14.1 全等三角形及其性质（讲义）2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质（讲义） 思维导图 学习目标 1. 知识与技能： · 理解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素。 · 掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 · 能正确表示两个全等三角形，并能找出它们的对应顶点、对应边和对应角。 2. 过程与方法： · 通过观察、比较、操作等方式，感知全等形的特征，归纳全等三角形的性质。 · 培养识图能力和几何语言表达能力。 3. 情感态度与价值观： · 在学习过程中感受数学图形的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。 知识点梳理 1. 全等形与全等三角形的定义 · 全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 · 强调：形状相同、大小相等。 · 全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 · 理解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2. 全等三角形的对应元素 · 对应顶点： 全等三角形中，互相重合的顶点。 · 对应边： 全等三角形中，互相重合的边。 · 对应角： 全等三角形中，互相重合的角。 · 找对应元素的方法（初步）： · 全等三角形重合时，重合的顶点、边、角即为对应元素。 · 公共边是对应边，公共角是对应角。 · 对顶角是对应角。 · 最大的边（角）与最大的边（角）是对应边（角）；最小的边（角）与最小的边（角）是对应边（角）。 3. 全等三角形的表示方法 · 符号：“≌”，读作“全等于”。 · 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 · 例如：若△ABC 和△DEF 全等，且点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F 是对应顶点，则记作 △ABC ≌ △DEF。 4. 全等三角形的性质 · 性质1： 全等三角形的对应边相等。 · 几何语言：∵ △ABC ≌ △DEF，∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF。（AB 对应 DE，BC 对应 EF，AC 对应 DF） · 性质2： 全等三角形的对应角相等。 · 几何语言：∵ △ABC ≌ △DEF，∴ ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。（∠A 对应 ∠D，∠B 对应 ∠E，∠C 对应 ∠F） 易错点提醒 1. 对应元素的识别： 这是学好全等三角形的关键。不要将“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”混淆。“对应”是针对两个全等三角形而言的，是相互的；“对边”、“对角”是针对同一个三角形而言的。 2. 全等三角形表示时对应顶点的书写顺序： 书写全等三角形时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上，这样可以方便快速地找出对应边和对应角。如果书写顺序错误，可能会导致对应关系混乱。 3. 对“完全重合”的理解： 全等三角形强调的是“能够完全重合”，即形状和大小完全相同，与它们的位置摆放无关。 知识点总结 · 核心概念： 全等形（形状相同、大小相等），全等三角形（能够完全重合的两个三角形）。 · 关键元素： 对应顶点、对应边、对应角。 · 表示方法： 用符号“≌”表示，对应顶点字母写在对应位置。 · 重要性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（这是后续解决几何问题的重要依据） 预习建议 1. 认真阅读教材： 仔细阅读课本中关于全等形、全等三角形的定义，对应元素的说明，以及全等三角形的性质和表示方法。 2. 动手操作： 可以找两张完全相同的纸张，剪出两个三角形，通过实际重合操作，直观感受全等三角形的对应关系和性质。 3. 图形观察： 观察教材中的插图或自己绘制简单的全等三角形图形，尝试找出图中的对应顶点、对应边和对应角。 4. 尝试练习： 对于教材中的“思考”、“探究”或简单的练习题，可以尝试独立完成，检验自己的预习效果。 5. 记录疑问： 在预习过程中遇到的不理解的地方或疑问，及时记录下来，带着问题听课，效率会更高。 巩固练习 一、选择题 1．下列图形中，是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列判断正确的个数是（　　） ①形状相同的两个三角形是全等形； ②全等图形的周长都相等； ③面积相等的两个等腰三角形是全等形； ④全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 6．如图所示，△ABC≌△BAD，点A与点B，点C与点D是对应顶点，如果∠DAB＝50°，∠DBA＝40°，那么∠DAC的度数为（　　） A．50° B．40° C．10° D．5° 7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（-2，3） 8．如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片（　　） A．① B．①② C．①③ D．①③④ 9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（　　） A．90° B．135° C．150° D．180° 二、填空题 10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，AB＝2，BC＝3，AC=4，则DF＝　 　． 11．下列图形中全等图形是　 　(填标号). 12．如图，D在边上，，，则的度数为　 　． 13．如图，，若，则长度为　 　． 14．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，y-1，若这两个三角形全等，则x+y的值是　 　． 15．如图，，点B的对应点E在线段AB上，，则∠DCA的度数是　 　． 三、解答题 16．如图，画在透明纸上的△ABC和△A'B'C'是全等图形吗?你是怎么判断的? 17．下面各对图形是不是全等图形?为什么? （1）边长都是10cm的两个正方形； （2）如图所示的两件衣服。 18．下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来. 19．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G.若∠ACB=105°，∠CAD=25°，∠B=30°，求∠1的度数. 20． 如图，已知△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，∠ANB和∠AMC是对应角.BM和CN相等吗?为什么? 答案参考 1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．A 9．B 10．4 11．⑤和⑦ 12． 13．6 14．14 或 12.5 15． 16．解：把两个图形放在一起，把A和A'，B和B'，C和C'重合，发现能完全重合，因此△ABC和△A'B'C'是全等图形． 17．（1）解：是全等图形，因为平移后能够完全重合． （2）解：不是全等图形，因为不能完全重合． 18．解：全等图形有： ①⑧； ②⑪； ③⑤⑥⑨； ④⑩⑫⑭； ⑦⑬ 19．解：∵△ABC≌△ADE， ∠B=30°， ∴∠D=∠B=30°． ∵∠ACB=∠CAD+∠AFC， ∴解得∠AFC=80°， ∴∠DFG=∠AFC=80°． ∴∠1=180°-∠D-∠DFG=70°． 20．解：BM=CN，理由见解析 ∵ △ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，∠ANB和∠AMC是对应角 ， ∴BN=CM， ∴BN-MN=CM-MN，即BM=CN 学科网（北京）股份有限公司 $$