第2单元 线与角预习讲义（知识清单+典型例题+跟踪训练）-数学四年级上册单元预习北师大版

线与角 单元预习 【第一篇】知识清单 线 直线、射线、线段： 直线没有端点，可以向两个方向无限延伸; 射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸; 线段有端点，不能向两个方向无限延伸。 过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，两点之间线段最短。 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 一条直线的平行线有无数条，过线外一点作平行线，只能画一条。 两条平行线之间的距离处处相等，两条平行线之间的垂线段就是他们的距离。 相交与垂直 相交：如果两条直线只有一个公共点，这两条直线叫相交直线。 垂直：两条直线相交成直角时，叫做两条直线相互垂直。两条直线互称为对方的垂线。 一条直线的垂线有无数条，过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条线是另一条线的垂线，这时两条直线的交点叫作垂足。 角 由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看成是一条射线围绕它的端点旋转而成的。 当角的两边旋转成一条直线时，这时所形成的角叫做平角;当角的两边经过旋转重合时，这时所形成的角叫做周角。 角有一个尖尖的顶点两条直直的边，角的大小与张口有关，张口越大角就越大，张口越小角就越小，角的大小与边的长短无关。 锐角、直角、钝角 小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角，大于90度小于180度的角是钝角，等于180度的角是平角，等于360度的角是周角。 认识度 将圆平均分成360份，把其中的1份所对的角叫做1度，记作1°，通常用1°作为度量角的单位。 认识量角器 量角器是把半圆平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心点、0刻度线、内刻度线、外刻度线。 量角器的使用方法 “两合一看”,“两合”是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。 看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线。 【第二篇】典型例题 考点1：相交与垂直 例题精讲1 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线相交的直线有( )条。 变式训练1 如下图所示，a是b的( )，b是a的( )。 考点2：旋转的角 例题精讲2 18时整，钟面上的时针和分针所成的角是( )角。 变式训练2 在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作( )角。 考点3：角度计算 例题精讲3 如图是由两个相同的三角尺拼成的，∠1＝58°，求∠2，∠3的度数。 变式训练3 如图，已知∠1＝35°，求∠2和∠3的度数。 考点4：线与角综合 例题精讲4 滑梯的坡度设计要综合考虑儿童安全、舒适性和玩耍体验等重要因素。一般来说，滑梯的坡度建议控制在30度到50度之间。（坡度是指滑道与地面的夹角） （1）量一量。滑梯的坡度是（    ）°。 （2）画一画。滑梯的右侧还有一个滑道，请画出符合坡度建议的滑道示意图（用一条线段表示），并标记上坡度的度数。 （3）哪一侧的滑梯更平缓、更安全？（    ）（填“左侧”或“右侧”） 变式训练4 学校举行风筝比赛，选手们用同样长度的风筝线把风筝送上高空。等风筝线放完且风筝飞稳后，将线的一端固定在地面上，再比较哪只风筝飞得更高。 （1）为了验证自己的想法，淘气用同样长的线代表风筝线，对不同飞行高度的风筝进行模拟，如图1、图2所示。量一量，图1中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图2中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图（    ）的风筝飞得更高。 （2）①在图3上画出风筝线与地面所形成的60°角，并用“·”标出风筝位置。（图3中的风筝线与图1，图2中的风筝线长度一样！） ②认真观察以上3幅图，图（    ）的风筝飞得最高，图（    ）的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，将你的发现或想要继续研究的问题写在横线上。 ___________________________________ 【第三篇】跟踪训练 一、选择题 1．如图中有（    ）组平行线。 A．