.

答案　A

6．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________.

解析　f(x)的图象的对称轴为x＝＝－2，

∴m＝－8.

∴f(x)＝2x2＋8x＋3.

∴f(1)＝2＋8＋3＝13.

答案　13

7．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．

解析　y＝|x2－2x－3|

＝|(x－1)2－4|，

作出该函数的图象(如图)．

由图象可知，

其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．

答案　[－1,1]和[3，＋∞)

8．已知函数f(x)＝(x≠－1)．

(1)判断并证明函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性；

(2)当x∈[1，m](m＞1)时，函数f(x)的最大值与最小值之差为，求m的值．

解析　(1)函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．证明如下：

∀x1，x2∈(－1，∞)，且－1＜x1＜x2，

又f(x)＝＝2－，

则f(x1)－f(x2)＝2－－

＝.

因为－1＜x1＜x2，

所以x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知f(x)在[1，m]上单调递增，所以此时f(x)的最大值为f(m)＝，最小值为f(1)＝，所以f(m)－f(1)＝，即－＝，解得m＝2.

[关键能力·综合提升]

9．(2025·河南安阳联考改编)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝3f(|x|)＋x2－2x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)

A．[－5,0]

B．[1，＋∞)

C．[－5,0]∪[1，＋∞)

D．[－5,0]和[1，＋∞)

解析　当x≥0时，f(x)＝3f(x)＋x2－2x，

则f(x)＝－x2＋x，

所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减；

当x≤0时，－x≥0，

所以f(－x)＝－x2－x，