学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（湘教版九年级上册第1～2章）

11 2025-2026学年九年级上学期第一次月考 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11._________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C B B C C D C C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．， 12． 13． 14．1 15． 16．或 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（1）解：， 移项得：， 配方得：， ， 直接开方得：， 即：；（4分） （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， ∴．（8分） 18．解：(1)把x＝2，y＝3代入，得，解得m＝－1（4分）． (2)由m＝－1知，该反比例函数的解析式为． 当x＝3时，y＝2． 当x＝6时，y＝1． ∴当3≤x≤6时，函数值y的取值范围是1≤y≤2．（8分） 19．（1）由题意得：函数经过点（40，1）， 把（40，1）代入t=，得：k=40， 故可得：解析式为t=，再把（m，0.5）代入t=，得：m=80；（6分） （2）把v=60代入t=，得：t=，∴汽车通过该路段最少需要小时．（8分） 20．（1）设亩产量的平均增长率为， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去） 答：第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率为．（4分） （2）（公斤）， ， 他们的目标能实现．（8分） 21．（1）∵原方程有两个实数根， ∴△≥0 即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0， ∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ， ∴1﹣4k≥0， ∴k≤， ∴当k≤时，原方程有两个实数根；（3分） （2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立， ∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k， 由x1·x2-x12-x22≥0， 得3x1·x2-（x1+x2）2≥0 ∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0， 整理得：﹣（k﹣1）2≥0， ∴只有当k=1时，上式才能成立； 又∵由（1）知k≤， ∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.（5分） 22．过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得：，即， ∴， ∴，； ∴经过或、两点之间的距离是；（4分） 连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，PC=3y-22， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为．（10分） 23．（1）解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，；（5分） （2）解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：．（10分） 24．（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（4，﹣3） ∴﹣3=，∴k=﹣12，∴反比例函数解析式为y=﹣， ∵y=ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点， ∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．（4分） （2）∵一次函数的解析式为y=﹣x+1与y轴交于点A（0，1），∴S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5（7分）． （3）如图，∵C（4，﹣3），∴OC==5， ①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）． ②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解得x=，∴M4（，0）．a 综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）． （12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第1-2章 5．难度系数：0.75 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程配方后是（　　） A． B． C． D． 4．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 6．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．当时， 7．已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 8．在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的解是 ． 12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 13．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为 ． 14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 15．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于点B、C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是 ． 16．新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）解一元二次方程： (1)； (2)． 18．（8分）已知反比函数，当x＝2时，y＝3． (1)求m的值； (2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围． 19．（8分）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为和． 求k和m的值； 若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 20．（8分）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标． (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率． (2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动． 若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？ 若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 23．（10分）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 24．（12分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△COE的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第1-2章 5．难度系数：0.75 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程配方后是（　　） A． B． C． D． 4．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 6．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．当时， 7．已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 8．在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C．D． 9．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的解是 ． 12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 13．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为 ． 14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 15．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于点B、C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是 ． 16．新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）解一元二次方程： (1)； (2)． 18．（8分）已知反比函数，当x＝2时，y＝3． (1)求m的值； (2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围． 19．（8分）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为和． 求k和m的值； 若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 20．（8分）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标． (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率． (2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动． 若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？ 若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 23．（10分）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 24．（12分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△COE的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第1-2章 5．难度系数：0.75 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断可得答案． 【详解】解：A．是正比例函数，不符合题意； B．只有当时才符合反比例函数定义，不符合题意； C．是反比例函数，符合题意； D．，y不是x的反比例函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，属于基础题，熟练掌握反比例函数的定义（k为常数，）是解决本题的关键． 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，若点在函数的图象上，则．逐一验证各选项的横纵坐标乘积即可． 【详解】解：∵， ∴四个点中，只有点在反比例函数的图象上， 故选：C． 3．一元二次方程配方后是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元二次方程－配方法，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边同时加 16 得，， 即：， 故选：C． 4．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程， 根据题意得出形如的方程即可. 【详解】解：根据题意，得. 故选：B. 5．若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 6．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A：当时，，故图象经过点，正确； B：因，反比例函数图象位于第一、三象限，正确； C：当时，函数在每一象限内随的增大而减小，因此，选项C中“随的增大而增大”的结论错误； D：当时，的值趋近于0且小于1（如时），故，正确； 故选：C． 