第二单元线与角·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月22日 目 录 【课内精选一】三线的认识和绘制 3 【课内精选二】数线段 5 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题 7 【奥数拓展二】计算线段的长度（一） 9 【奥数拓展三】计算线段的长度（二） 10 【奥数拓展四】走楼梯问题（一） 11 【奥数拓展五】走楼梯问题（二） 12 【奥数拓展六】报数问题 13 【奥数拓展七】完全平方数 14 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】三线的认识和绘制。 平日里，直直的线有三种：线段、射线和直线。三种线各有特点：线段有( )个端点、射线有( )个端点、直线有( )个端点。 【答案】 2 1 0 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。据此解答。 【详解】平日里，直直的线有三种：线段、射线和直线。三种线各有特点：线段有2个端点、射线有1个端点、直线有0个端点。 【点睛】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点。 【专项训练】 1．下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ①②③④⑤⑥ 【答案】 ③ ②⑥ ④ 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，可以度量；据此特征判断。 【详解】下面（③）是线段，（②⑥）是射线，（④）是直线。 ①②③④⑤⑥ 【点睛】此题主要考查直线、射线和线段的特征。 2．在下图中画出直线AC和射线CB，并在射线CB上截取一条长3厘米的线段。 【答案】见详解 【分析】把线段的两端无限延长，得到一条直线，经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线），据此过A、C两点画直线如下；把线段的一端无限延长，得到一条射线，据此以C点为端点，过B点画射线如下；直线上任意两点之间的一段叫做线段，据此以C点为一个端点在射线CB上截去长3厘米线段CD；画图如下。 【详解】画直线AC、射线CB、3厘米长的线段CD，如下： 【点睛】正确理解线段、射线、直线的意义，并按要求画出线段、射线及直线。 3．按要求画图。 （1）画出线段AB； （2）画出直线AC； （3）画出射线BC。 【答案】见详解 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。据此画图即可。 【详解】 【点睛】本题考查线段、射线和直线的特征，线段有两个端点，直线没有端点，射线有一个端点。 【课内精选二】数线段。 如图所示的图形中，有( )条线段，有( )条射线。 【答案】 4 8 【分析】根据线段和射线的特点，线段有两个端点，射线只有一个端点，进行填空。 【详解】线段有AO、BO、BC、OC，共4条，有4个点，每个点上有2条射线，共4×2＝8条射线。 【点睛】把线段的一端无限延长，得到一条射线；直线上任意两点之间的一段叫做线段。 【专项训练】 1．图中 有( )线段。 【答案】6条 【分析】根据线段的定义结合图形一个点一个点的数即可得出答案，也可以用组合的方法通过计算得出线段条数。 【详解】根据线段的定义可得：图中的线段有：3＋2＋1＝6（条）； 所以图中有6条线段。 【点睛】线段有两个端点，两点之间一条线段，通过两点两点的组合即可确定线段条数，注意不重不漏即可。 2．下图一共有( )条线段。 【答案】10 【分析】根据线段的定义可知，线段有两个端点，图中单独的线段有4条，由三条单独的线段组成的线段有2条，由两条单独的线段组成的线段有3条，由四条单独的线段组成的线段有1条，据此计算。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（条） 【点睛】任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。数线段的个数时，要按照顺序数，才能做到不重不漏。 3．在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有( )条。 【答案】21 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。据此可知，图中包含“☆”的线段有2×6＝12条，包含“△”的线段有5×3＝15条，同时包含“☆”和“△”的线段有2×3＝6条，所以至少包含“☆”和“△”中一个的线段有12＋16－6条。 【详解】12＋16－6 ＝28－6 ＝21 则至少包含“☆”和“△”中一个的线段有21条。 【点睛】熟练掌握线段的定义，注意线段有两个端点。 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题。 往返唐山和北京的火车途中要经过玉田县、三河县两站，铁路部门要为这列火车准备多少种不同的车票？有多少种票价？ 【答案】12种；6种 【分析】唐山站到另外三个车站有3种票价，玉田站到三河站和北京站有2种票价，最后三河站到北京站有1种票价，所以共有3＋2＋1＝6（种）票价，每个车站到另一个车站往返的票价一样，但车票不一样，所以每个车站到另一个车站只有1种票价，但要2种车票，车票种数是票价种数的2倍，所以共有6×2＝12（种）不同的车票，据此即可解答。 【详解】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（种） 6×2＝12（种） 答：铁路部门要为这列火车准备12种不同的车票，有6种票价。 【点睛】熟练掌握搭配问题的解题方法是解答本题的关键。 【专项训练】 1．一辆由我国自主研发的高铁从A地出发，沿途停靠B、C、D三个站后，到达终点E地。假设这列高铁从A地到E地往返一趟，一共要准备多少种不同的车票？ 【答案】20种 【分析】这是有关组合的问题，5个车站，每2个车站间就要有一种票，从A地到B、C、D、E地需要4种车票，从B地到C、D、E地需要3种车票，从C地到D、E地需要2种车票，从D地到E地需要1种车票，则去时需要（4＋3＋2＋1）种车票。往返时车票的起点和终点正好相反。返回时也需要（4＋3＋2＋1）种车票，那么一共需要（4＋3＋2＋1）×2种车票。据此解答即可。 【详解】（4＋3＋2＋1）×2 ＝10×2 ＝20（种） 答：一共要准备20种不同的车票。 2．一列从北京到上海的列车，中途要停靠5个站。要准备几种车票？ 【答案】21种 【分析】如下图：从北京到第二站、第三站……到第七站上海，共有6种票；从第二站到第三站，到第四站……到上海站有5种票；从第三站到第四站，到第五站……到上海站有4种票；从第四站到第五站，到第六站，到上海站有3种票；从第五站到第六站，到上海站有2种票；从第六站到上海站有1种票，将所有票的种类相加即为总共要准备几种车票，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： 6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝11＋4＋3＋2＋1 ＝15＋3＋2＋1 ＝18＋2＋1 ＝20＋1 ＝21（种） 答：要准备21种车票。 