第十五章《轴对称》 单元检测卷 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十五章《轴对称》单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点和 （  ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 3．如图，在∆ABC中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则∆ADE的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 4．如图，∆ABC与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．∆ABC与面积相等 D．垂直平分， 5．如图，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，，，点D是斜边上的一点，连接，与关于对称，连接并延长交的延长线于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．∆ABC是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A．B．C．D． 9．如图，在∆ABC中，，垂足为D，，．E，F为∆ABC边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 10．如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边∆ABC和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在∆ABC中，点D在边上，，是的垂直平分线．若，，则的长为 ． 12．如图，在∆ABC中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，．则 ． 13．如图，在∆ABC中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 14．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 15．如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角∆ABC做了一个探究活动：将的直角顶点放在∆ABC的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 16．如图，在中，，，点，分别是边，边上的动点，将∆BDE沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，∆ABC与∆ADE关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 18．如图，已知∆ABC的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出∆ABC关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． (2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 19．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 20．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 21．在∆ABC中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 22．已知，如图，，点分别为垂足，，． (1)证明：； (2)试说明平分 (3)延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 23．已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为． (1)如图1，，，则______； (2)如图2，猜想，，的关系，并证明； (3)如图3，在∆ABC中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，∠ADF=90°，作于点E，，若，，直接写出∆CDF的面积． 24．已知∆ABC为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 25．（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，∆ABC中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，∆ABC中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 参考答案 一、选择题 1．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形． B选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数， 根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则∆ADE的周长为， 故选：D 4．A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分，， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，对称性得到，进而得到，设，求出的度数，再进行计算即可． 【详解】解：∵与关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵； 故选C． 7．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵∆ABC是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 9．B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 10．C 【详解】解：∆ABC和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 二、填空题 11．10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再证明，即可得到答案． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角性质，等角对等边，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数；最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长交于点，可证，得到，，由补角性质可得，即得，得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到重叠部分四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∵点M是斜边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积． 故答案为： 16．或或． 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；进而求出．由即可求解，同理可求当时，③当时． 【详解】解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： ①当时， ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， ②当时，如图： ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， ③当时，如图： ∴， ∴， ∴； 由折叠可知：， ∴， 综上所述，为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 17．（1）解：与关于直线对称， ， ， ． （2）与∆ADE关于直线对称，， ， ， ． 18．（1）解：如图，即为所求． 则． （2）解：如图，点即为所求． ． 19．（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又∵C∆OEF=OE+EF+OF， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 20．（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即． ∵， ∴． ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 21．（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， 同理可得：， ； （2）解：， ， ，， ； （3）解：， ， ． 22．（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 23．（1）解：，垂足为D，，垂足为E， ， ， 在∆ABC中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：4； （2）解：，，的关系是：，证明如下： ，垂足为D，，垂足为E， ， ， 在∆ABC中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：过点A作于点H，如图所示： 在∆ABC中，， ， ，， ， 于点H，于点E， ， ， 是等腰直角三角形，且∠ADF=90°， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 的面积为：． 24．（1）证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ； （2）证明：， ， 又，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ． 25．解：（1）与全等；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与之间的数量关系为；理由如下： 如图②，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和∆CAF中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图③，作交于点L，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$