专题2.6直线与圆、圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系(高效培优讲义) 教学目标 1、理解并掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断与应用； 2、掌握弦长、切线有关问题的解法； 教学重难点 1、重点：弦长问题、切线问题； 2、难点：切线问题，位置关系中含参讨论. 知识点01 直线与圆的位置关系的判断方法 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【即学即练1】(25-26高三上·广西·开学考试)已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 知识点02 两圆位置关系的判断方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 【即学即练2】(24-25高二下·安徽安庆·期末)已知圆，圆，则两圆的位置关系是( ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 知识点03 直线与圆的相交弦 直线被截得的弦长为的常用方法 1、几何法(优先推荐) ①弦心距(圆心到直线的距离) ②弦长公式： 2、代数法 直线：； 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练3-1】(24-25高三上·四川成都·阶段练习)若圆与圆相交于、，则所在直线方程是(    ) A． B． C． D． 【即学即练3-2】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则(   ) A． B．5 C． D．10 知识点04 两圆相交的公共弦 公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆公共弦方程 【即学即练4-1】已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是(  ) A． B． C． D． 【即学即练4-2】已知圆与圆交于、两点，则(   ) A． B． C． D． 知识点05 直线与圆的位置关系中常用距离的最值 1.上一点到圆外一点的距离的最值 2.上一点到上一点的距离的最值 3.上一点到直线距离的最值 4.过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径； 最短弦：垂直于直径的弦 【即学即练5-1】圆上的动点到直线的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【即学即练5-2】若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为(    ) A． B． C． D． 知识点06 圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线方程为:． (2)过圆上一点的圆的切线为: (3)过圆上一点的圆的切线方程为: (4)求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论． 设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值． 若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意； 若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意，需要加上斜率不存在的那一条． 【即学即练6-1】已知圆与圆，则两圆的公切线条数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练6-2】过点的直线与圆相切于点，则切线段长为(    ) A．3 B．4 C． D．5 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为(    ) A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【典例1-2】(2025·浙江·模拟预测)已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】(2025·江西景德镇·模拟预测)已知直线与圆，则(   ) A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【变式1-2】(24-25高二上·辽宁·期末)直线与圆的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【变式1-3】(23-24高二上·广东·期末)直线与圆的位置关系为(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-4】(2025·江苏·二模)已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则(    ) A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】(2025高三·全国·专题练习)已知直线l为过点且斜率大于0的一条动直线，P为l上一点，圆C：，若的最小值为，则的斜率为(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(2025·江西景德镇·模拟预测)若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式2-1】(2025·天津红桥·二模)已知直线与圆 相切，则(   ) A． B． C． D． 【变式2-2】(2025高三·全国·专题练习)已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(2025高二上·全国·专题练习)过点引直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(24-25高二上·江苏南京·期末)已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 题型03 直线与圆的交点 【典例3-1】(24-25高三上·河南南阳·期末)直线交圆于、两点，则(   ) A． B． C．1 D．2 【典例3-2】(2024·北京东城·二模)直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(23-24高三下·江苏苏州·开学考试)过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是(    ) A． B． C． D． 【变式3-1】(23-24高二上·湖北荆州·期末)已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为(    ) A． B．或 C．或 D． 【变式3-2】(多选)(22-23高二下·广东·期末)已知点P是圆C：上的动点，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，若为直角三角形，则点P的坐标可以是(    ) A． B． C． D． 【变式3-3】(23-24高三上·浙江温州·期末)已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 【变式3-4】(25-26高二上·全国·课后作业)经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【变式3-5】(2024高三·全国·专题练习)在圆上与点距离最大的点的坐标是 ． 题型04 直线与圆的相交弦 【典例4-1】(2025·新疆喀什·模拟预测)已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则(    ) A． B．2 C． D．4 【典例4-2】(23-24高三上·浙江嘉兴·期末)已知直线与圆：相交于A，B两点，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(24-25高二上·安徽阜阳·期末)已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为(   ) A．6 B．3 C．9 D．11 【典例4-4】(多选)(24-25高二下·安徽安庆·阶段练习)已知圆，直线，则(   ) A．直线经过定点 B．直线与圆相交 C．圆心到直线距离为时，直线的倾斜角为或 D．时，直线被圆截得的弦长最短 【变式4-1】(24-25高三上·甘肃·期末)直线被圆截得的弦长为(   ) A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高二上·重庆沙坪坝·期末)圆与圆交于两点，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】(24-25高二下·四川泸州·期末)已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为(   ) A． B．5 C．4 D．2 【变式4-4】(2025·河北秦皇岛·一模)已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，直线过点，则下列说法正确的是(    ) A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【变式4-6】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆与直线，下列选项正确的是(    ) A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 题型05 过圆内定点的弦长的最值 【典例5-1】(23-24高二上·广东江门·期中)过的直线与圆相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【典例5-2】(24-25高二下·河南商丘·阶段练习)直线被圆截得的最短的弦长为(    ) A． B． C．4 D． 【典例5-3】(24-25高二上·重庆渝中·阶段练习)直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为(    ) A．3 B．2 C．1 D．0 【典例5-4】(24-25高二上·重庆·阶段练习)已知圆及直线，下列说法正确的是(    ) A．圆被轴截得的弦长为2 B．直线过定点 C．直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为 D．直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为 【变式5-1】(24-25高二上·山东潍坊·期中)已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为(   ) A． B．2 C． D． 【变式5-2】(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则(   ) A． B． C． D． 【变式5-3】(24-25高二上·山东菏泽·阶段练习)直线(其中)被圆所截得的最短弦长等于(    ) A． B． C． D． 【变式5-4】(21-22高三上·山东德州·期末)已知圆O：，直线l：与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，(    ) A． B． C． D． 【变式5-5】(23-24高二下·广西南宁·期中)若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为(    ) A． B．2 C．4 D． 【变式5-6】(多选)(23-24高二上·海南三亚·期中)圆，直线．则( ) A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C．直线与圆有两个交点 D．直线与圆相交得到的最短弦长为 题型06 直线与圆位置关系中的最值 【典例6-1】(24-25高二上·广东广州·期中)已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 【典例6-2】(多选)(2025·山东潍坊·一模)已知点，圆，则(   ) A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 【典例6-3】(多选)(24-25高二上·湖南·期中)对于直线与圆，下列说法正确的是(   ) A．直线过定点 B．直线与圆不可能相切 C．直线被圆截得的弦长的最小值为6 D．圆上一点到点的最大距离为8 【典例6-4】(多选)(23-24高二上·广东深圳·期末)已知直线与圆交于A，B两点，则(    ) A．圆D的面积为 B．l过定点 C．面积的最大值为 D． 【变式6-1】(24-25高二上·江苏常州·阶段练习)已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为(    ) A．2 B．1 C． D． 【变式6-2】(21-22高三上·浙江绍兴·期末)已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式6-3】(多选)(2024·福建南平·二模)已知圆：，直线：，则(    ) A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 【变式6-4】(多选)(24-25高二上·江西吉安·期末)已知点，且点在直线上，下列说法正确的是(   ) A．的最大值为3 B．若线段与直线有交点，则 C．当时，存在点，使得 D．当时，周长的最小值为 【变式6-5】(多选)(23-24高二下·广东深圳·期末)已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则(      ) A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 题型07 判断两圆的位置关系 【典例7-1】(24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末)圆与圆位置关系是(    ) A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【典例7-2】(24-25高二上·广东·期末)已知圆与圆有三条公切线，则(    ) A．5 B．16 C．32 D．36 【典例7-3】(2025·河北保定·模拟预测)在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有(   ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式7-1】(24-25高二上·广东广州·期末)已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是(    ) A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【变式7-2】(2025·河南·模拟预测)圆与圆的位置关系是(   ) A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【变式7-3】(23-24高二上·重庆·阶段练习)已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是(    ) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式7-4】(24-25高三下·辽宁·期中)圆与圆的公切线条数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-5】(24-25高二下·四川南充·阶段练习)记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为(    ) A．4 B．5 C．8 D．3 【变式7-6】(24-25高二上·全国·课后作业)已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是(    ) A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 题型08 由两圆位置关系求参数 【典例8-1】(23-24高二上·青海西宁·期中)已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例8-2】(24-25高二上·贵州黔南·阶段练习)圆与圆外离，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例8-3】(23-24高二上·北京朝阳·期末)是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【变式8-1】(24-25高二上·湖北·期中)已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为(   ) A． B． C． D．0 【变式8-2】(2025·重庆·模拟预测)在平面直角坐标系中，圆 与圆 相交于 两点，则四边形 的周长为(    ) A．4 B．7 C．8 D．10 【变式8-3】(24-25高二上·湖南永州·阶段练习)若存在实数使得与内切，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-4】(24-25高二上·宁夏银川·阶段练习)在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式8-5】(24-25高三上·江西宜春·阶段练习)已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是(    ) A． B． C． D． 【变式8-6】(24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习)已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为(    ) A．20 B． C．10 D． 题型09 两圆相交的公共弦 【典例9-1】(24-25高二上·安徽滁州·期中)已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【典例9-2】(24-25高二上·广东深圳·期末)圆，圆，两圆的交点为，，则(   ) A． B．1 C． D．2 【典例9-3】(24-25高二上·山东临沂·期末)已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为(   ) A． B． C．1 D．2 【变式9-1】(24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中)若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【变式9-2】(24-25高二上·甘肃临夏·期末)圆与圆相交，则公共弦长为(    ) A． B． C． D． 【变式9-3】(24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习)圆，圆，则圆与(   ) A．外离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【变式9-4】(24-25高二上·福建三明·阶段练习)已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为(    ). A． B． C． D． 【变式9-5】(多选)(25-26高二上·全国·课后作业)(多选)已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是(    ) A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【变式9-6】(多选)(2025高三·全国·专题练习)若圆与圆交于A，B两点，则下列结论正确的是(    ) A．点在圆内 B．直线AB的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 题型10 圆上点到直线距离的最值 【典例10-1】(24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习)已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例10-2】(2025·湖北恩施·模拟预测)直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【典例10-3】(2025·安徽合肥·模拟预测)长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为(    ) A．1 B． C．2 D．3 【典例10-4】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知P为圆O：上动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则(   ) A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 【变式10-1】(25-26高三上·广东·开学考试)是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式10-2】(24-25高二下·河南驻马店·期末)已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式10-3】(24-25高二上·安徽宣城·期末)已知点A，B在直线上运动，且，点C在圆上，则面积的最大值为(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【变式10-4】(24-25高二上·江苏盐城·期末)已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为(　　) A． B．9 C．6 D．3 【变式10-5】(多选)(2025·辽宁·三模)已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则(   ) A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 【变式10-6】(多选)(2025·湖北武汉·三模)已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则(   ) A． B．