3．深圳地铁5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安区，西至南山区赤湾站。线路总长47.393千米，一共有34个站点，下图是它的部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有8个站点，单程需要准备多少种不同的车票？ 【答案】28种 【分析】依次从1号站到其他各站需要7种不同车票、从2号站到其他各站需要6种不同车票、从3号站到其他各站需要5种不同车票…… 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 答：单程需要准备28种不同的车票。 【奥数拓展二】计算线段的长度（一）。 直线上有A、B、C三个点，已知线段AB长8厘米，线段BC长2厘米，线段AC长多少厘米? 解析： 线段AC的长度取决于C点在直线上的位置，若C点处在A、B两点之间，如图1，则AC=AB—BC=8—2=6(厘米)；若C点处在A、B两点之外，如图2，则AC=AB+BC=8+2=10(厘米)。 【专项训练】 1. 小胖、小雅的家与学校在一条笔直的马路上，已知小胖家与学校相距400米，小雅家与学校相距300米，小胖、小雅两家相距多少米? 解析： 若小胖、小雅家在学校两侧，则小胖、小雅两家相距400+300=700(米)；若小胖、小雅两家在学校同侧，则小胖、小雅两家相距400－300=100(米)。 2. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲跑了60米时，乙跑了90米，丙与甲相差30米，丙跑了多少米? 解析： 若丙比甲跑得快，丙跑了60+30=90(米)，若丙比甲跑得慢，丙跑了60－30=30(米)， 3. 大、中、小三只瓢虫同时从A点出发，按顺时针方向沿正六边形ABCDEF的边上爬行，1分钟后，小瓢虫爬到B点，大瓢虫爬到D点，中瓢虫爬行的位置恰好出现了一种特殊的情况，即：中瓢虫与小瓢虫之间的距离等于中瓢虫与大瓢虫之间的距离，中瓢虫在下图中的什么位置? 解析： 若中瓢虫的爬行速度快于小瓢虫，而慢于大瓢虫，中瓢虫在C点；若中瓢虫的爬行速度快于小瓢虫、大瓢虫，中瓢虫在F点。 【奥数拓展三】计算线段的长度（二）。 在四边形ABCD中，任取3条边相加，得到的和为分别为27厘米，28厘米，32厘米，33厘米，四边形ABCD四条边的长度各是多少厘米? 解析： 设四边形ABCD四条边的长度分别为a厘米，b厘米，c厘米，d厘米，根据题意可得： a+b+c=27， a+b+d=28， a+c+d=32， b+c+d=33； 则3×(a+b+c+d)=27+28+32+33=120，可得a+b+c+d=40，那么a=40－33=7，b=40－32=8，c=40－28=12，d=40－27=13，所以四边形ABCD四条边的长度分别是7厘米，8厘米，12厘米，13厘米。 【专项训练】 1. 在长方形ABCD中，任取3条边相加，得到的和为54厘米或63厘米，长方形ABCD的周长是多少厘米? 解析： 设长方形的长为a厘米，宽为b厘米，令a>b，根据题意可得： 2a+b=63 a+b=54 3(a+b)=117 a+b=39 2(a+b)=78， 即长方形ABCD的周长是78厘米。 2. 在下图中，AD长60厘米，BC=AD，图中所有线段的长度和是多少厘米? 解析：220厘米。 3. 在下图中，C是AB的中点，AC比DE长90厘米，DC比CE长40厘米，AE长1210厘米，AB长多少厘米? 解析：1700厘米。 【奥数拓展四】走楼梯问题（一）。 有一个楼梯共有8级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第8级，共有多少种不同的走法? 解析： 假设楼梯只有1级，那么走法只有一种；如果楼梯有2级，可一级一级跨；即2=1+1；也可以一次跨2级；即2=2；所以有2种走法；如果楼梯有3级；可将3分拆成3=1+1+1=1+2=2+1，所以有3种走法；如果楼梯有4级，可将4分拆成4=1+1+1+1=1+1+2=1+2+1=2+1+1=2+2，所以有5种走法，从上面的数据中我们可以发现： 当楼梯有1级时，有1种走法； 当楼梯有2级时，有2种走法； 当楼梯有3级时，有3种走法(3=1+2)； 当楼梯有4级时，有5种走法(5=2+3)。 将走楼梯的方法数排成数列，即1，2，3，5，…，从第三个数开始，后面的数是它前面两个相邻数的和.将这个数列排下去，排到第8个数，1、2、3、5、8、13、21、34，所以楼梯有8级时，共有34种不同的走法。 【专项训练】 1. 1，2，3，5，8，13，…按规律排下去，第12个数是多少? 解析： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，第12数是233。 2. 有一个楼梯共有10级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第10级，共有多少种不同的走法? 解析： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，故登上第10级，共有89种走法。 3. 一堆小棒共有9根，如果规定每次只能取1根或2根，那么取完这9根小棒共有几种不同的取法? 解析： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，取完9根小棒，共有55种取法。 【奥数拓展五】走楼梯问题（二）。 一堆小棒共有8根，如果规定每次只能取1根、2根或3根，那么取完这8根小棒共有几种不同的取法? 解析： 可仿照前一个例题，当小棒有1根时，只有1种取法1=1；当小棒有2根时，有两种取法，2=1+1=2；当小棒有3根时，有4种取法，分别是3=3=1+2=2+1=1+1+1；当小棒有4根，有7种取法，分别是 4=3+1=1+3=2+2=2+1+1=1+2+1=1+1+2=1+1+1+1；当小棒有5根时共有13种取法，可以将取小棒的方法数排列成数列1，2，4，7，13，…，观察可以发现从第4个数开始，每个数是前三个数的和，所以将数列排到第八个数1、2、4、7、13、24、44、81，取完这8根小棒共有81种不同的取法。 【专项训练】 1. 有人登一楼梯，规定每步能跨一级、二级，登上第几级时，共有55种不同的走法? 解析：第9级。 2. 对一个非0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，依此类推直到得到1停止操作，那么,经过8次操作变为1的数有多少个? 解析：21个。 3. 有一楼梯共有9级，规定每步能跨一级、二级或者三级，要登上第九级，共有多少种不同的走法? 解析：149种。 【奥数拓展六】报数问题。 50个学生排成一行，编号为1，2，3，…，49，50，然后1～2报数，报1的离开，报2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报1的离开，报2的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 解析： 根据报数规则，我们尝试枚举每次报数后，留下学生的编号特点. 