素养提升小题专项训练29：平面向量-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题专项训练29：平面向量（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一、单选题 1.（重庆市部分区县2025届高三下学期5月三诊T8）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 2.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A. 44 B. 48 C. 72 D. 76 【答案】B 【解析】设点，正六边形的边长为4，所以， 所以， 所以， 设点到原点的距离为，则的最大值为， 由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点， 如图，可取，所以， 即的最大值为48. 故选：. 3.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则 A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】法一：如图①，过点作，，垂足分别是，， 因为，所以， 又，所以四边形为正方形，所以， 又，所以，则，故； 法二：以，所在直线分别为，轴，建立如图②所示的平面直角坐标系， 设，则， 因为，所以，， 由，得，解得，故. 故选：A 4.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】法一：建立如图所示坐标系，由题易知，设，，，，设， 法二：注意：，，，且 ，， ，， 其中，， 二、多选题 5. （源于教材）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ） A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为6分钟 D. 当时，船的航行距离为 【答案】AC 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 6.（福建省南平市2025届高三下学期三模T11） 已知向量满足，则（ ） A. 当时，与的夹角为 B. 当时，在上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 【答案】BCD 【详解】当时，可得，又，所以，故A错误； 由，可得，又，所以， 所以，所以在上的投影向量为，故B正确； 设的夹角为， 所以，， 所以， 设，所以， 因为，所以，所以， 当时，，所以，故C正确； 当时，，所以，故D正确. 故选：BCD. 7.在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，则称函数具备“性质”.则下列函数具备“性质”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】选项A，如图所示，曲线，当点取得时，要使得点满足成立，那么点落在直线上，而此时与两直线是平行的，不存在交点，故此时不满足在上存在点，使得成立，故选项A错误； 选项B，如图所示，曲线，对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，故选项B正确； 选项C，如图所示，曲线，当点取得时，要使得点满足成立，那么点落在直线上，而此时与两曲线不存在交点，故此时不满足在上存在点，使得成立，故选项C错误； 选项D，如图所示，曲线，对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，故选项D正确； 故选：BD 8. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 【答案】ABD 【解析】如图，过点C作于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知，所以， 设，则，又，所以，所以， 在中，，又，所以， 所以，，，所以， 在中，易得， 所以边BC的高为，故选项A正确； 在中，由余弦定理的推论得， 又因为，所以，故选项B正确； ，故选项C错误； 设的中点为，则， 所以， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 9.（上海市浦东新区2025届高三下学期二模T11改编） 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的余弦的最大值为__________． 【答案】 【解析】可设，设， 则， 所以，两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得：，设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 10.向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时， 【答案】 【解析】设为x轴正半轴上的单位向量， 可令，，， 如图所示，知，若， 故， 而， 即，所以，又 ， 所以 ，要与的夹角最大，即最大，即最小， 由 ， 当且仅当时取等号，所以当与的夹角最大时，  11.（天津市滨海新区2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测T14） 已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则______； （2）与的面积之比的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】（1） ； （2）因为，所以， 因为M，O，N三点共线，故，即， 又因为，而，， 则，即，当且仅当时取等号， 所以与的面积之比的最小值为. 故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题专项训练29：平面向量（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一、单选题 1.正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 2.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A. 44 B. 48 C. 72 D. 76 3.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则 A． B． C．2 D． 4.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5. （源于教材）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ） A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为6分钟 D. 当时，船的航行距离为 6. 已知向量满足，则（ ） A. 当时，与的夹角为 B. 当时，在上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 7.在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，则称函数具备“性质”.则下列函数具备“性质”的是（ ） A． B． C． D． 8. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 三、填空题 9.（上海市浦东新区2025届高三下学期二模T11改编） 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的余弦的最大值为__________． 10.向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时， 11. 已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则______； （2）与的面积之比的最小值为______. 学科网（北京）股份有限公司 $$