面积的最大值为 C．直线的方程为 D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个 题型11 圆的切线 【典例11-1】(2025·四川成都·模拟预测)过点作圆的切线，切点为，则的最小值为(   ) A． B．5 C． D． 【典例11-2】(多选)(2025·江苏徐州·模拟预测)圆，P为圆O上的动点，则(    ) A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【典例11-3】(23-24高二上·河南周口·阶段练习)已知：，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当弦长最小时，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【变式11-1】(2025·重庆·三模)过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则(    ) A．2 B． C． D．4 【变式11-2】(23-24高三上·江西·期末)根据圆的性质我们知道，过圆外的一点可以作圆的两条切线，切点为与，我们把四边形称为圆的“切点四边形”.现已知圆：，圆外有一点，则圆的“切点四边形”的外接圆周长为(    ) A． B． C． D． 【变式11-3】(23-24高二上·北京房山·期中)设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为(    ) A．2 B． C．3 D． 【变式11-4】(2025高三·全国·专题练习)过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则(   ) A． B． C． D． 【变式11-5】(多选)(24-25高二下·云南昆明·期中)已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则(   ) A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 【变式11-6】(多选)(22-23高二上·江苏南京·期中)过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则(    ) A．弦AB长的最小值为8 B．△MAB面积的最大值为 C．圆M上一定存在4个点到l的距离为 D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线上 一、单选题 1.(2025·江西景德镇·模拟预测)已知直线与圆，则(   ) A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 2.(2025·贵州·二模)若直线：与圆：相切，则(   ) A．0 B． C．1 D． 3.(24-25高二上·四川成都·期末)圆和圆的位置关系是(    ) A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 4.(2025·江西南昌·一模)直线与圆交于A，B两点，，则(   ) A． B． C． D． 5.(24-25高三上·福建福州·阶段练习)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( ) A． B． C． D． 6.(25-26高三上·湖北·开学考试)已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为(　　) A．2 B． C． D．2 7.(2025·山东聊城·三模)已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为( ) A． B． C．1 D．2 8.(24-25高二下·上海·阶段练习)设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是(    ) ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 二、多选题 9.(25-26高二上·全国·课后作业)(多选)已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是(    ) A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 10.(2025·河北·三模)已知直线与圆，则下列说法正确的是(    ) A．当时，直线与圆相交 B．若直线与圆相切，则 C．圆上一点到直线的最大距离为 D．若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则 11.(2024·北京·模拟预测)一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是(    ) A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12.(2024·陕西商洛·三模)已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 13.(2025高二·全国·专题练习)已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ． 14.(24-25高二上·河北唐山·期中)已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 四、解答题 15.(24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试)已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系；(2)求该圆过点的切线方程. 16.(23-24高二上·广西南宁·期末)已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 17.(24-25高二上·浙江杭州·期中)古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程；(2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程；(3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 18.(24-25高二上·吉林四平·阶段练习)已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程；(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；(3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19.(24-25高二上·重庆·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知圆C：，，是圆上的动点，且，的中点为． (1)求点的轨迹方程；(2)设点A是直线上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值；(3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合)，求证：直线过定点． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 21 页 专题 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系(高效培优讲义) 教学目标 1、理解并掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断与应用； 2、掌握弦长、切线有关问题的解法； 教学重难点 1、重点：弦长问题、切线问题； 2、难点：切线问题，位置关系中含参讨论. 直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ |Aa＋Bb＋C| A2＋B2 d<r d＝r d>r 代数法：由 Ax＋By＋C＝0 x－a2＋y－b2＝r2 消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【即学即练 1】(25-26 高三上·广西·开学考试)已知直线 l： 2 4 0ax y a    与圆C： 2 2 2 2 0x y y    ， 则直线 l与圆C的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 (1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 第 2 页 共 21 页 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 圆C1的方程 圆C2的方程 消元 一元二次方程 ∆ > 0 ⇒ 相交, ∆ = 0 ⇒内切或外切, ∆ < 0 ⇒ 内含或外离, 【即学即练 2】(24-25 高二下·安徽安庆·期末)已知圆 2 21 : 4 0C x y   ，圆 2 2 2 : 4 4 8 0C x y x y     ，则两 圆的位置关系是( ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 直线 l被⨀C截得的弦长为 | |AB 的常用方法 1、几何法(优先推荐) ①弦心距(圆心到直线的距离) ②弦长公式： 2 22AB r d  2、代数法 直线 l： 0Ax By C   ；⨀C: 2 2 0x y Dx Ey F     联立 2 2 0 0 Ax By C x y Dx Ey F          消去“ y”得到关于“ x”的一元二次函数 2 0ax bx c   弦长公式： 2 21 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x     【即学即练 3-1】(24-25 高三上·四川成都·阶段练习)若圆 2 2 2 5 0x y x    与圆 2 2 2 4 4 0x y x y     相交 于A、 B，则 AB所在直线方程是( ) A． 4 4 1 0x y   B． 4 4 1 0x y   C． 1 0x y   D． 1 0x y   【即学即练 3-2】已知直线 l： 2 3 0x y   与圆 C： 2 2 2 6 15 0x y x y     相交于 A，B两点，则 AB  ( ) A． 5 B．5 C． 2 5 D．10 公共弦所在直线的方程 设 1C : 2 2 21 1 1( ) ( )x a y b r    第 3 页 共 21 页 2C : 2 2 2 2 2 2( ) ( )x a y b r    联立作差得到： 0Ax By C   即为两圆公共弦方程 【即学即练 4-1】已知圆 2 21 : 4C x y  ，圆 2 2 2 : 4 4 4 0C x y x y     ，两圆的公共弦所在直线方程是( ) A． 2 0x y   B． 2 0x y   C． 1 0x y   D． 1 0x y   【即学即练 4-2】已知圆 2 21 : 4 0C x y   与圆 2 2 2 : 4 4 12 0C x y x y     交于M 、 N两点，则 MN  ( ) A． 2 2 B． 2 C．2 3 D． 3 1.⨀C上一点�到圆外一点�的距离的最值 ���� = �� + r ���� = �� − r 2.⨀C1上一点到⨀C2上一点的距离的最值 ���� = �1�2 + (r1 + r2) ���� = �1�2 − (r1 + r2) 3.⨀C上一点�到直线�距离的最值 ���� = ��−� + r ���� = ��−� − r 4.过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径； 最短弦：垂直于直径的弦 【即学即练 5-1】圆  2 2: 1 2C x y   上的动点M 到直线 3 0x y   的距离的最小值为( ) A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2 【即学即练 5-2】若点 P在直线3 4 12 0x y   上，点 Q在圆 2 2 1x y  上，则线段 PQ长度的最小值为( ) A． 12 5 B． 7 5 C． 17 5 D． 22 5 (1)过圆 2 2 2x y r  上一点 0 0( , )P x y 的圆的切线方程为: 20 0x x y y r  ． (2)过圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    上一点 0 0( , )P x y 的圆的切线为: 20 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r      (3)过圆 2 2 0x y D x Ey F     上一点 0 0( , )P x y 的圆的切线方程为: 0 00 0 02 2 x x y y x x y y D E F          (4)求过圆 2 2 2x y r  外一点 0 0( , )P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论． 第 4 页 共 21 页 设切线方程为 0 0( )y y k x x   ，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于 k的方程，求出 k值． 若求出的 k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意； 若求出的 k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意，需要加上斜率不存在的那一条． 【即学即练 6-1】已知圆 2 21 : 9O x y  与圆 2 2 2 : ( 4) ( 3) 4O x y    ，则两圆的公切线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练 6-2】过点  2,4P 的直线与圆 2 2: ( 3) 1O x y   相切于点A，则切线段 PA长为( ) A．3 B．4 C． 17 D．5 题型 01 判断直线与圆的位置关系 【典例 1-1】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2 2: 8 15 0C x y y    ，直线 :l x ky  1 4 0k  ，则直线 l 与圆C的位置关系为( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【典例 1-2】(2025·浙江·模拟预测)已知圆 2 2: 9O x y  ，则“点  ,M a b 在圆O外”是“直线 1ax by  与圆O相 交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例 1-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2 2: 4C x y  ，直线 : 2 0l x y   ，则圆C上到直线 l的 距离等于 1 的点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 1-1】(2025·江西景德镇·模拟预测)已知直线 : 1 0l x y   与圆    2 2: 3 2 4C x y    ，则( ) A． l与C相离 B． l与C相切 C． l平分C D． l与C相交但不平分C 【变式 1-2】(24-25 高二上·辽宁·期末)直线3 2 1 0x y   与圆      2 2 21 1 0x y r r     的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．与 r有关 【变式 1-3】(23-24 高二上·广东·期末)直线 : cos sin 2 0   l x y 与圆 2 2: 1O x y  的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式 1-4】(2025·江苏·二模)已知圆C：  22 102 3 x y   ，将直线 1l ： 3 0x y  绕原点按顺时针方向旋转 第 5 页 共 21 页 30后得到直线 2l ，则( ) A．直线 2l 过圆心C B．直线 2l 与圆C相交，但不过圆心 C．直线 2l 与圆C相切 D．直线 2l 与圆C无公共点 题型 02 由直线与圆的位置关系求参数 【典例 2-1】(2025 高三·全国·专题练习)已知直线 l为过点  2,0 且斜率大于 0 的一条动直线，P为 l上一点， 圆 C：  2 21 1x y   ，若 CP 的最小值为 2，则 l的斜率为( ) A． 14 7 B． 2 2 5 C． 3 2 D． 10 3 【典例 2-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)若圆C： 2 2 12 10 25 0x y x y     上有四个不同的点到直线 : 3 4 0l x y c   的距离为 3，则 c的取值范围是( ) A． (0,17) B． ( 13,0) C． ( 13,17) D． (13,17) 【典例 2-3】(2025·江西景德镇·模拟预测)若曲线 2: 4 3C y x x    上存在两点到直线  : 3 0 0l x y m m    的距离为 3，则m的取值范围为( ) A．  7,9 B．  6,7 C．  5,6 D．  5,9 【变式 2-1】(2025·天津红桥·二模)已知直线 :l  1 0 0kx y k    与圆 2 2: 4 3 0C x y x    相切，则 k  ( ) A． 2 3 B． 3 4 C． 3 2 D． 4 3 【变式 2-2】(2025 高三·全国·专题练习)已知直线 l： 1 0mx y m    与圆 C：    2 22 1 1x y    交于 A，B 两点，若 90ACB  ，则m  ( ) A． 1 B． 2 C． 2 D． 1 【变式 2-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线  0 0x y k k    与圆 2 2 4x y  交于不同的两点 ,A B， O是坐标原点，且有 3OA OB AB     ，则实数 k的取值范围是( ) A． 6,2 3 B． 6,2 2 C． 2, 6 D． 3, 6 【变式 2-4】(2025 高二上·全国·专题练习)过点 (2,0)引直线 l与曲线 22 0y x   相交于 A，B两点，O为坐 标原点，当∆AOB的面积取最大值时，直线 l的斜率等于( ) A． 3 3 B． 3 C． 3 3  D． 3 第 6 页 共 21 页 【变式 2-5】(24-25 高二上·江苏南京·期末)已知    1,0 , 1,2A B  ，若在直线  2y k x  上存在点 P，使得 2 2| | | | 10PA PB  ，则 k的取值范围为( ) A． 2, 2   B． 2, 6   C． 2 2,2 2    D． 2 6,2 6    题型 03 直线与圆的交点 【典例 3-1】(24-25 高三上·河南南阳·期末)直线 3 2 3 0x y   交圆 2 2 4x y  于A、B两点，则OA OB    ( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 【典例 3-2】(2024·北京东城·二模)直线 : 1l y   与圆 2 2: 4 0E x y x   交于A， B两点，若圆上存在点C， 使得∆ABC为等腰三角形，则点C的坐标可以为( ) A．  0,0 B．  4,0 C．  1, 3 D．  2, 2 【典例 3-3】(23-24 高三下·江苏苏州·开学考试)过点  2,0P  作直线 l交圆 2 2: 1C x y  于点M ， N，若 PM MN   ，则点M 的横坐标是( ) A． 7 8  B． 7 9  C． 7 10  D． 1 4 【变式 3-1】(23-24 高二上·湖北荆州·期末)已知点 (1, 4)A 和 (2,1)B ，点 P在 y轴上，且 APB 为直角，则点 P 坐标为( ) A．  0,2 B．  0,2 或  0,3 C．  0,2 或  0,4 D．  0,3 【变式 3-2】(多选)(22-23 高二下·广东·期末)已知点 P是圆 C： 2 2 8x y  上的动点，直线 4x y  与 x轴和 y轴分别交于 A，B两点，若 PAB 为直角三角形，则点 P的坐标可以是( ) A．  2, 2  B．  2, 2 C．  1 3,1 3  D．  1 3,1 3  【变式 3-3】(23-24 高三上·浙江温州·期末)已知圆 2 2 16x y  与直线 3y x  交于 A，B两点，则经过点 A， B，  8,0C 的圆的方程为 ． 【变式 3-4】(25-26 高二上·全国·课后作业)经过圆 2 2 8 6 21 0x y x y     与直线 5 0x y   的交点，且在 y 轴上的弦长为 2 33的圆的方程是 ． 【变式 3-5】(2024 高三·全国·专题练习)在圆    2 22 3 2x y    上与点  0, 5 距离最大的点的坐标是 ． 第 7 页 共 21 页 题型 04 直线与圆的相交弦 【典例 4-1】(2025·新疆喀什·模拟预测)已知直线 : 4 0l x y   与圆 2 2 9x y  交于 ,A B两点，过 ,A B分别作 l的垂线与 x轴交于 ,C D两点，则 CD  ( ) A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 【典例 4-2】(23-24 高三上·浙江嘉兴·期末)已知直线 : 3 1 0l x y   与圆O： 2 2 1x y  相交于 A，B两点， 则 AOB  ( ) A． π 2 B． 2π 3 C． 3π 4 D． 5π 6 【典例 4-3】(多选)(24-25 高二上·安徽阜阳·期末)已知圆的方程为 2 2 8 8 3 0x y x y     ，过点  1,0 的直线 交该圆于A， B两点，则弦长 AB 的值可能为( ) A．6 B．3 C．9 D．11 【典例 4-4】(多选)(24-25 高二下·安徽安庆·阶段练习)已知圆  22: 1 4C x y   ，直线  : 1 2 1 0l m x my m     ，则( ) A．直线 l经过定点 B．直线 l与圆C相交 C．圆心C到直线 l距离为 2 2 时，直线 l的倾斜角为 45或135 D． 