第1次留下2的倍数：2，4，6，…，46，48，50； 第2次留下4的倍数：4，8，12，…，44，48； 第3次留下8的倍数：8，16，24，32，40，48； 第4次留下16的倍数：16，32，48； 第5次留下32的倍数：32。 通过上面的数据可以看出，留下学生的编号依次为：2的倍数，4的倍数，8的倍数…… 不难发现，在2，4，8，16，32，64，…这一列中，后一个数都是它前一个数的2倍。最后留下的学生编号一定在2，4，8，16，32，64这些数中，是一个小于50，并与50最接近的数，所以最后留下的学生是32号。 【专项训练】 1. 100个学生排成一行，编号为1，2，3，…，99，100，然后1～2报数，报1的离开，报2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报1的离开，报2的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 解析： 留下学生的编号依次为：2的倍数，4的倍数，8的倍数……在2，4，8，16，32，64，128这些数中，32<64<100，最后留下的学生是64号。 2. 50个学生排成一行，编号为1，2，3，…，49，50，然后1～2报数，报1的留下，报2的离开，剩下学生往前靠拢，再报数，报1的留下，报2的离开，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 解析：编号为1的学生在每次报数时，都报1，所以最后留下的学生是1号。 3. 100个学生排成一行，编号为1，2，3，…，99，100，然后1～3报数，报1,报2的离开，报3的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报1,报2的离开，报3的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 解析： 留下学生的编号依次为：3的倍数，9的倍数，27的倍数……在3，9，27，81，243这些数中，27<81<100，最后留下的学生是81号。 【奥数拓展七】完全平方数。 180名学生报名参加学校组织的夏令营活动，已知参加的男、女生人数恰好都是完全平方数，且男生比女生多，男生比女生多多少人? 解析： 从1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，7×7=49，8×8=64，9×9=81，10×10=100，11×11=121，…这些算式中可以发现，完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9。 小于180的完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、 169，两个完全平方数相加，和为180，那么两个平方数的个位可能是0与0，或1与9、4与6、5与5，经尝试可得：180=36+144，那么男生有144人，女生有36人，所以，男生比女生多144－36=108(人)。 【专项训练】 1. 一群猴子去花果山摘桃，共摘桃子2916个，已知平均每只猴子摘的桃子数与猴子的只数相等，这群猴子有多少只? 解析： 根据题意可知：2916=平均每只猴子摘的桃子数×猴子的只数，由于“平均每只猴子摘的桃子数=猴子的只数”，所以2916是一个完全平方数，可表示为2916=a×a，a是一个大于50，小于60的整数，a可能是54或56，由于54×54=2916，因此这群猴子有54只。 2. 有大、小两个边长是整厘米数的正方形，面积之和是169平方厘米，两个正方形的面积差是多少平方厘米? 解析： 两个正方形的面积和是169平方厘米，即两个完全平方数的和是169，由于169=144+25，所以两个正方形的面积为144平方厘米与25平方厘米，面积差为144－25=119(平方厘米)。 3. 在1～1000这1000个正整数中，不是完全平方数的整数有多少个? 解析： 由于31×31=961，32×32=1024，所以在1～1000这1000个数中，完全平方数共有31个，非完全平方数有1000－31=969(个)。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 11 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 22 日 2 / 11 目 录 【课内精选一】三线的认识和绘制 ........................................................................................ 3 【课内精选二】数线段 .............................................................................................................4 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题 ................................................................................ 5 【奥数拓展二】计算线段的长度（一） ................................................................................ 6 【奥数拓展三】计算线段的长度（二） ................................................................................ 7 【奥数拓展四】走楼梯问题（一） ........................................................................................ 8 【奥数拓展五】走楼梯问题（二） ........................................................................................ 8 【奥数拓展六】报数问题 ........................................................................................................ 9 【奥数拓展七】完全平方数 .................................................................................................. 10 3 / 11 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】三线的认识和绘制。 平日里，直直的线有三种：线段、射线和直线。三种线各有特点：线段有( ) 个端点、射线有( )个端点、直线有( )个端点。 【专项训练】 1．下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 2．