2 B．3 C．4 2．亮亮用量角器量角时，错误地把外圈刻度当成内圈刻度，读的度数为50度，正确的度数应是（    ）。 A．40度 B．130度 C．150度 3．下图中，互相垂直的是（    ）。 A．线段AB和DC B．线段BC和DC C．线段AD和BC 4．用一副三角尺拼角，下面（    ）选项拼出的角是135°。 A． B． C． 5．用2倍的放大镜看30°的角，看到的角是（    ）。 A．30° B．60° C．90° 6．下面的角中，直接用三角尺就可以画出的是（    ）。 A．85° B．120° C．54° 7．平面内有三个点，过其中两点至少可以画（    ）条直线。 A．一 B．二 C．三 8．∠1＋∠2＋∠3＝180°，已知∠1＝42°，∠2＝35°，那么∠3＝（    ）。 A．7° B．77° C．103° 二、填空题 9．6时30分，钟面上分针与时针所组成的较小的夹角是( )角。 10．下图中，与射线①互相平行的线有( )条，与射线①互相垂直的线有( )条。 11．左图中一副三角尺组成的角是( )°，它是一个( )角。 12．∠1比直角大20°，∠1＝( )°；∠2比平角小55°，∠2＝( )°。 13．把一长方形纸片上下对折一次，再左右对折一次，打开后折痕互相( )。 14．如图，已知∠1＝60°，则∠2＝( )°，∠3＝( )°。 三、判断题 15．两条直线相交可以组成4个直角。( ) 16．下面图形中有1组线段互相平行，2组线段互相垂直。( ) 17．下图中的两条线段一样长。( ) 18．1周角＝2平角＝3直角。( ) 19．时间从3：30到3：45，分针旋转了90°。( ) 四、解答题 20．绿灯期间，兰兰和芳芳分别从公路两边走斑马线横向穿过笔直的公路（如图），她们走过的路程一样长吗？请说说你的理由。 21．把一张长方形纸按下图所示折叠。已知∠1＋∠2十∠3＝205°，则∠1、∠2、∠3各是多少度？ 22．如图，∠1＝∠2＝∠3，图中所有锐角的和是150°，∠1是多少度？ 23．如图。    （1）画出从A到B的最短的路线，量得它长（    ）。 （2）画出从点B到直线MN最短的距离。 24．台球中的数学知识。 李叔叔最喜欢看我国著名台球运动员丁俊晖参加的比赛。他发现台球选手打球时，当球撞向桌边的时候就会向另一个方向弹走。如图。 （1）请量出∠1、∠2的度数。 （2）猜一猜：如果∠1的度数变为15°，∠2会是多少度？ （3）通过上面的度量，你发现台球运动的路线有何特点？ 学科网（北京）股份有限公司 【第二篇】典型例题解析 考点1：相交与垂直 例题精讲1 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线相交的直线有( )条。 【答案】 两/2 三/3 【分析】如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直。在同一平面内，两条直线有公共点或两条直线不平行时，称这两条直线相交。以此结合题图即可解答。 【详解】观察图形可知，直线a、b与直线c相交形成的角是直角（图中有垂直符号），所以与直线c垂直的直线有两条。 图中的直线a、b都与直线c有公共点，直线d与直线c不平行，所以与直线c相交的直线有三条。 与直线c垂直的直线有两条，与直线相交的直线有三条。 变式训练1 如下图所示，a是b的( )，b是a的( )。 【答案】 垂线 垂线 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 【详解】结合垂直的含义可知： a是b的垂线，b是a的垂线。 【点睛】本题主要考查学生对垂线定义的掌握和灵活运用。 考点2：旋转的角 例题精讲2 18时整，钟面上的时针和分针所成的角是( )角。 【答案】平 【分析】24时计时法→普通计时法：加上时间限制词（如凌晨、早晨、上午、下午、晚上等），数大于12的需要减掉12，将18时整转化成下午6时；等于180°的角叫平角，钟面上时针指向6，分针指向12，它们之间形成的角是180°。 【详解】18－12＝6，所以18时＝下午6时。 18时整，钟面上的时针和分针所成的角是平角。 变式训练2 在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作( )角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作( )角。 【答案】 平 周 直 【分析】7月29日18：00时，时针指向6，分针指向12。 每小时对应的角度是：360°÷12＝30°，时针和分针的夹角为6×30°＝180°。180°的角是平角。 8月3日00：00（午夜12点整）  时针和分针均指向12，完全重合。 此时两针夹角为0°（最小角）或360°（完整圆周）。 在小学数学中，360°的角称为周角，因此填周角。 