1.3.2基本不等式 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的推导、成立条件及应用，通过赵爽弦图几何直观与代数推理（(a-b)²≥0）双途径导入重要不等式，衔接至均值不等式，搭建“具体到抽象”的学习支架。 特色在于融入数学史（如欧几里得、阿基米德）与几何代数双推导，以“半径≥半弦长”几何解释深化理解，培养数学眼光与思维。例题紧扣“一正二定三等”，如例3辨析命题强化推理意识，助力学生构建逻辑体系，教师可直接用于教学提升效率。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 预备知识 第3节 不等式 3.2 基本不等式 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立条件 2、用基本不等式解决代数式或函数的最值，并会解决一些实际问题 1、基本不等式的应用 1、基本不等式推导过程及成立条件 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 2002年8月20日至28日，第24届国际数学家大会 在北京召开，本次大会的会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的. 在正方形ABCD中，AF=a,BF=b, 则AB=_____________， 正方形ABCD的面积S= _________， RtΔABF,RtΔBCG,RtΔCDH,RtΔADB是 全等三角形,它们的面积总和为S’=________， 则S______S’,即a2+b2_______2ab 当a=b时，四边形EFGH缩小为一个点，此时S___S’,即a2+b2____2ab 2ab ＞ ＞ = = 3 新 知 引 入 韦 达 对于任意实数a和b, 因为（a一b)2 ≥0 所以a2-2ab+b2≥0, 所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立) 可以看出，通过两种不同的途径，我们都得到了一个结论： a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立) 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 重要不等式 ∀，∈R，有，当且仅当时，等号成立. 此公式可变形为：___________________________________________ (当且仅当时，等号成立) 如果，那么用分别代替上式中的， 可得_______________________________________________ (当且仅当时，等号成立) 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 通常称不等式为基本不等式(又称均值不等式)， 其中:叫作正数a,b的算术平均值,叫作正数a,b的几何平均值. 文字叙述：两个非负实数的算数平均值大于或等于它们的几何平均值。 均值不等式 当且仅当时取等号.当，只能有. 注意：1、 2、 3、 均值不等式成立的条件： 公式的变形形式：，. (其中，，当且仅当时等号成立) 6 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 均值不等式的几何解释：半径大于或等于半弦长。 如图，是圆的直径，点是上任意一点，，，过点作垂直于且交圆于点，连接，. OP=_____________ PQ=_____________ 显然：OP______PQ，即 ______ 当且仅当a=b时，_______ ＞ ＞ = 7 学 习 新 知 重要不等式 均值不等式 公式 a,b的范围 “=”成立 的条件 拉格朗日 当且仅当a=b时 等号成立. 当且仅当a=b时 等号成立 a,b∈R a,b∈R 当且仅当a=b时 等号成立 当且仅当a=b时 等号成立 8 学 习 新 知 布 丰 均值不等式(完整版)当且仅当a=b时，等号成立. 其中为平方平均数，为调和平均数. 的证明：要证，只需证， 只需证，只需证，只需证， 而显然成立，因此成立. 的证明：要证，只需证，只需证， 只需证，只需证， 而显然成立，所以成立. 9 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、下列不等式中正确的是(　　) A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4 C．a2＋2＋≥4 D．a2＋≥4 解：A. a2＋b2－4ab＝(a－b)2－2ab不一定大于等于零，所以该选项错误； B．当a取负数时，显然a＋<0，所以该选项错误； C．a＝0时，a2＋2＋＝<4，所以该选项错误； D．a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时取等号。 10 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、当a,b∈R时,下列不等关系成立的是　　　. (填序号) ①≥②a-b≥2③a2+b2≥2ab④a2-b2≥2ab  解：根据 ≥ab, ≥ 成立的条件判断，知①②④错误。 11 典 例 引 路 柯 西 例2、已知 a>0，b>0，c>0，求证:a+b+c≥++ 证明：因为a>0，b>0，c>0，所以由均值不等式可得： a+b≥，当且仅当a=b时，等号成立； b+c≥，当且仅当b=c时，等号成立； a+c≥，当且仅当a=c时，等号成立； 上面三式相加，得2a+2b+2c≥2+2+2 即：a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时，等号成立。 多次使用均值不等式时,要注意等号能否同时成立。 12 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知a,b,c＞0,求证： + + ≥ a+b+c 证明：∵a＞0,b＞0,c＞0 ∴＞0,＞0,＞0 ∴ + ≥ 2c,当且仅当 = ,即a=b时，等号成立 + ≥ 2b,当且仅当 = ,即a=c时，等号成立 + ≥ 2a,当且仅当 = ,即b=c时，等号成立 三式相加得2（++）≥2(a+b+c) 即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时，等号成立。 