在下图中画出直线 AC和射线 CB，并在射线 CB上截取一条长 3厘米的线段。 3．按要求画图。 （1）画出线段 AB； （2）画出直线 AC； （3）画出射线 BC。 4 / 11 【课内精选二】数线段。 如图所示的图形中，有( )条线段，有( )条射线。 【专项训练】 1．图中 有( )线段。 2．下图一共有( )条线段。 3．在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有( )条。 5 / 11 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题。 往返唐山和北京的火车途中要经过玉田县、三河县两站，铁路部门要为这列火车 准备多少种不同的车票？有多少种票价？ 【专项训练】 1．一辆由我国自主研发的高铁从 A地出发，沿途停靠 B、C、D三个站后，到 达终点 E地。假设这列高铁从 A地到 E地往返一趟，一共要准备多少种不同的 车票？ 2．一列从北京到上海的列车，中途要停靠 5个站。要准备几种车票？ 3．深圳地铁 5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安 区，西至南山区赤湾站。线路总长 47.393千米，一共有 34个站点，下图是它的 部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有 8个站点，单程需要准备多少种不同的车 票？ 6 / 11 【奥数拓展二】计算线段的长度（一）。 直线上有 A、B、C三个点，已知线段 AB长 8厘米，线段 BC长 2厘米，线段 AC长多少厘米? 【专项训练】 1. 小胖、小雅的家与学校在一条笔直的马路上，已知小胖家与学校相距 400米， 小雅家与学校相距 300米，小胖、小雅两家相距多少米? 2. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲跑了 60米时，乙跑了 90米，丙与甲相差 30米，丙跑了多少米? 3. 大、中、小三只瓢虫同时从 A点出发，按顺时针方向沿正六边形 ABCDEF的 边上爬行，1分钟后，小瓢虫爬到 B点，大瓢虫爬到 D 点，中瓢虫爬行的位置 恰好出现了一种特殊的情况，即：中瓢虫与小瓢虫之间的距离等于中瓢虫与大瓢 虫之间的距离，中瓢虫在下图中的什么位置? 7 / 11 【奥数拓展三】计算线段的长度（二）。 在四边形 ABCD 中，任取 3条边相加，得到的和为分别为 27 厘米，28厘米， 32厘米，33厘米，四边形 ABCD四条边的长度各是多少厘米? 【专项训练】 1. 在长方形 ABCD中，任取 3条边相加，得到的和为 54厘米或 63厘米，长方 形 ABCD的周长是多少厘米? 2. 在下图中，AD长 60厘米，BC= 3 2 AD，图中所有线段的长度和是多少厘米? 3. 在下图中，C 是 AB 的中点，AC 比 DE 长 90 厘米，DC 比 CE 长 40 厘米， AE长 1210厘米，AB长多少厘米? 8 / 11 【奥数拓展四】走楼梯问题（一）。 有一个楼梯共有 8级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第 8级，共有多少 种不同的走法? 【专项训练】 1. 1，2，3，5，8，13，…按规律排下去，第 12个数是多少? 2. 有一个楼梯共有 10级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第 10级，共 有多少种不同的走法? 3. 一堆小棒共有 9根，如果规定每次只能取 1 根或 2根，那么取完这 9根小棒 共有几种不同的取法? 【奥数拓展五】走楼梯问题（二）。 一堆小棒共有 8根，如果规定每次只能取 1根、2根或 3根，那么取完这 8根小 棒共有几种不同的取法? 9 / 11 【专项训练】 1. 有人登一楼梯，规定每步能跨一级、二级，登上第几级时，共有 55种不同的 走法? 2. 对一个非 0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1， 依此类推直到得到 1停止操作，那么,经过 8次操作变为 1的数有多少个? 3. 有一楼梯共有 9级，规定每步能跨一级、二级或者三级，要登上第九级，共 有多少种不同的走法? 【奥数拓展六】报数问题。 50个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，49，50，然后 1～2报数，报 1的离 开，报 2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1的离开，报 2的留下，一直 重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 【专项训练】 1. 100个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，99，100，然后 1～2报数，报 1 的离开，报 2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1的离开，报 2的留下， 一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 10 / 11 2. 50个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，49，50，然后 1～2报数，报 1的 留下，报 2的离开，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1的留下，报 2的离开，一 直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 3. 100个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，99，100，然后 1～3报数，报 1, 报 2的离开，报 3的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1,报 2的离开，报 3 的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多 少? 【奥数拓展七】完全平方数。 180名学生报名参加学校组织的夏令营活动，已知参加的男、女生人数恰好都是 完全平方数，且男生比女生多，男生比女生多多少人? 【专项训练】 1. 一群猴子去花果山摘桃，共摘桃子 2916个，已知平均每只猴子摘的桃子数与 猴子的只数相等，这群猴子有多少只? 2. 有大、小两个边长是整厘米数的正方形，面积之和是 169平方厘米，两个正 方形的面积差是多少平方厘米? 11 / 11 3. 在 1～1000这 1000个正整数中，不是完全平方数的整数有多少个? 1 / 15 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9月 22 日 2 / 15 目 录 【课内精选一】三线的认识和绘制 ........................................................................................ 