精品解析：广东省深圳市南山区2024—2025学年九年级上学期数学期中押题卷02

广东省深圳市南山区2025学年九年级上学期数学难点卷02 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 一、填空题（每题3分，共24分） 1. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 若关于一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 2023 C. D. 2024 3. 一元二次方程的解为（ ） A B. C ， D. ， 4. 在的正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） 方案Ⅰ ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接，交边于点，即为所求 方案Ⅱ ①取图中小正方形的顶点； ②连接交边于点．则即为所求．- A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 5. 某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　） A. 4 B. 16 C. 24 D. 32 6. 若平行四边形的一边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为． 其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知，则的值为________． 10. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为____． 11. 对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于一元二次方程的两个实数根，则※=_____． 12. 如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为_____． 13. 如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为_________． 三、计算题 14. 解下列方程 （1） ； （2）； （3）； （4）． 四、解答题 15. 为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数； （2）将两个统计图补充完整； （3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率． 16. 如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； （2）图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． （3）图3中，在线段上画一个点，使． 17. 如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 18. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 19. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省深圳市南山区2025学年九年级上学期数学难点卷02 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上． 3、考试结束，监考人员将答题卡收回． 一、填空题（每题3分，共24分） 1. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键，确定出三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， 故选A． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 2023 C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可． 【详解】解：将代入，得， ， ， 故选B． 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ∴，， 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法及根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 4. 在正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） 方案Ⅰ ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接，交边于点，即为所求 方案Ⅱ ①取图中小正方形的顶点； ②连接交边于点．则即为所求．- A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征证明三角形全等进行判断即可． 【详解】解：方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行， 如图，有网格特性可知，, ∴, ∴ ∵, ∴, ∴ 故方案II可行， 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图思想，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的基本做法是解题的关键． 5. 某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　） A. 4 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的概念，理解相关概念是解题的关键．根据旋转的性质和周角是360°求解即可． 【详解】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转一圈需要转动扳手次，旋转4圈需要转动扳手次． 故选：C． 6. 若平行四边形的一边长为，一条对角线的长为，则另一条对角线长的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．根据平行四边形的对角线互相平分，以及三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形，，，， 则：， ∵， ∴，即：； 故选C． 7. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 四边形正方形， ，，， ， ， ， 平分， ， ， 在与, ， ， ， ， O为对角线的中点， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得是解题的关键． 8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为． 其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 设， ∴, ∴， ∴，故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示 ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故③正确； ④如图所示，以为圆心，为半径画圆， ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 已知，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意得到，再把代入所求式子中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 10. 如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像，结合不等式，得出函数在函数的下面，且它们的值小于，再根据交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵根据函数的图像，可知不等式的解集就是函数在函数的下面，且它们的值小于， 又∵，， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用图像法解不等式，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答． 11. 对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※=_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12. 如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交点于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，为边的四等分点，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，，则点到的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，二次根式的除法运算，等角对等边等知识，利用勾股定理建立方程是解题的关键．过点F作于H点，由矩形的性质及折叠性质得，进而在中，由勾股定理建立方程求得，从而求得，再由，利用面积法，即可求得． 【详解】解：过点F作于H点，如图； ∵四边形是矩形， ∴，，； ∴； 由折叠知：；， ∴， ∴； ∵为边的四等分点，且， ∴；， 在中，由勾股定理得：， 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∵， ∴， 又∵，即， ∴ 故答案为：． 三、计算题 14. 解下列方程 （1） ； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法，根据方程的特点选择恰当的解法是解本题的关键． （1）先化简，再用因式分解法求解即可； （2）先变形为，再用直接开平方法求解即可； （3）直接用因式分解法求解即可； （4）先变形为，再用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 化简得：， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 【小问3详解】 解：， ， 或， ，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ，． 四、解答题 15. 为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数； （2）将两个统计图补充完整； （3）随机抽取了4名喜欢“跑步”学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率． 【答案】（1）被调查的学生总人数为150，喜欢“跑步”的学生人数为60人； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数； （2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的， 被调查的学生总人数为（人）， 喜欢“跑步”的学生人数为（人）； 【小问2详解】 喜欢“跑步”的学生占学生总人数， 补全统计图如下： 【小问3详解】 画树状图得： 共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况， 刚好抽到2名女生的概率为＝． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； （2）图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． （3）图3中，在线段上画一个点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置． （1）根据位似比为，画出点A、B的对应点、，然后顺次连接即可； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点P． 【小问1详解】 解：即为所求 【小问2详解】 解：即为所求 根据勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 【小问2详解】 解：， 在中，，， ∴菱形的面积 18. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 【答案】（1）A系列单价为10元；B系列单价为15元 （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列方程解答即可． （1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设B系列单价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，根据销售额等于单价乘以数量列式 根据题意，得，解方程即可． 【小问1详解】 设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程，得， 经检验，是原方程的根，此时=15元， 答：A系列单价为10元；B系列单价为15元． 【小问2详解】 设B系列定价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， 故定价为8元． 答：B系列产品的实际售价应定为8元． 19. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【小问1详解】 解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$