0m  时，直线 l被圆C截得的弦长最短 【变式 4-1】(24-25 高三上·甘肃·期末)直线 : 3 4 1 0l x y   被圆 2 2: 4 6 4 0C x y x y     截得的弦长为( ) A． 2 2 B． 4 3 C．2 3 D． 4 2 【变式 4-2】(24-25 高二上·重庆沙坪坝·期末)圆 2 2 4 0x y y   与圆 2 2 4 2 4x y x y    交于 ,A B两点，则直 线 AB的方程为( ) A． 2 3 2 0x y   B．3 2 2 0x y   C．3 2 2 0x y   D． 2 3 2 0x y   【变式 4-3】(24-25 高二下·四川泸州·期末)已知直线 : 3 6 0l x y   与圆 2 2: 2 4 0C x y y    相交于 A，B 两点，则∆ABC的面积为( ) A． 5 2 B．5 C．4 D．2 【变式 4-4】(2025·河北秦皇岛·一模)已知圆 2 2: 4 4 4 0M x y x y     与 y轴相切于A点，过A点的直线 l交 圆M 于另一点 B，点  0,3 ,F O为坐标原点，若 AO BOAF BF ，则直线 l的方程为( ) 第 8 页 共 21 页 A． 2 4 0x y   B． 2 2 0x y   C． 2 0x y   D．3 2 4 0x y   【变式 4-5】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2 2: ( 2) ( 2) 4C x y    ，直线 l过点 (2, 4)P ，则下列 说法正确的是( ) A．点 P在圆C上 B．若直线 l过原点，则圆C截直线 l所得弦长为 4 5 C．若 l与圆C相切，则 l的方程为 4y  D．若 l与圆C相交于 A，B两点，且 ABCV 为直角三角形，则 l的方程为 2 0x y   【变式 4-6】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2( 1)x   2( 2) 4y   与直线 2 0x my m    ，下列 选项正确的是( ) A．直线过定点 ( 2,1) B．直线与圆必相交 C．圆截 y轴所得弦长为 2 3 D．直线被圆截得的最短弦长为 2 2 题型 05 过圆内定点的弦长的最值 【典例 5-1】(23-24 高二上·广东江门·期中)过  1,1P 的直线与圆 2 2 4x y  相交，若使得相交弦长最短，则该 直线的方程为( ) A． 1 0y   B． 2 0x y   C． 0x y  D． 3 4 0x y   【典例 5-2】(24-25 高二下·河南商丘·阶段练习)直线 1 0mx y m    被圆 2 2 2 8 0x y x    截得的最短的弦 长为( ) A． 10 B． 2 3 C．4 D． 9 2 【典例 5-3】(24-25 高二上·重庆渝中·阶段练习)直线 l过点  1,2 ，且与圆C：   2 22 4 10x y    相交所形 成的长度为 2 5 的弦的条数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【典例 5-4】(24-25 高二上·重庆·阶段练习)已知圆 2 2: ( 2) ( 1) 5C x y    及直线    : 2 1 8 0l m x m y m      ，下列说法正确的是( ) A．圆C被 x轴截得的弦长为 2 B．直线 l过定点  3,2 C．直线 l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线 l的方程为 1 0x y   D．直线 l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线 l的方程为 5 0x y   第 9 页 共 21 页 【变式 5-1】(24-25 高二上·山东潍坊·期中)已知圆C： 2 2 4x y  ，直线 l： 1y kx k   ，若 l与C交于 ,A B两 点，则 AB 的最小值为( ) A． 2 B．2 C． 2 2 D． 2 3 【变式 5-2】(24-25 高二上·浙江杭州·期末)已知圆 2 2: ( 3) ( 4) 8C x y    ，直线 : 3 0l mx y m    ，若直线 l被圆C截得的弦长的最大值为 a，最小值为b，则 a b  ( ) A． 4 2 2 3 B． 4 2 3 C． 2 2 2 3 D． 2 2 3 【变式 5-3】(24-25 高二上·山东菏泽·阶段练习)直线 1 3 0mx y m    (其中mR )被圆    2 22 2 5x y    所 截得的最短弦长等于( ) A． 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 3 【变式 5-4】(21-22 高三上·山东德州·期末)已知圆 O： 2 2 9x y  ，直线 l：  2 ,ax by a b a b   R 与两坐 标轴交点分别为 M，N，当直线 l被圆 O截得的弦长最小时， MN  ( ) A． 3 5 2 B． 2 5 C． 5 5 2 D．3 5 【变式 5-5】(23-24高二下·广西南宁·期中)若直线 : 2 0l kx y k    与圆 2 2: 4 2 1 0C x y x y     交于 ,A B 两点，且直线 l不过圆心C，则当∆ABC的周长最小时，∆ABC的面积为( ) A． 2 B．2 C．4 D．3 2 【变式 5-6】(多选)(23-24 高二上·海南三亚·期中)圆 2 2: ( 2) 4C x y   ，直线    : 1 2 1 0 Rl m x y m m      ．则( ) A．直线 l恒过定点  1,1 B．当 0m  时，圆C上恰有四个点到直线 l的距离等于 1 C．直线 l与圆C有两个交点 D．直线 l与圆C相交得到的最短弦长为 2 2 题型 06 直线与圆位置关系中的最值 【典例 6-1】(24-25 高二上·广东广州·期中)已知圆 2 2: ( 2) 2M x y   ，直线 : 2 0  l x y ，点 P在直线 l上 运动，直线 ,PA PB分别与圆M 相切于点 ,A B，则四边形 PAMB的面积的最小值为( ) A． 2 3 B． 3 C． 4 D． 2 【典例 6-2】(多选)(2025·山东潍坊·一模)已知点  2,2P ，圆 2 2: 18C x y  ，则( ) A．点 P在C内 B．点 P与C上的点之间的最大距离为 6 2 C．以点 P为中点的弦所在直线的方程为 4 0x y   D．过点 P的直线被C截得弦长的最小值为 10 第 10 页 共 21 页 【典例 6-3】(多选)(24-25 高二上·湖南·期中)对于直线  : 2 2 1 0l m x y m     与圆 2 2: 6 4 4 0C x y x y     ，下列说法正确的是( ) A．直线 l过定点  3,2 B．直线 l与圆C不可能相切 C．直线 l被圆C截得的弦长的最小值为 6 D．圆上一点到点  0, 2P  的最大距离为 8 【典例 6-4】(多选)(23-24 高二上·广东深圳·期末)已知直线 : 2 4 0( )l mx y m m    R 与圆 2 2: 2 24 0D x y x    交于 A，B两点，则( ) A．圆 D的面积为 25π B．l过定点 (4, 2) C． ABD△ 面积的最大值为2 39 D． 4 3 10AB  【变式 6-1】(24-25 高二上·江苏常州·阶段练习)已知点  1,0A  ，  0,1B ，点 P是圆  2 22 2x y   上任意一 点，则 PAB 面积的最小值为( ) A．2 B．1 C． 12 D． 3 2 2  【变式 6-2】(21-22 高三上·浙江绍兴·期末)已知 ,M N为圆 2 2 2: 4 0C x y x y    上两点，且 4MN  ，点 P 在直线 : 3 0l x y   上，则    PM PN 的最小值为( ) A． 2 2 2 B． 2 2 C． 2 2 2 D．2 2 5 【变式 6-3】(多选)(2024·福建南平·二模)已知圆C：    2 21 2 25x y    ，直线 l：      2 1 1 7 4 0m x m y m m      R ，则( ) A．直线 l过定点  3,1 B．圆C被 x轴截得的弦长为 4 5 C．当 2m   时，圆C上恰有 2 个点到直线 l距离等于 4 D．直线 l被圆C截得的弦长最短时， l的方程为 2 5 0x y   【变式 6-4】(多选)(24-25 高二上·江西吉安·期末)已知点    3, 2 , , 2M a N a ，且点 P在直线 : 1 0l x y   上， 下列说法正确的是( ) A． PM PN 的最大值为 3 B．若线段MN与直线 l有交点，则 3 0a   C．当 3a  时，存在点 P，使得 PM PN D．当 1a  时， PMN 周长的最小值为 17 3 【变式 6-5】(多选)(23-24 高二下·广东深圳·期末)已知点 ,A B为圆 2 2: 26O x y  上两动点，且 4 6AB  ， 点 P为直线 l : 10 0x y   上动点，则( ) A．以 AB为直径的圆与直线 l相离 B． APB 的最大值为 π 3 第 11 页 共 21 页 C． PA PB   的最小值为 8 D． 2 2PA PB 的最小值为 112 题型 07 判断两圆的位置关系 【典例 7-1】(24-25 高二上·新疆巴音郭楞·期末)圆 2 21 : 4C x y  与圆 2 2 2 : ( 1) ( 2) 9C x y    位置关系是( ) A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【典例 7-2】(24-25 高二上·广东·期末)已知圆 2 21 : ( 1) ( 1) 4C x y    与圆 2 2 2 : ( 4) ( 5) 41C x y m     有三条 公切线，则m  ( ) A．5 B．16 C．32 D．36 【典例 7-3】(2025·河北保定·模拟预测)在平面内与点  1,2A 距离为 1，与点  4,1B 距离为 2 的直线共有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 【变式 7-1】(24-25 高二上·广东广州·期末)已知圆 2 21 : 9C x y  ，圆 2 2 2 : ( 4) ( 3) 4C x y    ，则圆 1C 与圆 2C 的位置关系是( ) A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【变式 7-2】(2025·河南·模拟预测)圆 2 2 2 2 1 0x y x y     与圆 ² ² 4 6 9 0x y x y     的位置关系是( ) A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【变式 7-3】(23-24 高二上·重庆·阶段练习)已知圆  2 21 : 2 1 0 RC x y x my m      的面积被直线 2 1 0x y   平分，圆    2 22 : 2 3 25C x y    ，则圆 1C 与圆 2C 的位置关系是 ( ) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式 7-4】(24-25 高三下·辽宁·期中)圆 2 21 : ( 1) ( 1) 2C x y    与圆    2 22 : 2 2 2 4 4 0C x ax y a y a a       的公切 线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 7-5】(24-25 高二下·四川南充·阶段练习)记  ,H P  表示点 P到曲线 上任意一点距离的最小值．已知 圆 2 2 1 : ( 3) 1O x y   ，圆 2 2 2 : ( 4) 4O x y   ，若点M 为圆 1O 上的一点，则  2,H M O 的最大值为( ) A．4 B．5 C．8 D．3 【变式 7-6】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知圆 2 21 : 2 4 7 0C x y x y     和圆 2 2 2 : ( 3) ( 1) 12C x y    交 于两点，点 P在圆 1C 上运动，点Q在圆 2C 上运动，则下列说法正确的是( ) 第 12 页 共 21 页 A．圆 1C 和圆 2C 关于直线8 6 5 0x y   对称 B．圆 1C 和圆 2C 的公共弦长为 2 23 C． PQ 的取值范围为 0,5 2 3   D．若M 为直线 8 0  x y 上的动点，则 PM MQ 的最小值为 109 4 3 题型 08 由两圆位置关系求参数 【典例 8-1】(23-24 高二上·青海西宁·期中)已知圆 2 21 : 1C x y  与圆       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     有 4 条 公切线，则实数 a的取值范围是( ) A．  0, 2 2 B．  2 2, C．  0, 2 6 D．  2 6, 【典例 8-2】(24-25 高二上·贵州黔南·阶段练习)圆    2 21 : 4 3 9C x y    与圆 2 22 : 4 10 0C x y x y m     外离，则m 的取值范围是( ) A．  , 29 B．  20,  C．  20,29 D．  28,29 【典例 8-3】(23-24 高二上·北京朝阳·期末) ,A B是圆 2 21 : ( 2) ( ) 4C x y m    上两点， 2 3AB  ，若在圆 2 2 2 : ( 2) ( 1) 9C x y    上存在点 P恰为线段 AB的中点，则实数m的取值范围为( ) A．  5, 3 1,3     B．  4, 2 2,4     C． 1,3 D．  5,3 【变式 8-1】(24-25 高二上·湖北·期中)已知圆 2 2 2 1 : 1 04 tC x y tx     与圆 2 22 : 2 3 0C x y y    ，若圆 1C 与圆 2C 恰有三条公切线，则实数 t的值为( ) A． 2 2 B． 4 2 C． 4 6 D．0 【变式 8-2】(2025·重庆·模拟预测)在平面直角坐标系中，圆 2 2: 1O x y  与圆 2 21 : 6 0O x y x   相交于 P Q， 两点，则四边形 1OPOQ 的周长为( ) A．4 B．7 C．8 D．10 【变式 8-3】(24-25 高二上·湖南永州·阶段练习)若存在实数 a使得 2 2 21 : 2 1 0C x y ax a     与  2 2 22 : ( 1) ( 1) 0C x y r r     内切，则 r的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 8-4】(24-25 高二上·宁夏银川·阶段练习)在平面直角坐标系 xOy中，若圆 1C ：     2 2 21 2 0 2 x y r r         上 任意一点关于原点的对称点都不在圆 2C ：    2 22 1 1x y    上，则 r的取值范围是( ) 第 13 页 共 21 页 A． 13 131, 1 2 2         B． 130, 1 2        C． 13 130, 1 1, 2 2                   D． 13 130, , 2 2                 【变式 8-5】(24-25 高三上·江西宜春·阶段练习)已知 P是圆 2 2: 6 0C x y y   上一动点，若直线 : 3 4 12 0l x y   上 存在两点 ,A B，使得 π 2 APB  能成立，则线段 AB的长度的最小值是( ) A． 18 5 B． 22 5 C． 43 5 D． 98 5 【变式 8-6】(24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习)已知圆 2 21 : 2 2 0C x y x y    ，设其与 x轴､ y轴正半轴分别 交于M ，N两点.已知另一圆 2C 的半径为 2 2，且与圆 1C 相外切，则 2 2C M C N 的最大值为( ) A．20 B． 20 2 C．10 D．10 2 题型 09 两圆相交的公共弦 【典例 9-1】(24-25 高二上·安徽滁州·期中)已知圆 1C ：    2 22 3 16x y    与圆 2C ：  22 2 10x y   相交 于A， B两点，则直线 AB的方程为( ) A． 4 10 3 0x y   B．4 10 3 0x y   C． 4 10 9 0x y   D．4 10 9 0x y   【典例 9-2】(24-25 高二上·广东深圳·期末)圆 2 21 : 1C x y  ，圆 2 2 2 : 0C x x y y    ，两圆的交点为M ，N， 则 MN  ( ) A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 【典例9-3】(24-25高二上·山东临沂·期末)已知圆 2 2 2 4 4 0x y x y     与圆 2 2 2 4 20 0x y ax y     交于A， B两点，当弦 AB最长时，实数 a的值为( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 【变式 9-1】(24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中)若圆 2 21 : 2 3 1 0C x y x y     ，圆 2 2 2 : 4 3 2 0C x y x y     ， 则圆 1C 与圆 2C 的公共弦所在直线的方程是( ) A． 1 2 x  B． 1 2 x   C． 1 2 x y   D． 1 2 x y   【变式 9-2】(24-25 高二上·甘肃临夏·期末)圆 2 21 : 4O x y  与圆 2 2 2 : ( 2) ( 2) 20O x y    相交，则公共弦长 为( ) A． 2 B． 2 2 C． 5 D． 2 5 第 14 页 共 21 页 【变式 9-3】(24-25 高二上·贵州铜仁·阶段练习)圆 2 21 : ( 1) 1C x y   ，圆 2 2 2 : 2 0C x y y   ，则圆 1C 与 2C ( ) A．外离 B．有 3 条公切线 C．关于直线 1 0x y   对称 D．公共弦所在直线方程为 0x y  【变式 9-4】(24-25 高二上·福建三明·阶段练习)已知 2 2: 2 2 2 0M x y x y     ，直线 : 2 2 0l x y+ + = ，P 为 l上的动点.过点 P作 M 的切线 ,PA PB，切点为 ,A B，当四边形 PAMB面积最小时，直线 AB的方程为( ). A．2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D．2 1 0x y   【变式 9-5】(多选)(25-26 高二上·全国·课后作业)(多选)已知圆 2 2: 4O x y  和圆 2 2: 2 4 4 0M x y x y     相交于 ,A B两点，则下列结论正确的是( ) A．两圆相交 B．直线 AB的方程为 2 4 0x y   C．两圆有两条公切线 D．线段 AB的长为 4 5 5 【变式 9-6】(多选)(2025 高三·全国·专题练习)若圆 2 21 : 2 3 0O x y x    与圆 2 2 2 : 2 1 0O x y y    交于 A， B两点，则下列结论正确的是( ) A．点 (1,1)在圆 2O 内 B．直线 AB的方程为 1 0x y   C．圆 1O 上的点到直线 AB距离的最大值为2 2 D．圆 2O 上存在两点 P，Q，使得 | | | |PQ AB 题型 10 圆上点到直线距离的最值 【典例 10-1】(24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习)已知直线 : 3 4 16 0l x y   ，点 P为圆  2 2: 2 1C x y   上 一动点，则点 P到直线 l的最小距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【典例 10-2】(2025·湖北恩施·模拟预测)直线 : 2 0l x y   ，圆 2 2: 4O x y  ，则圆O上的点 P到直线 l的 距离等于1的点有( ) A．0个 B．1个 C． 2个 D．3个 【典例 10-3】(2025·安徽合肥·模拟预测)长度为 2 的线段 AB的两个端点分别在 x轴及 y轴上运动，则线段 AB的中点到直线 3 4 10 0x y   距离的最大值为( ) A．1 B． 2 C．2 D．3 【典例 10-4】(多选)(2025 高三·全国·专题练习)(多选)已知 P为圆 O： 2 2 4x y  上动点，直线 l：4 3 12 0x y   与 x，y轴分别交于 M，N两点，Q为直线MN上动点，过点 Q作圆 O的两条切线，切点分别为 A，B，则( ) A．若点  0,1C ，则 PM PC 的最小值为 10 B． PMN 的最小面积是 4 第 15 页 共 21 页 C．若 120AOB  ，则 Q点坐标为  0,4 或 96 28,25 25      D．四边形QAOB周长的最小值为 4 11 4 5  【变式 10-1】(25-26 高三上·广东·开学考试) P是圆    22 2 1x a y a    上的动点，Q是直线 2y x  上的动 点，则 PQ 的最小值为( ) A． 2 1 B． 2 C． 7 2 1 8  D． 7 2 8 【变式 10-2】(24-25 高二下·河南驻马店·期末)已知点 M，N为圆 2 2: 4 0C x y y   上两点，且 2 3MN  ， 点 P在直线 3 6 0x y   上，点 Q为线段MN中点，则 PQ 的最小值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式 10-3】(24-25 高二上·安徽宣城·期末)已知点 A，B在直线 : 2 0l x y   上运动，且 2 2AB  ，点 C 在圆 2 2( 2) 2x y   上，则∆ABC面积的最大值为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 【变式 10-4】(24-25 高二上·江苏盐城·期末)已知点  3,0A  ，  0,4B ，点 P是圆  2 23 9x y   上任意一点， 则 PAB 面积的最小值为( ) A． 9 2 B．9 C．6 D．3 【变式 10-5】(多选)(2025·辽宁·三模)已知直线 4 3 12 0x y   与 x轴、y轴交于 ,A B两点，点 P为圆 2 2: ( 3) ( 4) 4C x y    上的动点，则( ) A．直线 AB与圆 C相离 B． ABCV 的面积为 12 C．当 PBA 最小时， | | 5PB  D．