3 【课内精选二】数线段 .............................................................................................................5 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题 ................................................................................ 7 【奥数拓展二】计算线段的长度（一） ................................................................................ 9 【奥数拓展三】计算线段的长度（二） .............................................................................. 10 【奥数拓展四】走楼梯问题（一） ...................................................................................... 11 【奥数拓展五】走楼梯问题（二） ...................................................................................... 12 【奥数拓展六】报数问题 ...................................................................................................... 13 【奥数拓展七】完全平方数 .................................................................................................. 14 3 / 15 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】三线的认识和绘制。 平日里，直直的线有三种：线段、射线和直线。三种线各有特点：线段有( ) 个端点、射线有( )个端点、直线有( )个端点。 【答案】 2 1 0 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延 长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。据此解答。 【详解】平日里，直直的线有三种：线段、射线和直线。三种线各有特点：线段 有 2个端点、射线有 1个端点、直线有 0个端点。 【点睛】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点。 【专项训练】 1．下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】 ③ ②⑥ ④ 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不可以度量；射线有一端有端点，另 一端可无限延长，不可以度量；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条 线段的长度，可以度量；据此特征判断。 【详解】下面（③）是线段，（②⑥）是射线，（④）是直线。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【点睛】此题主要考查直线、射线和线段的特征。 4 / 15 2．在下图中画出直线 AC和射线 CB，并在射线 CB上截取一条长 3厘米的线段。 【答案】见详解 【分析】把线段的两端无限延长，得到一条直线，经过两个点可以画一条直线， 并且只能画一条直线（两点确定一条直线），据此过 A、C两点画直线如下；把 线段的一端无限延长，得到一条射线，据此以 C点为端点，过 B点画射线如下； 直线上任意两点之间的一段叫做线段，据此以 C点为一个端点在射线 CB上截去 长 3厘米线段 CD；画图如下。 【详解】画直线 AC、射线 CB、3厘米长的线段 CD，如下： 【点睛】正确理解线段、射线、直线的意义，并按要求画出线段、射线及直线。 3．按要求画图。 （1）画出线段 AB； （2）画出直线 AC； （3）画出射线 BC。 【答案】见详解 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端 无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射 线，射线有一个端点。据此画图即可。 5 / 15 【详解】 【点睛】本题考查线段、射线和直线的特征，线段有两个端点，直线没有端点， 射线有一个端点。 【课内精选二】数线段。 如图所示的图形中，有( )条线段，有( )条射线。 【答案】 4 8 【分析】根据线段和射线的特点，线段有两个端点，射线只有一个端点，进行填 空。 【详解】线段有 AO、BO、BC、OC，共 4条，有 4个点，每个点上有 2条射线， 共 4×2＝8条射线。 【点睛】把线段的一端无限延长，得到一条射线；直线上任意两点之间的一段叫 做线段。 【专项训练】 1．图中 有( )线段。 【答案】6条 【分析】根据线段的定义结合图形一个点一个点的数即可得出答案，也可以用组 合的方法通过计算得出线段条数。 【详解】根据线段的定义可得：图中的线段有：3＋2＋1＝6（条）； 所以图中有 6条线段。 【点睛】线段有两个端点，两点之间一条线段，通过两点两点的组合即可确定线 段条数，注意不重不漏即可。 2．下图一共有( )条线段。 6 / 15 【答案】10 【分析】根据线段的定义可知，线段有两个端点，图中单独的线段有 4条，由三 条单独的线段组成的线段有 2条，由两条单独的线段组成的线段有 3条，由四条 单独的线段组成的线段有 1条，据此计算。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（条） 【点睛】任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。数线段的个数时，要 按照顺序数，才能做到不重不漏。 3．在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有( )条。 【答案】21 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。据此可知，图 中包含“☆”的线段有 2×6＝12条，包含“△”的线段有 5×3＝15条，同时包含“☆” 和“△”的线段有 2×3＝6条，所以至少包含“☆”和“△”中一个的线段有 12＋16－6 条。 【详解】12＋16－6 ＝28－6 ＝21 则至少包含“☆”和“△”中一个的线段有 21条。 【点睛】熟练掌握线段的定义，注意线段有两个端点。 7 / 15 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题。 