8月6日21：00时，时针指向9，分针指向12。 时针角度为3×30°＝90°。90°的角是直角。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 360°÷12＝30° 6×30°＝180° 3×30°＝90° 在2024年巴黎奥运会的体育赛事中，7月29日18：00，射击男子10米气步枪决赛，时针和分针所形成的角可以看作平角；8月3日00：00，蹦床男子预赛时针和分针所形成的角可以看作周角；8月6日21：00，跳水女子10米跳台跳水决赛，时针和分针所形成的较小角可以看作直角。 考点3：角度计算 例题精讲3 如图是由两个相同的三角尺拼成的，∠1＝58°，求∠2，∠3的度数。 【答案】∠2＝32°；∠3＝58° 【分析】根据题图可知，∠1与∠2拼成三角尺的直角，所以∠1＋∠2＝90°，∠2＝90°－∠1，又已知∠1＝58°，代入数据，即可求出∠2；∠2与∠3拼成三角尺的直角，所以∠3＝90°－∠2，代入求出的∠2的度数，即可求出∠3的度数。据此解答。 【详解】因为∠1＋∠2＝90°，∠1＝58° 所以∠2＝90°－∠1 ＝90°－58° ＝32° 又因为∠3＋∠2＝90° 所以∠3＝90°－∠2 ＝90°－32° ＝58° 即∠2的度数是32°；∠3的度数是58°。 变式训练3 如图，已知∠1＝35°，求∠2和∠3的度数。 【答案】∠2＝145°；∠3＝55° 【分析】由图可知，∠1和∠2组成了一个平角。∠1＝35°，那么直接用180°减去35°即可算出∠2的度数；∠1、∠3和直角组成了一个平角，那么直接用180°减去∠1和直角的度数即可算出∠3的度数。 【详解】∠2＝180°－∠1＝180°－35°＝145° ∠3＝180°－∠1－90°＝180°－35°－90°＝145°－90°＝55° 故∠2＝145°，∠3＝55°。 考点4：线与角综合 例题精讲4 滑梯的坡度设计要综合考虑儿童安全、舒适性和玩耍体验等重要因素。一般来说，滑梯的坡度建议控制在30度到50度之间。（坡度是指滑道与地面的夹角） （1）量一量。滑梯的坡度是（    ）°。 （2）画一画。滑梯的右侧还有一个滑道，请画出符合坡度建议的滑道示意图（用一条线段表示），并标记上坡度的度数。 （3）哪一侧的滑梯更平缓、更安全？（    ）（填“左侧”或“右侧”） 【答案】（1）65 （2）见详解 （3）右侧 【分析】（1）量角器量角的步骤：将角的顶点和量角器的中心点重合；将量角器的0刻度线与角的一边重合；角的另一边所对应的度数就是这个角的度数（重合的0刻度线是哪圈就看哪圈的刻度）。 （2）根据题意，只要画出30度到50度之间的角即可。量角器画角的步骤：画一条射线；使量角器的中心点与射线的端点重合，0刻度线和射线重合；在量角器相应刻度的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的一点，再画一条射线。 （3）比较两侧滑梯坡度的大小即可解答。 【详解】（1）滑梯的坡度是（65）°。 （2）由分析可知： （画法不唯一） （3）65°＞30°，所以右侧的滑梯更平缓、更安全。 变式训练4 学校举行风筝比赛，选手们用同样长度的风筝线把风筝送上高空。等风筝线放完且风筝飞稳后，将线的一端固定在地面上，再比较哪只风筝飞得更高。 （1）为了验证自己的想法，淘气用同样长的线代表风筝线，对不同飞行高度的风筝进行模拟，如图1、图2所示。量一量，图1中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图2中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图（    ）的风筝飞得更高。 （2）①在图3上画出风筝线与地面所形成的60°角，并用“·”标出风筝位置。（图3中的风筝线与图1，图2中的风筝线长度一样！） ②认真观察以上3幅图，图（    ）的风筝飞得最高，图（    ）的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，将你的发现或想要继续研究的问题写在横线上。 ___________________________________ 【答案】（1）30；45；2 （2）见详解；3；1 （3）风筝线与地面所形成的角越大，风筝飞得越高。 【分析】（1）将量角器的0刻度线与角的一条边重合，并将指针置于另一个角的顶点。 读取指针所指示的度数即可。根据图中风筝飞行的高度，判断图2的风筝飞得更高。 （2）①使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。 在量角器上找到所画角的度数60的地方点一个点。 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。