点 P到直线 AB距离的最大值为 32 5 【变式 10-6】(多选)(2025·湖北武汉·三模)已知圆 2 2: 8O x y  ，直线 l与圆O交于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点， 点 P为圆O上异于A， B的任意一点，若 1 2 1 2 4x x y y   ， 1 1 2 2 0x y x y    ，则( ) A． 5 6 AOB   B． PAB 面积的最大值为6 3 C．直线 l的方程为 2 2y x   D．满足到直线 l的距离为 2的点 P有且仅有 3 个 题型 11 圆的切线 【典例 11-1】(2025·四川成都·模拟预测)过点 ( ,3)P m 作圆 2 2: ( 2) ( 2) 1C x y    的切线，切点为Q，则 PQ 的最小值为( ) 第 16 页 共 21 页 A． 2 6 B．5 C． 26 D． 4 2 【典例 11-2】(多选)(2025·江苏徐州·模拟预测)圆 2 2: 2, (0,3), ( 2,1)O x y A B   ，P为圆 O上的动点，则( ) A．圆心 O关于直线 AB的对称点为 ( )3,3 B．动点 P到直线 AB的距离最大值为 3 2 2 C．以 AB为直径的圆与圆 O有 2 条公切线 D．分别过 A，B两点所作的圆 O的切线长相等 【典例 11-3】(23-24 高二上·河南周口·阶段练习)已知 M ： 2 2 2 2 2 0x y x y     ，直线 l：2 2 0x y   ， P为 l上的动点，过点 P作 M 的切线 ,PA PB，切点为 A、B，当 AB弦长最小时，则直线 AB的方程为( ) A．2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D．2 1 0x y   【变式 11-1】(2025·重庆·三模)过圆 O： 2 2 1x y  外的点 (3,2)P 作 O的一条切线，切点为 M，则 MP  ( ) A．2 B． 2 3 C． 13 D．4 【变式 11-2】(23-24 高三上·江西·期末)根据圆的性质我们知道，过圆O外的一点可以作圆O的两条切线，切 点为 B与C，我们把四边形OBAC称为圆O的“切点四边形”.现已知圆O： 2 2 1x y  ，圆外有一点  1,2A ， 则圆O的“切点四边形”的外接圆周长为( ) A． 2 5π B． 5 π 2 C． 5π D． 3π 【变式 11-3】(23-24 高二上·北京房山·期中)设 P为直线 1y   上的动点，过点 P作圆C：   2 23 2 4x y    的切线，则切线长的最小值为( ) A．2 B． 5 C．3 D． 13 【变式 11-4】(2025 高三·全国·专题练习)过直线 l：  4 0y kx k   上一点 P作圆 M：  2 22 4x y   的两 条切线，切点分别为 A，B，若 APB 的最大值为 π 3 ，则 k  ( ) A． 4 3  B． 3 4  C． 4 3 D． 3 4 【变式 11-5】(多选)(24-25 高二下·云南昆明·期中)已知圆 2 2: 4O x y  ，P是直线 : 6 0l x y   上一动点， 过点 P作直线 PA，PB分别与圆 O相切于点 A，B，则( ) A．圆 O与直线 l相离 B． PA存在最小值 C． AB 存在最大值 D．存在点 P使得 ABO 为直角三角形 第 17 页 共 21 页 【变式 11-6】(多选)(22-23 高二上·江苏南京·期中)过原点的直线 l与圆 M： 2 2 2 2 16 0x y x y     交于 A， B两点，且 l不经过点 M，则( ) A．弦 AB长的最小值为 8 B．△MAB面积的最大值为4 2 C．圆 M上一定存在 4 个点到 l的距离为 2 2 D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线 16 0x y   上 1.(2025·江西景德镇·模拟预测)已知直线 : 1 0l x y   与圆    2 2: 3 2 4C x y    ，则( ) A． l与C相离 B． l与C相切 C． l平分C D． l与C相交但不平分C 2.(2025·贵州·二模)若直线 l： 1 0ax y   与圆C： 2 2( 2) ( 1) 4x y    相切，则 a  ( ) A．0 B． 1 C．1 D． 1 3.(24-25 高二上·四川成都·期末)圆 2 21 : 4C x y  和圆    2 22 : 3 4 16C x y    的位置关系是( ) A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 4.(2025·江西南昌·一模)直线 2y x 与圆 2 2 2 3 0x y x    交于 A，B两点， 5OA  ，则 OB  ( ) A． 5 5 B． 2 5 5 C． 3 5 5 D． 4 5 5 5.(24-25 高三上·福建福州·阶段练习)过点  0, 3 与圆 2 2 4 0x y x   相切的两条直线的夹角为 ，则 tan  ( ) A． 6 5 B． 12 13 C． 4 5 D． 12 5 6.(25-26 高三上·湖北·开学考试)已知直线  2 4 5 0l m x y m    ： ，圆 2 2 6 4 4 0C x y x y    ： ，直线 l与 圆C交于M N， 两点，则弦长 MN 的最小值为( ) A．2 79 B． 7 C． 79 D．2 7 7.(2025·山东聊城·三模)已知M 是直线 : 3 8 0l x y   上一点，过点M 作圆 2 2: 4O x y  的切线，切点分别 为 P，Q，则 OPQ△ 面积的最大值为( ) A． 3 B． 2 3 C．1 D．2 第 18 页 共 21 页 8.(24-25 高二下·上海·阶段练习)设直线 l的方程为 0Ax By C   ，圆M 的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 且直线与圆相交，令集合       2 2, 0,S x y x y Dx Ey F Ax By C          R∣ ，设全集   , ,U x y x y R∣ ，集合T 为集合S的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是( ) ①存在点 ,P Q使得  ,T P Q 表示一条直线 ②对于任意点K S ，都存在圆N，使得点K在圆 N的内部，且对于圆 N上任意一点 P都有 P S A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 9.(25-26 高二上·全国·课后作业)(多选)已知圆 2 2: 4O x y  和圆 2 2: 2 4 4 0M x y x y     相交于 ,A B两点， 则下列结论正确的是( ) A．两圆相交 B．直线 AB的方程为 2 4 0x y   C．两圆有两条公切线 D．线段 AB的长为 4 5 5 10.(2025·河北·三模)已知直线 : 3 0l x ay   与圆 2 2: 8 6 16 0C x y x y     ，则下列说法正确的是( ) A．当 2a  时，直线 l与圆C相交 B．若直线 l与圆C相切，则 4 3 a  C．圆C上一点 P到直线 l的最大距离为 10 3 D．若圆C上恰好有三个点到直线 l的距离为 2，则 3 4 a  11.(2024·北京·模拟预测)一条动直线 1l 与圆 2 2 1x y  相切，并与圆 2 2 25x y  相交于点 A，B，点 P为定直 线 2 : 10 0l x y   上动点，则下列说法正确的是( ) A．存在直线 1l ，使得以 AB为直径的圆与 2l 相切 B． 2 2| | | |PA PB 的最小值为150 20 2 C． AP PB   的最大值为 27 10 2  D． | | | |PA PB 的最小值为8 3 12.(2024·陕西商洛·三模)已知直线 : 5 3 0l x ay a    与 2 2: ( 1) ( 2) 4C x y    ，若直线 l与 C 相交于 ,A B两点，且 14AB  ，则 a  ． 13.(2025 高二·全国·专题练习)已知两定点 ( 3,0)A  ， (1,0)B ，若直线 : 2 0l x ay   上的一点 P满足 2 2| | | | 16PA PB  ，则实数 a的取值范围是 ． 第 19 页 共 21 页 14.(24-25 高二上·河北唐山·期中)已知 2 2: 4O x y  的两条弦 ,AB CD互相垂直，且交于点  1, 2M ，则 | | | |AB CD 的最大值为 ． 15.(24-25 高二下·辽宁抚顺·开学考试)已知圆    2 2: 1 1 4C x y    ，直线 : 1 0l x y   . (1)判断直线 : 1 0l x y   与圆 C的位置关系；(2)求该圆过点  1,4M 的切线方程. 16.(23-24 高二上·广西南宁·期末)已知圆 2 2: ( 2) ( 5) 16C x y    ． (1)已知直线 : 2 4 0l x y   ，求该直线截得圆 C的弦 AB的长度； (2)若直线 1l 过点 (3,4)B 且与圆 C相交于 ,M N两点，求 CMN 的面积的最大值，并求此时直线 1l 的方程． 第 20 页 共 21 页 17.(24-25 高二上·浙江杭州·期中)古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平 面内到两个定点的距离之比为定值 ( 0, 1)k k k  的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆， 已知点 (0,6), (0,3)A B 、动点M 满足 2MB MA ，记动点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C的方程；(2)过 (0, 4)N 的直线 l与曲线C交于 P，Q两点，若 P为线段 NQ的中点，求直线 l的方 程；(3)过点 ( , 3)P a a  作曲线C的两条切线，切点分别为 M，N，线段 MN长度的最小值. 18.(24-25 高二上·吉林四平·阶段练习)已知圆 2 2: 1O x y  ，圆C的圆心在直线 1y  上，且过点 (4,3), (2,1)A B ． (1)求圆C的标准方程；(2)已知第二象限内的点D在圆O上，过点D作圆O的切线 1l 恰好与圆C相切，求 1l 的 斜率；(3)判断是否存在斜率为 1 的直线 2l 与圆O交于点 P，Q，与圆C交于点 M，N，且 | | 2 3MN  ，若存 在，求出 PQ ；若不存在，请说明理由． 第 21 页 共 21 页 19.(24-25 高二上·重庆·阶段练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C： 2 2 2 2 3 12 0x y x y     ， 1M ， 2M 是圆C上的动点，且 1 2 4 3M M  ， 1 2M M 的中点为M ． (1)求点M 的轨迹方程；(2)设点 A是直线 : 3 4 3 0l x y   上的动点， AP， AQ是M 的轨迹的两条切线， P，Q为切点，求四边形 APCQ面积的最小值；(3)若垂直于 y轴的直线 1l 过点C且与M 的轨迹交于点D，E， 点N为直线 3x   上的动点，直线 ND，NE与M 的轨迹的另一个交点分别为 F， (G FG与DE不重合)，求 证：直线 FG过定点． 专题2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系(高效培优讲义) 教学目标 1、理解并掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断与应用； 2、掌握弦长、切线有关问题的解法； 教学重难点 1、重点：弦长问题、切线问题； 2、难点：切线问题，位置关系中含参讨论. 知识点01 直线与圆的位置关系的判断方法 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【即学即练1】(25-26高三上·广西·开学考试)已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交.故选：C. 知识点02 两圆位置关系的判断方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 【即学即练2】(24-25高二下·安徽安庆·期末)已知圆，圆，则两圆的位置关系是( ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交.故选：C. 知识点03 直线与圆的相交弦 直线被截得的弦长为的常用方法 1、几何法(优先推荐) ①弦心距(圆心到直线的距离) ②弦长公式： 2、代数法 直线：； 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【即学即练3-1】(24-25高三上·四川成都·阶段练习)若圆与圆相交于、，则所在直线方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程. 【详解】因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得，因此，直线的方程为.故选：A. 【即学即练3-2】已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则(   ) A． B．5 C． D．10 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心、半径及圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心C到直线l的距离，所以.故选：C 知识点04 两圆相交的公共弦 公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆公共弦方程 【即学即练4-1】已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是(  ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】相交圆的公共弦方程【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是.故选：B. 【即学即练4-2】已知圆与圆交于、两点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径， 因为，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦方程为， 则到的距离，所以. 知识点05 直线与圆的位置关系中常用距离的最值 1.上一点到圆外一点的距离的最值 2.上一点到上一点的距离的最值 3.上一点到直线距离的最值 4.过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径； 最短弦：垂直于直径的弦 【即学即练5-1】圆上的动点到直线的距离的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为.故选：A. 【即学即练5-2】若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为.故选：B 知识点06 圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线方程为:． (2)过圆上一点的圆的切线为: (3)过圆上一点的圆的切线方程为: (4)求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论． 设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值． 若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意； 若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意，需要加上斜率不存在的那一条． 【即学即练6-1】已知圆与圆，则两圆的公切线条数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【详解】因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切，所以有3条公切线．故选：C. 【即学即练6-2】过点的直线与圆相切于点，则切线段长为(    ) A．3 B．4 C． D．5 【答案】B【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离、切线长 【分析】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出. 【详解】圆心，半径，， 由勾股定理得.故选：B. 题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为(    ) A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为，则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切．故选：D 【典例1-2】(2025·浙江·模拟预测)已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断直线与圆的位置关系 【分析】首先判断点在圆外的条件，然后判断直线与圆O相交的条件，最后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径，即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得.所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件.故选：A. 【典例1-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1.故选：C. 【变式1-1】(2025·江西景德镇·模拟预测)已知直线与圆，则(   ) A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】判断出直线过圆心即可得结果. 【详解】因为圆的圆心为， 直线过点，所以直线平分，故选：C. 【变式1-2】(24-25高二上·辽宁·期末)直线与圆的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心在直线上，判断得解. 【详解】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交.故选：A. 【变式1-3】(23-24高二上·广东·期末)直线与圆的位置关系为(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.故选：A. 【变式1-4】(2025·江苏·二模)已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则(    ) A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线的倾斜角 【分析】首先得到直线的倾斜角，即可得到直线的倾斜角，从而求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】直线：即，斜率为，倾斜角为， 将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相交但不过圆心.故选：B. 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】(2025高三·全国·专题练习)已知直线l为过点且斜率大于0的一条动直线，P为l上一点，圆C：，若的最小值为，则的斜率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】设，求得圆心，再由点到直线的距离公式求解即可； 【详解】设l：，由，可知圆心， 当时，取得最小值，即圆心C到的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得．故选：A. 【典例2-2】(25-26高二上·全国·单元测试)若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆，故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即，解得，故选：C． 【典例2-3】(2025·江西景德镇·模拟预测)若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由表示圆的上半部分，如下图， 当圆心到直线的距离，可得或， 若时，，若时，， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图知，要使曲线存在两个点与直线的距离为3，且，即直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3， 与的距离，则， 与的距离，则，所以.故选：B 【变式2-1】(2025·天津红桥·二模)已知直线与圆 相切，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆化为标准方程，可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为，又，解得.故选：D 【变式2-2】(2025高三·全国·专题练习)已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】圆心到直线l的距离，结合点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为，所以，则， 故圆心到直线l的距离，即，解得．故选：D. 【变式2-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、向量加法法则的几何应用 【分析】取中点为，根据已知条件求得的范围，利用点到直线距离公式将其转化为关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】如图，设的中点为，连接OC，则． ∵，∴，∴．又 (弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形)，∴，即． 又∵直线与圆交于不同的两点A，B， ∴，故，则．∵，∴．故选：B. 【变式2-4】(2025高二上·全国·专题练习)过点引直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】面积取最大值时，，圆心到直线的距离为1，由此能求出直线的斜率． 【详解】由，得，则，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的半圆，如图．    