往返唐山和北京的火车途中要经过玉田县、三河县两站，铁路部门要为这列火车 准备多少种不同的车票？有多少种票价？ 【答案】12种；6种 【分析】唐山站到另外三个车站有 3种票价，玉田站到三河站和北京站有 2种票 价，最后三河站到北京站有 1种票价，所以共有 3＋2＋1＝6（种）票价，每个 车站到另一个车站往返的票价一样，但车票不一样，所以每个车站到另一个车站 只有 1种票价，但要 2种车票，车票种数是票价种数的 2倍，所以共有 6×2＝12 （种）不同的车票，据此即可解答。 【详解】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（种） 6×2＝12（种） 答：铁路部门要为这列火车准备 12种不同的车票，有 6种票价。 【点睛】熟练掌握搭配问题的解题方法是解答本题的关键。 【专项训练】 1．一辆由我国自主研发的高铁从 A地出发，沿途停靠 B、C、D三个站后，到 达终点 E地。假设这列高铁从 A地到 E地往返一趟，一共要准备多少种不同的 车票？ 【答案】20种 【分析】这是有关组合的问题，5个车站，每 2个车站间就要有一种票，从 A地 到 B、C、D、E地需要 4种车票，从 B地到 C、D、E地需要 3种车票，从 C地 到 D、E地需要 2种车票，从 D地到 E地需要 1种车票，则去时需要（4＋3＋2 ＋1）种车票。往返时车票的起点和终点正好相反。返回时也需要（4＋3＋2＋1） 种车票，那么一共需要（4＋3＋2＋1）×2种车票。据此解答即可。 【详解】（4＋3＋2＋1）×2 8 / 15 ＝10×2 ＝20（种） 答：一共要准备 20种不同的车票。 2．一列从北京到上海的列车，中途要停靠 5个站。要准备几种车票？ 【答案】21种 【分析】如下图：从北京到第二站、第三站……到第七站上海，共有 6种票；从 第二站到第三站，到第四站……到上海站有 5种票；从第三站到第四站，到第五 站……到上海站有 4种票；从第四站到第五站，到第六站，到上海站有 3种票； 从第五站到第六站，到上海站有 2种票；从第六站到上海站有 1种票，将所有票 的种类相加即为总共要准备几种车票，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： 6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝11＋4＋3＋2＋1 ＝15＋3＋2＋1 ＝18＋2＋1 ＝20＋1 ＝21（种） 答：要准备 21种车票。 3．深圳地铁 5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安 区，西至南山区赤湾站。线路总长 47.393千米，一共有 34个站点，下图是它的 部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有 8个站点，单程需要准备多少种不同的车 票？ 9 / 15 【答案】28种 【分析】依次从 1号站到其他各站需要 7种不同车票、从 2号站到其他各站需要 6种不同车票、从 3号站到其他各站需要 5种不同车票…… 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 答：单程需要准备 28种不同的车票。 【奥数拓展二】计算线段的长度（一）。 直线上有 A、B、C三个点，已知线段 AB长 8厘米，线段 BC长 2厘米，线段 AC长多少厘米? 解析： 线段 AC的长度取决于 C点在直线上的位置，若 C点处在 A、B两点之间，如 图 1，则 AC=AB—BC=8—2=6(厘米)；若 C点处在 A、B两点之外，如图 2，则 AC=AB+BC=8+2=10(厘米)。 【专项训练】 1. 小胖、小雅的家与学校在一条笔直的马路上，已知小胖家与学校相距 400米， 小雅家与学校相距 300米，小胖、小雅两家相距多少米? 解析： 若小胖、小雅家在学校两侧，则小胖、小雅两家相距 400+300=700(米)；若小胖、 小雅两家在学校同侧，则小胖、小雅两家相距 400－300=100(米)。 2. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲跑了 60米时，乙跑了 90米，丙与甲相差 30米，丙跑了多少米? 解析： 若丙比甲跑得快，丙跑了 60+30=90(米)，若丙比甲跑得慢，丙跑了 60－30=30(米)， 10 / 15 3. 大、中、小三只瓢虫同时从 A点出发，按顺时针方向沿正六边形 ABCDEF的 边上爬行，1分钟后，小瓢虫爬到 B点，大瓢虫爬到 D 点，中瓢虫爬行的位置 恰好出现了一种特殊的情况，即：中瓢虫与小瓢虫之间的距离等于中瓢虫与大瓢 虫之间的距离，中瓢虫在下图中的什么位置? 解析： 若中瓢虫的爬行速度快于小瓢虫，而慢于大瓢虫，中瓢虫在 C点；若中瓢虫的 爬行速度快于小瓢虫、大瓢虫，中瓢虫在 F点。 【奥数拓展三】计算线段的长度（二）。 在四边形 ABCD 中，任取 3条边相加，得到的和为分别为 27 厘米，28厘米， 32厘米，33厘米，四边形 ABCD四条边的长度各是多少厘米? 解析： 设四边形 ABCD 四条边的长度分别为 a厘米，b厘米，c厘米，d厘米，根据题 意可得： a+b+c=27， a+b+d=28， a+c+d=32， b+c+d=33； 则 3×(a+b+c+d)=27+28+32+33=120，可得 a+b+c+d=40，那么 a=40－33=7，b=40 －32=8，c=40－28=12，d=40－27=13，所以四边形 ABCD四条边的长度分别是 7厘米，8厘米，12厘米，13厘米。 【专项训练】 1. 在长方形 ABCD中，任取 3条边相加，得到的和为 54厘米或 63厘米，长方 形 ABCD的周长是多少厘米? 解析： 11 / 15 设长方形的长为 a厘米，宽为 b厘米，令 a>b，根据题意可得： 2a+b=63 a+b=54 3(a+b)=117 a+b=39 2(a+b)=78， 即长方形 ABCD的周长是 78厘米。 2. 在下图中，AD长 60厘米，BC= 3 2 AD，图中所有线段的长度和是多少厘米? 解析：220厘米。 3. 在下图中，C 是 AB 的中点，AC 比 DE 长 90 厘米，DC 比 CE 长 40 厘米， AE长 1210厘米，AB长多少厘米? 解析：1700厘米。 【奥数拓展四】走楼梯问题（一）。 有一个楼梯共有 8级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第 8级，共有多少 种不同的走法? 解析： 假设楼梯只有 1级，那么走法只有一种；如果楼梯有 2 级，可一级一级跨；即 2=1+1；也可以一次跨 2级；即 2=2；所以有 2种走法；如果楼梯有 3级；可将 3分拆成 3=1+1+1=1+2=2+1，所以有 3种走法；如果楼梯有 4级，可将 4分拆成 4=1+1+1+1=1+1+2=1+2+1=2+1+1=2+2，所以有 5种走法，从上面的数据中我们 可以发现： 当楼梯有 1级时，有 1种走法； 当楼梯有 2级时，有 2种走法； 当楼梯有 3级时，有 3种走法(3=1+2)； 当楼梯有 4级时，有 5种走法(5=2+3)。 将走楼梯的方法数排成数列，即 1，2，3，5，…，从第三个数开始，后面的数 12 / 15 是它前面两个相邻数的和.