②认真观察以上3幅图，图3的风筝飞得最高，图1的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，风筝线与地面所形成的角越大，风筝飞得越高。 【详解】根据分析可知： （1）图1中风筝线与地面所形成的角是30°，图2中风筝线与地面所形成的角是45°，图2的风筝飞得更高。 （2）①在图3上画出风筝线与地面所形成的60°角，并用“·”标出风筝位置如下图： ②认真观察以上3幅图，图3的风筝飞得最高，图1的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，风筝线与地面所形成的角越大，风筝飞得越高。（答案不唯一） 【第三篇】跟踪训练解析 1．B 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【详解】两个三角形是直角三角形，所以竖着的三角形的两条边互相平行，斜边也互相平行，两个三角形下边组成的直线，和上面两个角连成的直线互相平行，所以有3组平行线。 故答案为：B 2．B 【分析】量角器中同一条刻度线对应内圈刻度与外圈刻度和是180度。亮亮错把外圈刻度当成内圈刻度，读的度数为50度，则正确的度数应该是（180－50）度。据此解答。 【详解】180－50＝130（度） 正确的度数应是130度。 故答案为：B 3．B 【分析】两条直线在同一平面内相交成直角，这两条直线互相垂直。据此判断。 【详解】A．线段AB和DC是相对的两条边，没有相交，所以它们没有互相垂直； B．线段BC和DC是相交成了直角，所以它们互相垂直； C．线段AD和BC是相对的两条边，没有相交，所以它们没有互相垂直。 所以，图中互相垂直的是线段BC和DC。 故答案为：B 4．C 【分析】根据题意，计算出组成角的两个三角尺上的角的度数和即可解答。 【详解】A．拼出的角是：60°＋90°＝150°； B．拼出的角是：45°＋30°＝75°； C．拼出的角是：90°＋45°＝135°。 故答案为：C 5．A 【分析】角的大小只与两条边开口大小有关，与角的两条边的长短无关，用放大镜看到的角的两条边的开口大小没变，只是角的两边长度发生了变化，据此解答即可。 【详解】据分析可知： 用2倍的放大镜看30°的角，看到的角仍然是30°。 故答案为：A 6．B 【分析】先明确一副三角尺的六个角共有四个度数，30°，45°，60°，90°，然后进行加减运算，找到符合条件的角。 【详解】A．85°的角不能直接用三角尺画出； B．30°＋90°＝120°，120°的角直接用三角尺就可以画出； C．54°的角不能直接用三角尺画出。 故答案为：B 7．A 【分析】根据直线的性质：过两点可以画一条直线；进行解答即可。 【详解】据分析可知： 平面内有三个点，过其中两点至少可以画一条直线。 故答案为：A 8．C 【分析】已知∠1＋∠2＋∠3＝180°，已知∠1＝42°，∠2＝35°，那么用180°减∠1和∠2的度数，即可求出∠3的度数。 【详解】180°－42°－35° ＝138°－35° ＝103° ∠1＋∠2＋∠3＝180°，已知∠1＝42°，∠2＝35°，那么∠3＝103°。 故答案为：C 9．锐 【分析】角的分类标准：锐角是大于0°而小于90°的角；钝角是大于90°而小于180°的角，直角是90°的角； 时钟上的12个数字，把钟面平均分成了12大格，每一大格是30°； 6时30分时，分针指向6，时针指在6与7的中间，时针与分钟之间有半大格，时针与分针之间的夹角是：30°÷2＝15°，根据角的分类标准可知，是锐角，据此解答。 【详解】30°÷2＝15°，是锐角。 即6时30分，钟面上分针与时针所组成的较小的夹角是锐角。 10． 2 2 【分析】 如图：根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线，找互相平行的两条直线，就是找不相交的两条直线；如图所示，与射线①互相平行的线有2条，是图中的2条红色射线； 当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，找互相垂直的两条直线，就是找两条相交成90度直线；如图所示，与射线①互相垂直的线有2条，是图中的BO线段和BA线段；据此解答。 【详解】根据分析可得：下图中，与射线①互相平行的线有2条，与射线①互相垂直的线有2条。 11． 180 平 【分析】根据对三角板的了解，图中组成的三角形由三角板的两个直角组成，直角等于90°，用90°＋90°即可求出组成的角的度数；等于180°的角是平角，据此填空即可。 【详解】90°＋90°＝180° 图中一副三角尺组成的角是180°，它是一个平角。 12． 110 125 【分析】直角等于90°，平角等于180°，利用90°加上20°即可求出∠1的度数，∠2比平角小55°，利用180°减去55°即可求出∠2的度数。 