则当面积取最大值时，，半圆的圆心为，半径， 所以，，所以圆心到直线的距离为． 设直线的斜率为，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，解得，因为，所以．故选：A. 【变式2-5】(24-25高二上·江苏南京·期末)已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，说明直线与圆有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得. 【详解】设点，因， 由可得：，化简得，即， 依题意，直线与圆有公共点， 故圆心到直线的距离，即，化简得， 解得：.故选：D. 题型03 直线与圆的交点 【典例3-1】(24-25高三上·河南南阳·期末)直线交圆于、两点，则(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】数量积的坐标表示、求直线与圆交点的坐标 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以.故选：D 【典例3-2】(2024·北京东城·二模)直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆交点的坐标、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】设的中点为，连接、、，即可求出，分析可知为等边三角形，即可得到点在的中垂线与圆的交点(上方)，从而求出点坐标. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设的中点为，连接、、，则，且， 则，所以，则，即， 若在圆上的点使得为等腰三角形， 若(也类似)，连接，则， 此时，则，所以为等边三角形， 若也可得到为等边三角形，所以点在的中垂线与圆的交点(上方)， 由，解得或，所以可以是.故选：D    【典例3-3】(23-24高三下·江苏苏州·开学考试)过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】求直线与圆交点的坐标【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标. 【详解】设，故有，即，由，则点为中点，故， 故有，即有，整理得，即.故选：A. 【变式3-1】(23-24高二上·湖北荆州·期末)已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为(    ) A． B．或 C．或 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求直线与圆交点的坐标 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为，圆方程为， 取得到或，即点坐标为或.故选：B. 【变式3-2】(多选)(22-23高二下·广东·期末)已知点P是圆C：上的动点，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，若为直角三角形，则点P的坐标可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】确定圆心和半径、判断直线与圆位置关系、求直线与圆交点坐标 【分析】设，再分为直角，为直角和为直角三种情况讨论即可得解. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 由，令，则，令，则，即， 因为点P是圆C：上的动点，则可设， 则， 当为直角时，则，即，整理得， 又，则，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 当为直角时，则，即，整理得， 又，则，解得，所以，此时， 当为直角时，则，即，整理得， 又，则，解得，所以，此时， 所以BCD可以，A不可以.故选：BCD. 【变式3-3】(23-24高三上·浙江温州·期末)已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】求圆的一般方程、求直线与圆交点的坐标 【分析】设，直线方程与圆的方程联立求出点坐标，设经过点A，B，的圆的方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设，由解得，可得， 设经过点A，B，的圆的方程为， 所以，解得，即， 可得.故答案为：. 【变式3-4】(25-26高二上·全国·课后作业)经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【答案】或【难度】0.65 【知识点】求直线与圆交点的坐标、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解； 【详解】设所求圆的方程为，且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，，由两边平方得， 所以，化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意，所以所求圆的方程为： ，或， 即或． 故答案为：或． 【变式3-5】(2024高三·全国·专题练习)在圆上与点距离最大的点的坐标是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求直线与圆交点的坐标 【分析】判断点在圆外，结合圆外的点与圆上的点的距离的最值结论确定所求点位置，联立方程组求交点坐标可得结论. 【详解】解，点在圆外， 圆上与点距离最远的点，在圆心与点连线上，且与点分别在圆心两侧， 设直线解析式为，由于直线通过点和，可得直线解析式为， 与圆的方程联立，可得，或，交点坐标为和， 其中与点距离最大的点为．故答案为：. 题型04 直线与圆的相交弦 【典例4-1】(2025·新疆喀什·模拟预测)已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则(    ) A． B．2 C． D．4 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】利用垂径定理求得，由题意可得直线的倾斜角为，根据，可求. 【详解】由，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为，所以， 又因为的斜率为1，故直线的倾斜角为，所以，所以.故选：C. 【典例4-2】(23-24高三上·浙江嘉兴·期末)已知直线与圆：相交于A，B两点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】求得圆心为到直线的距离，求出弦长，计算即可得出结果. 【详解】因为圆心为到直线的距离为：，所以= 所以,即.故选：B 【典例4-3】(多选)(24-25高二上·安徽阜阳·期末)已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为(   ) A．6 B．3 C．9 D．11 【答案】AC【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、过圆内定点的弦长最值(范围) 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，判断点在圆内，即可求出，，即可判断. 【详解】圆，即， 则圆心为，半径，又， 所以点在圆内，所以，，即， 又，即，所以符合题意的有A、C；故选：AC 【典例4-4】(多选)(24-25高二下·安徽安庆·阶段练习)已知圆，直线，则(   ) A．直线经过定点 B．直线与圆相交 C．圆心到直线距离为时，直线的倾斜角为或 D．时，直线被圆截得的弦长最短 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；判断定点与圆的位置关系，可得出直线与圆的位置关系，可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出的值，求出直线的倾斜角，可判断C选项；由条件得圆心到直线的距离取最大值，即可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为， 由得，故直线过定点，A对； 对于B选项，因为，即点在圆内，故直线与圆相交，B对； 对于C选项，圆心为，圆心到直线的距离为， 解得，此时直线的方程为，该直线的斜率为，倾斜角为，C错； 对于D选项，当时，直线的方程为，， 此时，圆心到直线的距离取最大值，则直线被圆截得的弦长最短，D对.故选：ABD. 【变式4-1】(24-25高三上·甘肃·期末)直线被圆截得的弦长为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】利用弦长公式即可求得结果. 【详解】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离， 所以直线l被圆C截得的弦长为.故选：D 【变式4-2】(24-25高二上·重庆沙坪坝·期末)圆与圆交于两点，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得，方程为，故选：A． 【变式4-3】(24-25高二下·四川泸州·期末)已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为(   ) A． B．5 C．4 D．2 【答案】A【难度】0.85【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为，所以， 所以，故选：A． 【变式4-4】(2025·河北秦皇岛·一模)已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】相交圆的公共弦方程【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆，即， 且圆与轴相切于点，故，所以， 设动点，满足，则， 则，即， 故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上， 且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得：，即.故选：C 【变式4-5】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，直线过点，则下列说法正确的是(    ) A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【答案】AC【难度】0.65【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于A，将点的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于B，求得圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可验算；对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于D，由题意得圆心到的距离为，故只需求出的斜率即可验算. 【详解】对于A：因为，所以点在圆上．所以A正确； 对于B：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离，所以弦长为．所以B错误； 对于C：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为．所以C正确； 对于D：因为为直角三角形，且，所以，则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即． 由，解得或－1，故的方程为或．所以D错误；故选：AC. 【变式4-6】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆与直线，下列选项正确的是(    ) A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】根据几何法：由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，所以利用求解. 【详解】对于A，由直线，整理可得， 令解得则直线过定点，所以A错误； 对于B，圆的圆心为，半径，由定点到圆心的距离为，得直线与圆必相交(当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切)，所以B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到轴的距离为1，所以圆截轴所得弦长为，所以C正确； 对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为， 所以最短弦长为，所以D正确.故选：BCD. 题型05 过圆内定点的弦长的最值 【典例5-1】(23-24高二上·广东江门·期中)过的直线与圆相交，若使得相交弦长最短，则该直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】直线的点斜式方程及辨析、判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值(范围)【分析】由已知可判断点在圆内，圆的圆心为，当过点的直线与垂直时，所得弦的长度最短，通过求斜率即可求解. 【详解】因为，所以点在圆内， 圆的圆心，当过点的直线与垂直时，所得弦的长度最短， 因为过点，的直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：. 【典例5-2】(24-25高二下·河南商丘·阶段练习)直线被圆截得的最短的弦长为(    ) A． B． C．4 D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得，所以圆心为，半径， 因为直线，所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为.故选：C. 【典例5-3】(24-25高二上·重庆渝中·阶段练习)直线过点，且与圆：相交所形成的长度为的弦的条数为(    ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C【难度】0.65【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦 【分析】根据过圆内的弦长最长为直径，最短时点与圆心连线为弦心距求出范围即可判断. 【详解】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 故长度为的弦的条数为1条.故选：C 【典例5-4】(24-25高二上·重庆·阶段练习)已知圆及直线，下列说法正确的是(    ) A．圆被轴截得的弦长为2 B．直线过定点 C．直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为 D．直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为 【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题 【分析】根据圆方程求得圆与轴的交点坐标可得弦长为4，即A错误，将直线整理可得其恒过定点，即B错误，又圆心不在直线上，可得直线被圆截得的弦长不存在最大值，即C错误；当时，直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为，即D正确. 【详解】对于A，由圆方程可得圆与轴的交点坐标为和， 因此圆被轴截得的弦长为4，即A错误； 对于B，将直线整理可得； 由，解得，所以无论为何值时，直线恒过定点，即B错误； 对于C，易知圆是以为圆心，半径， 易知圆心不在直线上，又直线被圆截得的弦长的最大值为直径， 所以可得直线被圆截得的弦长不存在最大值，可得C错误； 对于D，设直线与圆交于点，圆心到直线的距离为，则弦长， 由直线恒过定点可得圆心到直线的距离有最大值为， 此时直线被圆截得的弦长存在最小值，满足，如下图所示； 此时直线的斜率为，其方程为，即,可得D正确；故选：D 【变式5-1】(24-25高二上·山东潍坊·期中)已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为(   ) A． B．2 C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当时，最短， 所以的最小值为；故选：C 【变式5-2】(24-25高二上·浙江杭州·期末)已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即，所以，故选：A 【变式5-3】(24-25高二上·山东菏泽·阶段练习)直线(其中)被圆所截得的最短弦长等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题 【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解. 【详解】因为可化为，所以直线恒过定点， 由圆知圆心，半径， 由圆的几何性质知，当与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短， 此时弦长为,故选：B 【变式5-4】(21-22高三上·山东德州·期末)已知圆O：，直线l：与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、求平面两点间的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题【分析】由题可得直线恒过定点，结合圆的性质可得直线时，直线l被圆O截得的弦长最小，进而可得，再结合直线方程可得M，N的坐标，即得. 【详解】∵直线l：，即， ∴直线恒过定点，又圆O：， ∴由圆的性质可知直线时，直线l被圆O截得的弦长最小， 此时，，即， 由直线l：，令，可得，即， 令，可得，即，∴.故选：C. 【变式5-5】(23-24高二下·广西南宁·期中)若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为(    ) A． B．2 C．4 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题【分析】由直线方程可得直线恒过定点，由圆的几何性质可得当时，周长最小，由此可求的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由可得，故圆心，半径， 直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 因为；所以点在圆内， 由圆的性质可得当时，最小，周长最小， 又，；所以，此时，即直线， 所以圆心到直线的距离，所以， 所以，故选：B 【变式5-6】(多选)(23-24高二上·海南三亚·期中)圆，直线．则( ) A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C．直线与圆有两个交点 D．直线与圆相交得到的最短弦长为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题【分析】对于A：整理可得，进而分析定点；对于B，分析可知，求圆心到直线的距离即可；对于C：分析可知点在圆内部，即可判断直线与圆的位置关系；对于D：可知当圆心与点连线垂直时弦长最短，进而求弦长. 【详解】对于A，因为直线，可得， 令，解得，所以直线恒过点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离， 当时，直线，可得圆心到直线的距离为，所以B错误； 对于C，因为直线恒过点，设为点， 可得， 所以点在圆内部，所以直线与圆有两个交点，所以C正确； 对于D，当圆心与点连线垂直时弦长最短，此时弦长为，故D正确.故选：ACD. 题型06 直线与圆位置关系中的最值 【典例6-1】(24-25高二上·广东广州·期中)已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由方程确定圆心和半径，根据切线长知当时，最小，可确定最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离，，此时.故选：A 【典例6-2】(多选)(2025·山东潍坊·一模)已知点，圆，则(   ) A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 【答案】AC【难度】0.65【知识点】判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦、定点到圆上点的最值(范围)【分析】由圆与点的位置关系的判断确定A，再由点与圆心距离加半径判断B，根据圆的性质求出弦所在直线斜率求出直线方程判断C，由弦心距、半径、弦长的关系判断D. 【详解】对于A，因为，所以点在内，故A正确； 对于B，由，知点与上的点之间最大距离为，故B错误； 对于C，由，知弦所在直线斜率，故方程为，即，故C正确； 对于D，当与过的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为，故D错误. 故选：AC 【典例6-3】(多选)(24-25高二上·湖南·期中)对于直线与圆，下列说法正确的是(   ) A．直线过定点 B．直线与圆不可能相切 C．直线被圆截得的弦长的最小值为6 D．圆上一点到点的最大距离为8 【答案】BD【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题、定点到圆上点的最值(范围)【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；判断直线过的定点在圆内判断B；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C；根据圆上一点到点的最大距离为可判断D. 【详解】对于A：可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A不正确； 对于B：圆的标准方程为，半径为3， 由，所以点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故B正确； 对于C：当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 此时圆心到直线的距离， 所以弦长的弦长最小值为，故C不正确； 对于D：圆上一点到点的最大距离为，故D正确.故选：BD. 【典例6-4】(多选)(23-24高二上·广东深圳·期末)已知直线与圆交于A，B两点，则(    ) A．圆D的面积为 B．