将这个数列排下去，排到第 8个数，1、2、3、5、8、 13、21、34，所以楼梯有 8级时，共有 34种不同的走法。 【专项训练】 1. 1，2，3，5，8，13，…按规律排下去，第 12个数是多少? 解析： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，第 12数是 233。 2. 有一个楼梯共有 10级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第 10级，共 有多少种不同的走法? 解析： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，故登上第 10级，共有 89种走法。 3. 一堆小棒共有 9根，如果规定每次只能取 1 根或 2根，那么取完这 9根小棒 共有几种不同的取法? 解析： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，取完 9根小棒，共有 55种取法。 【奥数拓展五】走楼梯问题（二）。 一堆小棒共有 8根，如果规定每次只能取 1根、2根或 3根，那么取完这 8根小 棒共有几种不同的取法? 解析： 可仿照前一个例题，当小棒有 1根时，只有 1种取法 1=1；当小棒有 2根时，有 两种取法，2=1+1=2；当小棒有 3根时，有 4种取法，分别是 3=3=1+2=2+1=1+1+1； 当小棒有 4根，有 7种取法，分别是 4=3+1=1+3=2+2=2+1+1=1+2+1=1+1+2=1+1+1+1；当小棒有 5 根时共有 13 种取 法，可以将取小棒的方法数排列成数列 1，2，4，7，13，…，观察可以发现从 第 4个数开始，每个数是前三个数的和，所以将数列排到第八个数 1、2、4、7、 13、24、44、81，取完这 8根小棒共有 81种不同的取法。 【专项训练】 1. 有人登一楼梯，规定每步能跨一级、二级，登上第几级时，共有 55种不同的 走法? 13 / 15 解析：第 9级。 2. 对一个非 0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 1， 依此类推直到得到 1停止操作，那么,经过 8次操作变为 1的数有多少个? 解析：21个。 3. 有一楼梯共有 9级，规定每步能跨一级、二级或者三级，要登上第九级，共 有多少种不同的走法? 解析：149种。 【奥数拓展六】报数问题。 50个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，49，50，然后 1～2报数，报 1的离 开，报 2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1的离开，报 2的留下，一直 重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 解析： 根据报数规则，我们尝试枚举每次报数后，留下学生的编号特点. 第 1次留下 2的倍数：2，4，6，…，46，48，50； 第 2次留下 4的倍数：4，8，12，…，44，48； 第 3次留下 8的倍数：8，16，24，32，40，48； 第 4次留下 16的倍数：16，32，48； 第 5次留下 32的倍数：32。 通过上面的数据可以看出，留下学生的编号依次为：2的倍数，4的倍数，8的 倍数…… 不难发现，在 2，4，8，16，32，64，…这一列中，后一个数都是它前一个数的 2倍。最后留下的学生编号一定在 2，4，8，16，32，64这些数中，是一个小于 50，并与 50最接近的数，所以最后留下的学生是 32号。 【专项训练】 1. 100个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，99，100，然后 1～2报数，报 1 的离开，报 2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1的离开，报 2的留下， 一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 解析： 留下学生的编号依次为：2的倍数，4的倍数，8的倍数……在 2，4，8，16，32， 14 / 15 64，128这些数中，32<64<100，最后留下的学生是 64号。 2. 50个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，49，50，然后 1～2报数，报 1的 留下，报 2的离开，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1的留下，报 2的离开，一 直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 解析：编号为 1的学生在每次报数时，都报 1，所以最后留下的学生是 1号。 3. 100个学生排成一行，编号为 1，2，3，…，99，100，然后 1～3报数，报 1, 报 2的离开，报 3的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报 1,报 2的离开，报 3 的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多 少? 解析： 留下学生的编号依次为：3的倍数，9的倍数，27的倍数……在 3，9，27，81， 243这些数中，27<81<100，最后留下的学生是 81号。 【奥数拓展七】完全平方数。 180名学生报名参加学校组织的夏令营活动，已知参加的男、女生人数恰好都是 完全平方数，且男生比女生多，男生比女生多多少人? 解析： 从 1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，7×7=49，8×8=64，9×9=81， 10×10=100，11×11=121，…这些算式中可以发现，完全平方数的个位数字只可 能是 0、1、4、5、6、9。 小于 180的完全平方数有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、 169，两个完全平方数相加，和为 180，那么两个平方数的个位可能是 0与 0，或 1与 9、4与 6、5与 5，经尝试可得：180=36+144，那么男生有 144人，女生有 36人，所以，男生比女生多 144－36=108(人)。 【专项训练】 1. 一群猴子去花果山摘桃，共摘桃子 2916个，已知平均每只猴子摘的桃子数与 猴子的只数相等，这群猴子有多少只? 解析： 根据题意可知：2916=平均每只猴子摘的桃子数×猴子的只数，由于“平均每只猴 子摘的桃子数=猴子的只数”，所以 2916是一个完全平方数，可表示为 2916=a×a， 15 / 15 a是一个大于 50，小于 60的整数，a 可能是 54或 56，由于 54×54=2916，因此 这群猴子有 54只。 2. 有大、小两个边长是整厘米数的正方形，面积之和是 169平方厘米，两个正 方形的面积差是多少平方厘米? 解析： 两个正方形的面积和是 169 平方厘米，即两个完全平方数的和是 169，由于 169=144+25，所以两个正方形的面积为 144平方厘米与 25平方厘米，面积差为 144－25=119(平方厘米)。 