7．已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【答案】C 【分析】将点的坐标代入函数解析式计算即可． 【详解】解：∵点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上， ∴，，， ∴c＜a＜b 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解函数图象上的点的坐标能够函数解析式成立． 8．在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键． 由于本题不确定k的符号，可以根据一次函数经过的象限判断出k的符号，然后确定反比例函数经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案． 【详解】解：A、一次函数经过一、三、四象限，则，则反比例函数经过一、三象限，故此选项错误，不符合题意； B、一次函数不可能过一、二、三象限，图象不正确，反比例函数图象过一、三象限，则，故此选项错误，不符合题意； C、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项错误，不符合题意； D、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项符合题意； 故选D． 9．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 10．如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值． 【详解】解：设， 则， ∵点M在x轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴． ∵P点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．根据因式分解法解方程即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或 ∴该方程的解为：，． 故答案为：，． 12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 解得； 故答案为：． 13．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（米）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为米，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意特意求出的值是解题的关键．设，根据已知度的近视眼镜镜片的焦距是米，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵400度的近视眼镜镜片的焦距是米， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式是：， 故答案为：． 14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 【答案】1 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得（30-2x）（20-x）=532， 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据图形列出方程是解题关键． 15．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于点B、C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方， 不等式组的解是． 故答案为：． 16．新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程为“倍根方程”． ∴或者， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为： 或． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查配方法和因式分解法解一元二次方程． （1）先将常数项移项到等号右侧，再两边配方，再直接开方法即可得到本题答案； （2）先将等号右侧移项到等号左侧，再提公因式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， ， 直接开方得：， 即：； （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， ∴． 18．（8分）已知反比函数，当x＝2时，y＝3． (1)求m的值； (2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1）m＝－1；（2）1≤y≤2． 【详解】解：(1)把x＝2，y＝3代入，得，解得m＝－1． (2)由m＝－1知，该反比例函数的解析式为． 当x＝3时，y＝2． 当x＝6时，y＝1． ∴当3≤x≤6时，函数值y的取值范围是1≤y≤2． 19．（8分）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为和． 求k和m的值； 若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 【答案】（1）k=40，m=80；（2）汽车通过该路段最少需要小时． 【分析】（1）将点A（40，1）代入t=，求得k，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值； （2）求出v=60时的t值，汽车所用时间应大于等于这个值． 【详解】（1）由题意得：函数经过点（40，1）， 把（40，1）代入t=，得：k=40， 故可得：解析式为t=，再把（m，0.5）代入t=，得：m=80； （2）把v=60代入t=，得：t=，∴汽车通过该路段最少需要小时． 【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 20．（8分）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标． (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率． (2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)他们的目标能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． (1)设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； (2)利用第四阶段水稻亩产量=第三阶段水稻亩产量，可求出第四阶段水稻亩产量，将其与公斤比较后即可得出结论． 【详解】（1）设亩产量的平均增长率为， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去） 答：第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率为． （2）（公斤）， ， 他们的目标能实现． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）不存在 【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围； （2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值． 【详解】（1）∵原方程有两个实数根， ∴△≥0 即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0， ∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ， ∴1﹣4k≥0， ∴k≤， ∴当k≤时，原方程有两个实数根； （2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立， ∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k， 由x1·x2-x12-x22≥0， 得3x1·x2-（x1+x2）2≥0 ∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0， 整理得：﹣（k﹣1）2≥0， ∴只有当k=1时，上式才能成立； 又∵由（1）知k≤， ∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. 22．（10分）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动． 若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？ 若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）经过或、两点之间的距离是；（2）经过秒或秒的面积为． 【分析】（1）如图，过点P作PE⊥CD于E，设x秒后PQ=10cm，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时，根据面积列方程求解即可． 【详解】过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得：，即， ∴， ∴，； ∴经过或、两点之间的距离是； 连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，PC=3y-22， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． 23．（10分）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【详解】（1）解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； （2）解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 24．（12分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△COE的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为y=﹣x+1． （2）S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5． （3）点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）． 【详解】试题分析：（1）点C（4，﹣3）坐标代入反比例函数y=即可求出k，C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点坐标代入y=ax+b解方程组即可求出a、b．由此即可解决问题． （2）先求出点A坐标，根据S△COE=S△AOE+S△AOC计算即可． （3）分三种情形①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解方程即可． 试题解析：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（4，﹣3）， ∴﹣3=，∴k=﹣12，∴反比例函数解析式为y=﹣， ∵y=ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点， ∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1． （2）∵一次函数的解析式为y=﹣x+1与y轴交于点A（0，1），∴S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5． （3）如图，∵C（4，﹣3），∴OC==5， ①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）． ②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解得x=，∴M4（，0）． 综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）． 考点：反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的判定和性质 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年九年级上学期第一次月考 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11._________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15.___________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分）