l过定点 C．面积的最大值为 D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、过圆内定点的弦长最值(范围)、由圆的一般方程确定圆心和半径、直线过定点问题【分析】将圆的方程整理成标准式，得到圆心和半径，即可求解圆面积判断A，直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断B；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断C；分别求出过点的弦长的最大值和最小值，即可判断D. 【详解】对于A：圆即的圆心为， 半径，故圆D的面积为，正确； 对于B：将直线整理为：， 令，解得，即直线过定点，正确； 对于C：定点到圆心的距离， 设点到直线的距离为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的面积的最大值为，错误； 对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小， 当直线过圆心时，弦的长度最大，所以可得，正确.故选：ABD 【变式6-1】(24-25高二上·江苏常州·阶段练习)已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为(    ) A．2 B．1 C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得面积最小值. 【详解】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为，则， 所以点到直线的最小值，.故选：C 【变式6-2】(21-22高三上·浙江绍兴·期末)已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法法则、圆的弦长与中点弦、求距离的最值 【分析】先求得线段中点的轨迹，结合向量的横，圆与直线的位置关系可得的最小值． 【详解】设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为． 所以．故选:A. 【变式6-3】(多选)(2024·福建南平·二模)已知圆：，直线：，则(    ) A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题【分析】直线的方程变形为：，令的系数等于零，即可判断A；到轴的距离为，求出圆被轴截得的弦长可判断B；计算出当时，圆心到直线的距离即可判断C；当时，弦长最短，即可判断D. 【详解】对于A，直线的方程变形为：， 令，解得，所以直线l恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误； 对于C，当时，直线：， 此时圆心到直线的距离，而， 所以当时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确. 对于D，当时，弦长最短，此时，因为直线过定点， 所以的方程为：，化简为：，故D正确.故选：ACD. 【变式6-4】(多选)(24-25高二上·江西吉安·期末)已知点，且点在直线上，下列说法正确的是(   ) A．的最大值为3 B．若线段与直线有交点，则 C．当时，存在点，使得 D．当时，周长的最小值为 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】点关于直线的对称点、判断直线与圆的位置关系、已知直线垂直求参数、求点到直线的距离【分析】易知的最大值为的长度，可得A正确，求得两直线交点坐标得出不等式可得B正确，求出以为直径的圆方程可得C错误，利用点关于直线对称即可求得D正确. 【详解】对于A，由点可知两点的纵坐标相同， 即平行于轴，且的长度为3，因此的最大值为的长度3，即A正确； 对于B，易知的方程为,可知直线与的交点坐标为； 若线段与直线有交点，可得，解得，即B正确； 对于C，当时可得，以为直径的圆方程为， 显然圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点，使得，即C错误； 对于D，当时，设关于直线的对称点坐标为， 可得，解得，即，如下图所示： 显然的周长为，即D正确.故选：ABD 【变式6-5】(多选)(23-24高二下·广东深圳·期末)已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则(      ) A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、直线与圆的位置关系求距离的最值、判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，连接，则， 所以，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确， 对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形， 此时， 则，所以，所以，所以B错误， 对于C，因为, 所以 , 因为， 所以， 当，共线，且在之间时取等号，所以的最小值为8，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以 ， 当，共线，且在之间时取等号，所以的最小值为112，所以D正确， 故选：ACD 题型07 判断两圆的位置关系 【典例7-1】(24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末)圆与圆位置关系是(    ) A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D【难度】0.94【知识点】判断圆与圆的位置关系【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，， 的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交，故选：D 【典例7-2】(24-25高二上·广东·期末)已知圆与圆有三条公切线，则(    ) A．5 B．16 C．32 D．36 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得. 【详解】由可知圆心为，半径为2； 由可知且圆心为，半径为. 因两个圆有三条公切线可知两圆外切， 即，解得：.故选：C. 【典例7-3】(2025·河北保定·模拟预测)在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有(   ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D【难度】0.85【知识点】圆的公切线条数、轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系 【分析】分析得到与点距离为1，与点距离为2的直线为以为圆心1为半径的圆和以为圆心2为半径的公切线，根据两圆的位置关系得到公切线的条数. 【详解】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线，， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条，故满足条件的直线有4条.故选：D 【变式7-1】(24-25高二上·广东广州·期末)已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是(    ) A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】先分别找出两圆的圆心坐标和半径，再计算圆心距，最后根据比较结果得出两圆位置关系. 【详解】对于圆：方程为，其圆心，半径. 对于圆：方程为，其圆心，半径. 根据两点间距离公式，则圆心距. 两圆半径之和.因为圆心距，恰好等于两圆半径之和. 所以圆与圆的位置关系是外切.故选：B. 【变式7-2】(2025·河南·模拟预测)圆与圆的位置关系是(   ) A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断圆与圆的位置关系【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离.故选：B 【变式7-3】(23-24高二上·重庆·阶段练习)已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是(    ) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B. 【变式7-4】(24-25高三下·辽宁·期中)圆与圆的公切线条数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】圆的公切线条数、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于，所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆是以为圆心，为半径的圆，所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为，即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线．故选：C 【变式7-5】(24-25高二下·四川南充·阶段练习)记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为(    ) A．4 B．5 C．8 D．3 【答案】A【难度】0.65【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、判断圆与圆的位置关系 【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径， 因为，所以两圆外离， 因为点为圆上的动点，所以， 所以的最大值为.故选：A. 【变式7-6】(24-25高二上·全国·课后作业)已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是(    ) A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D【难度】0.4【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围、判断圆与圆的位置关系【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是，则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离，故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为，故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确.故选：D. 题型08 由两圆位置关系求参数 【典例8-1】(23-24高二上·青海西宁·期中)已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又．故选：D 【典例8-2】(24-25高二上·贵州黔南·阶段练习)圆与圆外离，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离，则，即，解得， 所以，即的取值范围是.故选：C 【典例8-3】(23-24高二上·北京朝阳·期末)是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则，所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或.则实数的取值范围为，故选：A. 【变式8-1】(24-25高二上·湖北·期中)已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为(   ) A． B． C． D．0 【答案】B【难度】0.94【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、判断圆与圆的位置关系 【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由即可求得t的值. 【详解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切. 由配方得：，知圆心半径； 由配方得：，知圆心半径. 由，可得，解得.故选：B. 【变式8-2】(2025·重庆·模拟预测)在平面直角坐标系中，圆 与圆 相交于 两点，则四边形 的周长为(    ) A．4 B．7 C．8 D．10 【答案】C【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意，可得，，得解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 如图，，， 所以四边形 的周长为.故选：C. 【变式8-3】(24-25高二上·湖南永州·阶段练习)若存在实数使得与内切，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.85【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围【分析】先求出每个圆的圆心与半径，再由两圆的圆心距与两个半径之差相等，即即可求的结果. 【详解】将方程配方得：，则，半径为1， 由可得，半径为， 因与内切，则有， 由于，则得，解得，即的最小值为2.故选：B. 【变式8-4】(24-25高二上·宁夏银川·阶段练习)在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围【分析】求出圆关于原点的对称圆圆的方程，分析可知，圆与圆无公共点，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】圆：关于原点的对称圆为：， 则， 由已知得与无公共点，所以或， 所以或，解得：或， 又因为，所以，故C正确.故选:C. 【变式8-5】(24-25高三上·江西宜春·阶段练习)已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】点到直线的距离、由圆的位置关系确定参数或范围【分析】结合几何图形得当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线上存在两点，使得成立，得以为直径的圆与圆有公共点， 当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，    圆心到直线的距离，所以.故选：A 【变式8-6】(24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习)已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为(    ) A．20 B． C．10 D． 【答案】A【难度】0.4【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围、基本不等式求最值 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】圆，整理得：，知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20.故选：A. 题型09 两圆相交的公共弦 【典例9-1】(24-25高二上·安徽滁州·期中)已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】相交圆的公共弦方程【分析】两圆作差即可求得公共弦的方程. 【详解】圆，圆的方程可以化简为，， 将两圆方程相减，得，即直线的方程为.故选:A. 【典例9-2】(24-25高二上·广东深圳·期末)圆，圆，两圆的交点为，，则(   ) A． B．1 C． D．2 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长【分析】联立两圆方程得到公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解. 【详解】由得，所以圆和圆的公共弦所在直线方程为， 圆的圆心为，半径， 到公共弦所在直线的距离为，所以.故选：C. 【典例9-3】(24-25高二上·山东临沂·期末)已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断点与圆的位置关系、两圆的公共弦方程、由方程确定圆心和半径 【分析】求出圆的圆心及半径，再求出公共弦方程，进而求出弦长最长时的值. 【详解】圆的圆心，半径， 显然原点在圆内，又在圆内， 因此两圆必相交，直线方程为，而弦最大值为6， 即为圆的直径，此时直线过点， 则，所以.故选：C. 【变式9-1】(24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中)若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】先判断两圆相交，再将两圆方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径 ∵，∴圆与圆相交， 两圆相减，化简得直线，即为圆与圆的公共弦所在直线，故B正确.故选：B. 【变式9-2】(24-25高二上·甘肃临夏·期末)圆与圆相交，则公共弦长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【详解】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为，所以公共弦长为.故选：B. 【变式9-3】(24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习)圆，圆，则圆与(   ) A．外离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】D【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、相交圆的公共弦方程、判断直线与圆的位置关系、判断圆与圆的位置关系 【分析】A选项，求出圆心距和半径之和，半径之差相比得到两圆相交；B选项，根据相交得到公切线条数为2；C选项，求出两圆关于直线对称；D选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】A选项，的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 故圆心距为， 由于，故，故两圆相交，A错误； B选项，由A选项知，两圆相交，故有2条公切线，B错误； C选项，两圆的半径相等，故两圆关于的垂直平分线对称， 其中的中点坐标为，又，故的垂直平分线的斜率为1， 故两圆关于直线对称，即关于对称，不关于对称，C错误； D选项，圆与圆相减得， 故公共弦所在直线方程为，D正确.故选：D 【变式9-4】(24-25高二上·福建三明·阶段练习)已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为(    ). A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由两条直线垂直求方程、相交圆的公共弦方程、直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】根据几何性质可得当最小时四边形面积最小，求出四边形外接圆的方程后可求直线的方程. 【详解】由题意可知，. 故四边形的面积. 由圆得①， 圆心，半径，即.    要使四边形面积最小，即最小，又，即求的最小值. 当直线与垂直时，最小. 直线的斜率，则方程为即. 联立得，即. 中点，则四边形外接圆为②， 直线方程为①-②，即.故选：C. 【变式9-5】(多选)(25-26高二上·全国·课后作业)(多选)已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是(    ) A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程、判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为，所以．故D正确.故选：ACD 【变式9-6】(多选)(2025高三·全国·专题练习)若圆与圆交于A，B两点，则下列结论正确的是(    ) A．点在圆内 B．直线AB的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 【答案】AC【难度】0.65 【知识点】判断点与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】对于A将点代入圆方程即可判断，对于B将两圆方程作差即可判断，对于C计算圆心到直线的距离，进而判断，对于D直线经过圆的圆心，即线段是圆的直径，进而判断. 【详解】对于A，因为，所以点在圆内，故A正确． 对于B，因为圆,圆,则,故两圆相交， 将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为，故B错误． 对于C，圆的标准方程为，其圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确． 对于D，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径， 故圆上不存在比线段长的弦，故D错误．故选：AC． 题型10 圆上点到直线距离的最值 【典例10-1】(24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习)已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为.故选：A 【典例10-2】(2025·湖北恩施·模拟预测)直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离 【分析】根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可确定所求点的个数. 【详解】因为直线，圆，所以，， 由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于.故选：D. 