3. 在 1～1000这 1000个正整数中，不是完全平方数的整数有多少个? 解析： 由于 31×31=961，32×32=1024，所以在 1～1000这 1000个数中，完全平方数共 有 31个，非完全平方数有 1000－31=969(个)。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月22日 目 录 【课内精选一】三线的认识和绘制 3 【课内精选二】数线段 4 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题 5 【奥数拓展二】计算线段的长度（一） 6 【奥数拓展三】计算线段的长度（二） 7 【奥数拓展四】走楼梯问题（一） 8 【奥数拓展五】走楼梯问题（二） 8 【奥数拓展六】报数问题 9 【奥数拓展七】完全平方数 10 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第二单元线与角·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】 【课内精选一】三线的认识和绘制。 平日里，直直的线有三种：线段、射线和直线。三种线各有特点：线段有( )个端点、射线有( )个端点、直线有( )个端点。 【专项训练】 1．下面( )是线段，( )是射线，( )是直线。 ①②③④⑤⑥ 2．在下图中画出直线AC和射线CB，并在射线CB上截取一条长3厘米的线段。 3．按要求画图。 （1）画出线段AB； （2）画出直线AC； （3）画出射线BC。 【课内精选二】数线段。 如图所示的图形中，有( )条线段，有( )条射线。 【专项训练】 1．图中 有( )线段。 2．下图一共有( )条线段。 3．在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有( )条。 【奥数拓展一】数线段与排列搭配问题。 往返唐山和北京的火车途中要经过玉田县、三河县两站，铁路部门要为这列火车准备多少种不同的车票？有多少种票价？ 【专项训练】 1．一辆由我国自主研发的高铁从A地出发，沿途停靠B、C、D三个站后，到达终点E地。假设这列高铁从A地到E地往返一趟，一共要准备多少种不同的车票？ 2．一列从北京到上海的列车，中途要停靠5个站。要准备几种车票？ 3．深圳地铁5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安区，西至南山区赤湾站。线路总长47.393千米，一共有34个站点，下图是它的部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有8个站点，单程需要准备多少种不同的车票？ 【奥数拓展二】计算线段的长度（一）。 直线上有A、B、C三个点，已知线段AB长8厘米，线段BC长2厘米，线段AC长多少厘米? 【专项训练】 1. 小胖、小雅的家与学校在一条笔直的马路上，已知小胖家与学校相距400米，小雅家与学校相距300米，小胖、小雅两家相距多少米? 2. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲跑了60米时，乙跑了90米，丙与甲相差30米，丙跑了多少米? 3. 大、中、小三只瓢虫同时从A点出发，按顺时针方向沿正六边形ABCDEF的边上爬行，1分钟后，小瓢虫爬到B点，大瓢虫爬到D点，中瓢虫爬行的位置恰好出现了一种特殊的情况，即：中瓢虫与小瓢虫之间的距离等于中瓢虫与大瓢虫之间的距离，中瓢虫在下图中的什么位置? 【奥数拓展三】计算线段的长度（二）。 在四边形ABCD中，任取3条边相加，得到的和为分别为27厘米，28厘米，32厘米，33厘米，四边形ABCD四条边的长度各是多少厘米? 【专项训练】 1. 在长方形ABCD中，任取3条边相加，得到的和为54厘米或63厘米，长方形ABCD的周长是多少厘米? 2. 在下图中，AD长60厘米，BC=AD，图中所有线段的长度和是多少厘米? 3. 在下图中，C是AB的中点，AC比DE长90厘米，DC比CE长40厘米，AE长1210厘米，AB长多少厘米? 【奥数拓展四】走楼梯问题（一）。 有一个楼梯共有8级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第8级，共有多少种不同的走法? 【专项训练】 1. 1，2，3，5，8，13，…按规律排下去，第12个数是多少? 2. 有一个楼梯共有10级，规定每步只能跨一级或者两级，要登上第10级，共有多少种不同的走法? 3. 一堆小棒共有9根，如果规定每次只能取1根或2根，那么取完这9根小棒共有几种不同的取法? 【奥数拓展五】走楼梯问题（二）。 一堆小棒共有8根，如果规定每次只能取1根、2根或3根，那么取完这8根小棒共有几种不同的取法? 【专项训练】 1. 有人登一楼梯，规定每步能跨一级、二级，登上第几级时，共有55种不同的走法? 2. 对一个非0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，依此类推直到得到1停止操作，那么,经过8次操作变为1的数有多少个? 3. 有一楼梯共有9级，规定每步能跨一级、二级或者三级，要登上第九级，共有多少种不同的走法? 【奥数拓展六】报数问题。 50个学生排成一行，编号为1，2，3，…，49，50，然后1～2报数，报1的离开，报2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报1的离开，报2的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 【专项训练】 1. 100个学生排成一行，编号为1，2，3，…，99，100，然后1～2报数，报1的离开，报2的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报1的离开，报2的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 2. 50个学生排成一行，编号为1，2，3，…，49，50，然后1～2报数，报1的留下，报2的离开，剩下学生往前靠拢，再报数，报1的留下，报2的离开，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 3. 100个学生排成一行，编号为1，2，3，…，99，100，然后1～3报数，报1,报2的离开，报3的留下，剩下学生往前靠拢，再报数，报1,报2的离开，报3的留下，一直重复这样的报数规则，直到留下一个人，最后留下的学生编号是多少? 【奥数拓展七】完全平方数。 180名学生报名参加学校组织的夏令营活动，已知参加的男、女生人数恰好都是完全平方数，且男生比女生多，男生比女生多多少人? 【专项训练】 1. 一群猴子去花果山摘桃，共摘桃子2916个，已知平均每只猴子摘的桃子数与猴子的只数相等，这群猴子有多少只? 2. 有大、小两个边长是整厘米数的正方形，面积之和是169平方厘米，两个正方形的面积差是多少平方厘米? 3. 在1～1000这1000个正整数中，不是完全平方数的整数有多少个? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$