【详解】90°＋20°＝110° 180°－55°＝125° ∠1比直角大20°，∠1＝110°；∠2比平角小55°，∠2＝125°。 13．垂直 【分析】两条直线相交所成的角是直角，那么这两条直线互相平行。长方形相邻的两条边是互相垂直的，将其上下对折一次，再左右对折一次，两条折痕所成的角是直角，所以折痕是互相垂直的。 【详解】把一长方形纸片上下对折一次，再左右对折一次，打开后折痕互相垂直。 14． 120 60 【分析】根据平角＝180°，可根据∠1＋∠2＝180°得出∠2的大小，根据∠2＋∠3＝180°可得出∠3的大小。 【详解】，所以∠2＝120° ，所以∠3＝60° 如图，已知∠1＝60°，则∠2＝120°，∠3＝60°。 15．√ 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，则我们就说这两条直线互相垂直；所以两条直线互相垂直时相交成4个直角。 【详解】如下图： 两条直线相交可以组成4个直角。说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，据此解答即可。 【详解】图形中有2组线段互相平行，3组线段互相垂直。原题说法错误。 故答案为：× 17．√ 【分析】利用直尺测量线段长度的方法，把直尺的0刻度与线段的一端对齐，看另一端对齐的刻度就是线段的长度；测量出两条线段的长度，再进行比较。 【详解】根据测量，两条线段的长度都是2厘米3毫米。所以两条线段一样长。 故答案为：√ 18．× 【分析】周角等于360°，平角等于180°，直角等于90°，所以1周角＝2平角＝4直角，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，1周角＝2平角＝4直角，原说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】钟表有12个大格，每个大格之间的夹角为30°，从3：30到3：45，分针走了3个大格，分针旋转的角度是30°×3＝90°。据此解答。 【详解】从3：30到3：45，分针转了：30°×3＝90°， 原题说法正确。 故答案为：√ 20．一样长；因为平行线间距离处处相等。 【分析】由题图可知，笔直的公路的两边相当于一组平行线，兰兰和芳芳走过的距离就是平行线间的距离；再根据两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等。进行判断即可解答。 【详解】由分析可得，绿灯期间，兰兰和芳芳分别从公路两边走斑马线横向穿过笔直的公路，她们走过的路程一样长；因为平行线之间的距离处处相等。 21．25°；155°；25° 【分析】根据长方形的边所在的线是直线，则有，，与已知，即可求出∠1、∠2和∠3的度数。 【详解】因为， 所以 因为 所以 因为 所以 答：∠1是25度，∠2是155度，∠3是25度。 22．15° 【分析】图中共有6个锐角，分别是∠1、∠2、∠3、∠1＋∠2、∠2＋∠3、∠1＋∠2＋∠3，把这6个锐角全部相加后发现正好是10个∠1；因此用图中所有锐角的和除以10即可，依此计算。 【详解】因为∠1＝∠2＝∠3，因此∠1、∠2、∠3、∠1＋∠2、∠2＋∠3、∠1＋∠2＋∠3正好是10个∠1。 150°÷10＝15° 答：∠1是15°。 23．（1）图见详解；18毫米 （2）图见详解 【分析】（1）两点之间线段最短，把A、B两点用线段连接起来，然后用直尺量出线段的长度。 （2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，从B点作直线MN的垂线段即可。 【详解】（1）如下图，线段AB长18毫米。    （2）图见（1） 【点睛】本题主要考查了线段和垂线的特征，要熟练掌握。 24．（1）∠1＝∠2＝50°；（2）15°；（3）台球撞向桌边时与台球桌边构成的夹角与台球弹走时与台球桌边构成的夹角相等 【分析】（1）用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上（与0度刻度线同一圈）所显示的刻度就是被量角的度数。通过测量可知：∠1＝∠2＝50°。 （2）通过第一问测量∠1、∠2的度数，可知∠1＝∠2，那么猜想如果∠1的度数变为15°，∠2也会变成15°。 （3）通过第一问测量∠1、∠2的度数，可知∠1＝∠2，∠1是台球撞向桌边时与台球桌边构成的夹角，∠2是台球弹走时与台球桌边构成的夹角，台球运动的路线：台球撞向桌边时与台球桌边构成的夹角与台球弹走时与台球桌边构成的夹角相等。 【详解】（1）∠1＝∠2＝50° （2）如果∠1的度数变为15°，∠2会是15°。 （3）台球运动的路线：台球撞向桌边时与台球桌边构成的夹角与台球弹走时与台球桌边构成的夹角相等。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$