【典例10-3】(2025·安徽合肥·模拟预测)长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为(    ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、轨迹问题——圆 【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则， 所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为，故选：D 【典例10-4】(多选)(2025高三·全国·专题练习)(多选)已知P为圆O：上动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则(   ) A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、切线长 【分析】由两点之间线段最短可判断A，由圆上的点到圆外直线的最短距离可判断B，由圆的切线性质可得，设，联立可计算得到点坐标从而判断C，由四边形的周长为，设，从而，则四边形的周长为，由函数单调性可得四边形周长的最小值. 【详解】由题意得，，，因为点在圆内，点在圆外， 所以可知的最小值，即为当M，P，C三点共线时的值，，A正确； 由题意得，，圆O的圆心到直线l的距离， 所以点P到该直线距离的最小值为，所以，B错误； 当时，，，所以，所以． 设，则解得或所以点Q的坐标为或，C正确； 四边形的周长为，因为，所以四边形的周长为． 设，当时，取得最小值，此时也取得最小值， 则，则四边形的周长为， 则当t取最小值时，四边形的周长最小，最小值为，D正确．故选：ACD. 【变式10-1】(25-26高三上·广东·开学考试)是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离，所以的最小值为．故选：C． 【变式10-2】(24-25高二下·河南驻马店·期末)已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.85【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为，∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点，∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴，∴.故选：B. 【变式10-3】(24-25高二上·安徽宣城·期末)已知点A，B在直线上运动，且，点C在圆上，则面积的最大值为(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】求出圆心到直线l的距离，进而得到点C到直线l的最大距离，得到三角形面积最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线l的距离为，则点C到直线l的最大距离为， 则面积的最大值为；故选：A 【变式10-4】(24-25高二上·江苏盐城·期末)已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为(　　) A． B．9 C．6 D．3 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点到直线距离的最小值即可. 【详解】由点，，得， 直线：，即， 因为圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值， 所以△PAB面积的最小值为.故选：A. 【变式10-5】(多选)(2025·辽宁·三模)已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则(   ) A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 【答案】AC【难度】0.85【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、切线长【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误．故选：AC. 【变式10-6】(多选)(2025·湖北武汉·三模)已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则(   ) A． B．面积的最大值为 C．直线的方程为 D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个 【答案】BD【难度】0.65【知识点】圆内接三角形的面积、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、由直线与圆的位置关系求参数【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解判断A；利用圆的性质求出面积最大值判断B；求出直线方程判断C；利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，依题意，， 则，而，解得，A错误； 对于B，，圆心到直线距离， 因此点到直线距离的最大值为，面积的最大值为，B正确； 对于C，由，得，直线的斜率， 设直线的方程为，则，解得，由， 得，即，因此，直线的方程为，C错误； 对于D，由圆半径为，圆心到直线距离为， 得圆上到直线距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点有且仅有3个，D正确.故选：BD 题型11 圆的切线 【典例11-1】(2025·四川成都·模拟预测)过点作圆的切线，切点为，则的最小值为(   ) A． B．5 C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】切线长【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为.故选：A. 【典例11-2】(多选)(2025·江苏徐州·模拟预测)圆，P为圆O上的动点，则(    ) A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【答案】AC【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、判断直线与圆的位置关系、切线长、求点到直线的距离【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D. 【详解】直线的斜率，直线的方程为， 对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确； 对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误； 对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为， 而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确； 对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误. 故选：AC 【典例11-3】(23-24高二上·河南周口·阶段练习)已知：，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当弦长最小时，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、判断直线与圆的位置关系、余弦定理解三角形、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由题设得，半径，在等腰中分析最小时最小，进而得到最大，此时且，即最小，此时再应用余弦定理、倍角正弦公式求，设直线，点线距离公式和圆中弦长的几何求法确定直线的方程. 【详解】由题设，，则，半径，如下图示， 等腰中，要使最小，只需最小，即有最大， 当且仅当，即最小时，最大，此时，且， 所以，而，， 所以， 所以到直线的距离， 令直线，则或， 由图知：，即直线.故选：C 【变式11-1】(2025·重庆·三模)过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则(    ) A．2 B． C． D．4 【答案】B【难度】0.94【知识点】切线长【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即.故选：B. 【变式11-2】(23-24高三上·江西·期末)根据圆的性质我们知道，过圆外的一点可以作圆的两条切线，切点为与，我们把四边形称为圆的“切点四边形”.现已知圆：，圆外有一点，则圆的“切点四边形”的外接圆周长为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【分析】直接利用两点间的距离公式求出圆的半径，进一步求出圆的周长． 【详解】根据题意点到原点的距离， 由于,所以切点四边形的外接圆的直径为, 故该四边形的外接圆的直径为，所以半径为， 所以外接圆的周长为．故选：C． 【变式11-3】(23-24高二上·北京房山·期中)设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求点到直线的距离、切线长【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可. 【详解】圆心为，半径为，设切点为， 要使得切线长最小，则最小，此时， 所以，所以，故选：B 【变式11-4】(2025高三·全国·专题练习)过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】已知点到直线距离求参数、切线长 【分析】根据最大有且圆心到直线l的距离最短，利用圆的切线性质得，再应用点线距离公式列方程求参数值. 【详解】当时，圆心到直线l的距离最短，最大， 因为的最大值为，在，中，，，所以， 当最大时，圆心M到直线l的距离为4，即，解得(舍)或．故选：C 【变式11-5】(多选)(24-25高二下·云南昆明·期中)已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则(   ) A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 【答案】AB【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、切线长、点到直线的距离、切点弦及其方程 【分析】求出圆心到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B； 利用四边形面积求得，借助的范围求解判断C； 根据为直角三角形求得，根据圆心到直线的最小距离即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确； 对于B，，当且仅当时取等号，正确； 对于C，由垂直平分得，， 则， 当且仅当时取等号，所以不存在最大值，错误； 对于D，由A可知，，若为直角三角形，则， 从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误.故选：AB 【变式11-6】(多选)(22-23高二上·江苏南京·期中)过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则(    ) A．弦AB长的最小值为8 B．△MAB面积的最大值为 C．圆M上一定存在4个点到l的距离为 D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线上 【答案】ABD【难度】0.15 【知识点】圆内接三角形的面积、切点弦及其方程、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦 【分析】A选项，当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案； B选项，由三角形面积公式得到，设是中点，得到始终为钝角，且当点与原点重合，取得最小值，由二倍角公式和同角三角函数关系得到此时，结合在上单调性，求出面积最大值即可； C选项，举出反例； D选项，设出，求出四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程. 【详解】对A，变形为，圆心M为，半径， 因为，故原点在圆内，故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值， 其中，故，A正确； 对B，由三角形面积公式得： 设是中点，故，当点与原点重合，弦长AB最短，取得最小值， 此时，， 故，此时. 由求得取得最小值时为钝角，所以始终为钝角， 因为在上单调递减，所以当时，面积取得最大值， 最大值为，B正确； 对C，当弦AB与直线垂直时，圆心M到直线l的距离为， 由于半径为，所以在直线l的左上方有2个点到直线l的距离为， 在直线l的右下方，只有1个点到直线l的距离为， 此时圆M上存在3个点到l的距离为，C错误； 对D，设，则四点共圆，且MP为直径， 其中线段MP的中点坐标为，即圆心坐标为，半径为， 故四点所在圆的方程为：， 化简得：①，②， ①－②得：， 则直线AB的方程为， 又因为直线AB过原点，将原点代入得：， 故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上，D正确.故选：ABD 【点睛】已知圆的方程为，为圆上一点， 则过点的切线方程为：； 若为圆外一点，则表示切点弦所在方程. 一、单选题 1.(2025·江西景德镇·模拟预测)已知直线与圆，则(   ) A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系【分析】判断出直线过圆心即可得结果. 【详解】因为圆的圆心为， 直线过点，所以直线平分，故选：C. 2.(2025·贵州·二模)若直线：与圆：相切，则(   ) A．0 B． C．1 D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用圆的切线性质，借助点到直线距离公式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 由直线：与圆相切，得，所以.故选：A 3.(24-25高二上·四川成都·期末)圆和圆的位置关系是(    ) A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距与两圆半径的关系，即可得到两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 圆心距，， 所以，即，故两圆相交．故选：C. 4.(2025·江西南昌·一模)直线与圆交于A，B两点，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求直线与圆交点的坐标 【分析】直线方程与圆的方程联立，求出，利用两点之间的距离公式即可求得结果. 【详解】设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得，故选：C 5.(24-25高三上·福建福州·阶段练习)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】二倍角的正切公式、切线长 【分析】由圆切线的性质及已知求得，再由二倍角正切公式求值. 【详解】化为，圆心为，半径为2 所以点到圆心的距离为，则切线长为， 所以，则.故选：D 6.(25-26高三上·湖北·开学考试)已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为(　　) A．2 B． C． D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时.故选：D 7.(2025·山东聊城·三模)已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为( ) A． B． C．1 D．2 【答案】A【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、切线长 【分析】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【详解】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积故选：A. 8.(24-25高二下·上海·阶段练习)设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是(    ) ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B【难度】0.15【知识点】由直线与圆位置关系求参数、判断直线与圆位置关系、判断命题真假 【分析】根据直线与圆的位置，分别检验两个命题，直观想象，可得答案. 【详解】当圆与直线相交时，设其交点为，易知方程组的解为点的坐标， 由，此时过两点的所有圆， 由题意，得表示直线上除以外的所有点， 对于①，当为时，表示直线，故①正确； 对于②，当为或时，若包含的圆足够大时，该圆上的点不一定在上， 即圆上任意点不一定成立，故②错误.故选：B. 二、多选题 9.(25-26高二上·全国·课后作业)(多选)已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是(    ) A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确.故选：ACD 10.(2025·河北·三模)已知直线与圆，则下列说法正确的是(    ) A．当时，直线与圆相交 B．若直线与圆相切，则 C．圆上一点到直线的最大距离为 D．若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则 【答案】AC【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数【分析】易知圆心，半径，由选项，结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和两点之间的距离公式依次计算即可求解. 【详解】A：当时，直线，圆：，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故A正确； B：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，故B错误； C：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离， 则圆上一点到直线的最大距离为，故C正确； D：因为圆上恰好有三个点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离，解得或，故D错误.故选：AC. 11.(2024·北京·模拟预测)一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是(    ) A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD【难度】0.15 【知识点】数量积的坐标表示、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、数量积的运算律 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断； 对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断； 对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上，则， 坐标原点到直线的距离为，由图易知，， 对于A，点到直线距离的最小值为，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C，， ，故C正确； 对于B，， ，故B正确； 对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离， 求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为， 则，直线，， 由，消去整理得， 即，即， ，，同理，， ，， 的最小值为， 所以的最小值为，故D正确.故选：BCD.  【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题. 三、填空题 12.(2024·陕西商洛·三模)已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ． 【答案】或【难度】0.94【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由弦长可求得圆心到该弦的距离，由点到直线的距离公式即可列方程求解. 【详解】若直线与相交于两点，且， 则圆心到直线的距离，所以， 解得或．故答案为：或. 13.(2025高二·全国·专题练习)已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆【分析】先根据两点距离公式列出等式，然后化简，确定点的轨迹方程，进而根据直线与圆的位置关系求出的取值范围. 【详解】设，因为，所以， 化简得，此即为点的轨迹方程． 由于点在直线上，也在圆上，因此直线与圆至少有一个公共点． 所以圆心到直线的距离，解得，所以或． 故答案为： . 14.(24-25高二上·河北唐山·期中)已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最大值为 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、基本(均值)不等式的应用【分析】根据已知有、，令圆心到弦的距离为，进而得，应用基本不等式求其最大值. 【详解】由题设，圆心，半径为，则， 令圆心到弦的距离为，则到弦的距离为，所以，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为.故答案为： 四、解答题 15.(24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试)已知圆，直线. (1)判断直线与圆C的位置关系；(2)求该圆过点的切线方程. 【答案】(1)相交；(2)和【难度】0.94 【知识点】判断直线与圆的位置关系、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】(1)根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； (2)讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【详解】(1)圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆C相交. (2)若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16.