13 学 习 新 知 伯努利 已知，都是正数， (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 证明：因为x，y都是正数，所以 . （1）当积xy等于定值P时， ，所以 ， 当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值. （2）当和x+y等于定值S时， ,所以 ， 当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值 14 学 习 新 知 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三等”的原则，即 (1)一正：，). (2)二定：化不等式的一边为定值. (3)三等：必须存在取“”的条件，即“”成立. 以上三点缺一不可. 已知，都是正数， (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 佩雷尔曼 15 典 例 引 路 牛 顿 例3、给出下列命题:①若x∈R,则x+≥2;②不等式+ ≥2;③若a<0,b<0,则ab+≥2;④不等式+≥2成立的条件是x>0,且y>0.其中正确的命题是　　　　　.(填序号)  解：①只有当x＞0时，才能由均值不等式得到x+≥2=2 ②由 = 得 x2 = -1,不成立。 ③当a<0,b<0时，ab＞0，由均值不等式可得ab+≥2=2 ④由均值不等式可知，当＞0且＞0时，有+≥2=2成立， 这时只需x与y同号即可。 16 同 步 练 习 黎 曼 练3、给出下面三个推导过程： ①因为，，所以； ②因为∈R，且，所以； ③因为，∈R，，所以.其中正确的推导过程为(　 　). A.①② B.②③ C.② D.①③ 解：因为，∈，所以，，符合基本不等式成立的条件，故①正确； 因为∈R，且不符合基本不等式成立的条件，所以是不成立的，故②错误；由，得，均为负数，但在推导过程中将看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确.故选D. D 17 典 例 引 路 狄利克雷 例4、函数在区间上的最小值是（ ） A.3 B.5 C. 4　 D. 解：由于，则函数， 当且仅当，即有，取得最小值4. C 18 同 步 练 习 庞加莱 练4、函数的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 解： 时等号成立. C 19 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、若，则的最小值是___________. A.4 B.5 C.6 D.7 解：∵ ，∴ ， ∴ ， 当且仅当时取等号，∴ 的最小值是5. 20 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、若，且，则的最小值为_________． A.18 B.17 C.16 D.15 解：∵,且，解得. ∴ ， 当且仅当时取等号，此时的最小值为18. 21 典 例 引 路 华罗庚 例6、已知，，且，则的最小值是______. 解:因为，，且， 所以 ， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为9. 22 同 步 练 习 洛必达 练6、若，，求的最小值. 解：因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 联立与，得显然存在满足，所以等号能成立， 所以的最小值为. 23 典 例 引 路 傅里叶 例7、如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计） （1）现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为24 ，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 解：（1)设每间禽舍的长为，宽为， 则，即， 则每间禽舍的面积， 应用基本不等式，有，即，所以， 当且仅当时，不等式中的等号成立，联立与， 得，=3. 因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为 4.5 m和 3 m 时， 可使每间禽舍面积最大，最大面积为. 24 典 例 引 路 贝叶斯 例7、如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可 利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（接头处不计） （1）现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各 设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为24 ，则每间禽舍的长、宽各设计 为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 解：(2)设每间禽舍的长为，宽为， 则，则钢筋网总长 ，应用基本不等式， 有，即 ，当且仅当时，不等式中的等号成立， 联立与，得，=4. 因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为 6 m和 4 m 时，可使钢筋网总长最小，最小钢筋网总长为. 25 同 步 练 习 陈景润 练7、某镇计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少? 解：设矩形温室的左侧边长为 m，后侧边长为 m，蔬菜的种植面积为 m2， 则，所以，当且仅当，即，时等号成立，则最大值. 故当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2 26 全 课 总 结 一、基本不等式（均值不等式） 二、用基本不等式求最值 27 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 28 $