(23-24高二上·广西南宁·期末)已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】(1)；(2)面积最大值为8，直线方程为或【难度】0.85 【知识点】求直线与圆交点的坐标、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】(1)法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长； 法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； 法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案； (2)设出直线方程，求出圆心C到直线的距离，利用垂径定理表达出面积，求出最大值，并得到，，得到直线方程. 【详解】(1)法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得，消得， ； 法3：设，联立方程组得，消得， 解得，则， . (2)圆C的圆心坐标为，半径，当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即，则圆心C到直线的距离为， 又的面积，所以当时取最大值8， 由，得，解得，， 所以直线的方程为或. 17.(24-25高二上·浙江杭州·期中)古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程；(2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程；(3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.65 【知识点】坐标法的应用——直线与圆的位置关系、轨迹问题——圆、切线长 【分析】(1)根据列方程，整理即可得到曲线的方程； (2)根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可； (3)根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可. 【详解】(1)设，则，整理得， 即，所以曲线的方程为. (2)设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以，直线的方程为. (3)由题意得点在直线上运动，设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则，所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则，所以. 【点睛】关键点睛：(3)的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可. 18.(24-25高二上·吉林四平·阶段练习)已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程；(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；(3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析【难度】0.4 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、过圆上一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】(1)设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程；(2)设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为；(3)设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【详解】(1)设圆的圆心为，由得，解得， 故圆心为，半径为，故圆的标准方程为； (2)设，则， 显然过点的切线斜率存在，过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即，即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0(舍去)， 故，所以，故的斜率为； (3)不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为，由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得，故， 由垂径定理得，解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 19.(24-25高二上·重庆·阶段练习)在平面直角坐标系中，已知圆C：，，是圆上的动点，且，的中点为． (1)求点的轨迹方程；(2)设点A是直线上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值；(3)若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，与不重合)，求证：直线过定点． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见详解【难度】0.15 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、轨迹问题——圆、切线长 【分析】(1)弦长关系可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得方程；(2)根据切线性质可得，进而可得最小值；(3)先进行图形平移，将圆心平行至原点，可得，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线过定点，进而可得结果. 【详解】(1)因为圆C：，即， 可知圆C的圆心为，半径，    由题意可得：，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以点的轨迹方程为. (2)因为四边形面积，    可知当时，取到最小值， 所以四边形面积的最小值为. (3)由题意可知：直线，不妨令，    先说明如下问题：若点为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，(与不重合)，求证：直线过定点．    因为， 可知，即，可得， 又因为，可得， 则，即，整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点，且与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得，即，解得或(舍去)， 此时直线过点，符合题意；且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 60 页 专题 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系(高效培优讲义) 教学目标 1、理解并掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断与应用； 2、掌握弦长、切线有关问题的解法； 教学重难点 1、重点：弦长问题、切线问题； 2、难点：切线问题，位置关系中含参讨论. 直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ |Aa＋Bb＋C| A2＋B2 d<r d＝r d>r 代数法：由 Ax＋By＋C＝0 x－a2＋y－b2＝r2 消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【即学即练 1】(25-26 高三上·广西·开学考试)已知直线 l： 2 4 0ax y a    与圆C： 2 2 2 2 0x y y    ， 则直线 l与圆C的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】根据题意可得直线过定点  1, 2A   ，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线 l：  1 2 4 0a x y    过定点  1, 2A   . 因为  2 2( 1) ( 2) 2 2 2 1 0          ，所以点  1, 2A   在圆C内， 第 2 页 共 60 页 则直线 l与圆C相交.故选：C. (1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 圆C1的方程 圆C2的方程 消元 一元二次方程 ∆ > 0 ⇒ 相交, ∆ = 0 ⇒内切或外切, ∆ < 0 ⇒ 内含或外离, 【即学即练 2】(24-25 高二下·安徽安庆·期末)已知圆 2 21 : 4 0C x y   ，圆 2 2 2 : 4 4 8 0C x y x y     ，则两 圆的位置关系是( ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】 2 2 1 : 4C x y  ，圆心  1 0,0C ，半径 1 2r  ， 2 2 2 : 4 4 8 0C x y x y     可化简为     2 22 2 16x y    ， 则圆 2C 的圆心为  2 2 2C ， ，半径 2 4r  ， 1 22 4 2 2 2 4 2 6C C       ，所以两圆相交.故选：C. 直线 l被⨀C截得的弦长为 | |AB 的常用方法 1、几何法(优先推荐) ①弦心距(圆心到直线的距离) ②弦长公式： 2 22AB r d  2、代数法 直线 l： 0Ax By C   ；⨀C: 2 2 0x y Dx Ey F     联立 2 2 0 0 Ax By C x y Dx Ey F          消去“ y”得到关于“ x”的一元二次函数 2 0ax bx c   弦长公式： 2 21 2 1 21 ( ) 4AB k x x x x     【即学即练 3-1】(24-25 高三上·四川成都·阶段练习)若圆 2 2 2 5 0x y x    与圆 2 2 2 4 4 0x y x y     相交 于A、 B，则 AB所在直线方程是( ) 第 3 页 共 60 页 A． 4 4 1 0x y   B． 4 4 1 0x y   C． 1 0x y   D． 1 0x y   【答案】A【难度】0.94【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】将两圆方程作差，可得出直线 AB的方程. 【详解】因为圆 2 2 2 5 0x y x    与圆 2 2 2 4 4 0x y x y     相交于A、 B， 将这两圆方程作差可得 4 4 1 0x y   ，因此，直线 AB的方程为 4 4 1 0x y   .故选：A. 【即学即练 3-2】已知直线 l： 2 3 0x y   与圆 C： 2 2 2 6 15 0x y x y     相交于 A，B两点，则 AB  ( ) A． 5 B．5 C． 2 5 D．10 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心、半径及圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆 C： 2 2( 1) ( 3) 25x y    的圆心 (1, 3)C  ，半径 = 5r ， 圆心 C到直线 l的距离 2 2 1 2 ( 3) 3 2 5 1 ( 2) d         ，所以 2 22 2 5AB r d   .故选：C 公共弦所在直线的方程 设 1C : 2 2 2 1 1 1( ) ( )x a y b r    2C : 2 2 2 2 2 2( ) ( )x a y b r    联立作差得到： 0Ax By C   即为两圆公共弦方程 【即学即练 4-1】已知圆 2 21 : 4C x y  ，圆 2 2 2 : 4 4 4 0C x y x y     ，两圆的公共弦所在直线方程是( ) A． 2 0x y   B． 2 0x y   C． 1 0x y   D． 1 0x y   【答案】B【难度】0.94【知识点】相交圆的公共弦方程【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆 2 2 1 : 4C x y  ，圆 2 2 2 : 4 4 4 0C x y x y     ， 两式作差得， 4 4 4 4x y   ，即 2 0x y   ， 所以两圆的公共弦所在直线方程是 2 0x y   .故选：B. 【即学即练 4-2】已知圆 2 21 : 4 0C x y   与圆 2 2 2 : 4 4 12 0C x y x y     交于M 、 N两点，则 MN  ( ) A． 2 2 B． 2 C．2 3 D． 3 【答案】A【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆 2 2 1 : 4 0C x y   即 2 2 4x y  ，圆心  1 0,0C ，半径 1 2r  ； 圆 2 2 2 : 4 4 12 0C x y x y     即     2 22 2 20x y    ，圆心  2 2, 2C  ，半径 2 2 5r  ， 因为 1 2 2 2C C  ，则 2 1 1 2 2 1r r C C r r    ，所以两圆相交，则两圆的公共弦方程为 2 0x y   ， 则  1 0,0C 到 2 0x y   的距离  22 2 2 1 1 d     ，所以  22 2 212 2 2 2 2 2MN r d     . 第 4 页 共 60 页 1.⨀C上一点�到圆外一点�的距离的最值 ���� = �� + r ���� = �� − r 2.⨀C1上一点到⨀C2上一点的距离的最值 ���� = �1�2 + (r1 + r2) ���� = �1�2 − (r1 + r2) 3.⨀C上一点�到直线�距离的最值 ���� = ��−� + r ���� = ��−� − r 4.过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径； 最短弦：垂直于直径的弦 【即学即练 5-1】圆  2 2: 1 2C x y   上的动点M 到直线 3 0x y   的距离的最小值为( ) A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2 【答案】A【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】先得到圆C的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆  2 2: 1 2C x y   ，所以其圆心  1,0C  ，半径 2r  ， 所以圆心  1,0C  到直线 3 0x y   的距离 1 0 3 2 2 2 d      ， 则所求距离的最小值为 2 2 2 2d r    .故选：A. 【即学即练 5-2】若点 P在直线3 4 12 0x y   上，点 Q在圆 2 2 1x y  上，则线段 PQ长度的最小值为( ) A． 12 5 B． 7 5 C． 17 5 D． 22 5 【答案】B【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段 PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减 去半径即可. 【详解】圆 2 2 1x y  的圆心为 (0,0)O ，半径 1r  ， 因为圆心到直线3 4 12 0x y   的距离为 2 2 12 12 1 53 4 d      ， 所以线段 PQ长度的最小值为 12 71 5 5   .故选：B (1)过圆 2 2 2x y r  上一点 0 0( , )P x y 的圆的切线方程为: 20 0x x y y r  ． (2)过圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    上一点 0 0( , )P x y 的圆的切线为: 20 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r      第 5 页 共 60 页 (3)过圆 2 2 0x y D x Ey F     上一点 0 0( , )P x y 的圆的切线方程为: 0 00 0 02 2 x x y y x x y y D E F          (4)求过圆 2 2 2x y r  外一点 0 0( , )P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论． 设切线方程为 0 0( )y y k x x   ，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于 k的方程，求出 k值． 若求出的 k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意； 若求出的 k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意，需要加上斜率不存在的那一条． 【即学即练 6-1】已知圆 2 21 : 9O x y  与圆 2 2 2 : ( 4) ( 3) 4O x y    ，则两圆的公切线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.85【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【详解】因为圆 2 2 1 : 9O x y  的圆心  1 0,0O ，半径 1 3r  ， 圆 2 2 2 : ( 4) ( 3) 4O x y    的圆心  2 4,3O ，半径 2 2r  ， 则两圆的圆心的距离为    2 24 0 3 0 5d      ，又 1 2 3 2 5r r    ， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切，所以有 3 条公切线．故选：C. 【即学即练 6-2】过点  2,4P 的直线与圆 2 2: ( 3) 1O x y   相切于点A，则切线段 PA长为( ) A．3 B．4 C． 17 D．5 【答案】B【难度】0.85【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离、切线长 【分析】求出圆O的圆心坐标和半径，求出 | |PO ，根据勾股定理求出 | |PA . 【详解】圆心  3,0O ，半径 1r  ， 2 2| | (2 3) (4 0) 17PO      ， 由勾股定理得 2 2| | | | 16 4PA PO r    .故选：B. 题型 01 判断直线与圆的位置关系 【典例 1-1】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2 2: 8 15 0C x y y    ，直线 :l x ky  1 4 0k  ，则直线 l 与圆C的位置关系为( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线过定点问题 【分析】化简直线方程可得直线过定点  1,4 ，点 (1,4)在圆C上，进而即得. 【详解】由 2 2 8 15 0x y y    可得 2 2( 4) 1x y   ， 直线 l的方程 1 4 0x ky k    整理为 1 ( 4) 0x k y    ，则直线 l恒过点 (1,4)，又点 (1,4)在圆C上， 故直线 l与圆C相交或相切．故选：D 第 6 页 共 60 页 【典例 1-2】(2025·浙江·模拟预测)已知圆 2 2: 9O x y  ，则“点  ,M a b 在圆O外”是“直线 1ax by  与圆O相 交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断直线与圆的位置关系 【分析】首先判断点  ,M a b 在圆 2 2: 9O x y  外的条件，然后判断直线 1ax by  与圆 O 相交的条件，最 后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【详解】因为点  ,M a b 在圆 2 2: 9O x y  外，说明点M 与圆心距离大于半径，即 2 2 9a b  . 直线 1ax by  与圆 O 相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 2 2 1 3 a b   ，化简得 2 2 1 9 a b  .所以 2 2 2 2 19 9 a b a b     ，但是后者不能推出前者. 也就是说，点  ,M a b 在圆 2 2: 9O x y  外，那么直线 1ax by  与圆 O 相交， 但是直线 1ax by  与圆 O 相交，点  ,M a b 不一定在圆 2 2: 9O x y  外. 所以“点  ,M a b 在圆 2 2: 9O x y  外”是“直线 1ax by  与圆 O相交”的充分不必要条件.故选：A. 【典例 1-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2 2: 4C x y  ，直线 : 2 0l x y   ，则圆C上到直线 l的 距离等于 1 的点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.85【知识点】判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离 【分析】根据圆C的标准方程得到圆C的圆心和半径，计算圆心到直线 l的距离并判断直线 l和圆的位置关 系，再结合半径，判断到直线 l的距离为 1 的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆 2 2: 4C x y  的圆心为 (0,0)C ，半径为 2， 圆心 (0,0)C 到 : 2 0l x y   的距离 | 0 0 2 | 1 2 1 1 d      ， 所以直线 l与圆C相交，结合圆C半径为 2，到直线 l的距离为 1 的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆C上有且仅有 3 个点到直线 : 2 0l x y   的距离等于 1.故选：C. 【变式 1-1】(2025·江西景德镇·模拟预测)已知直线 : 1 0l x y   与圆    2 2: 3 2 4C x y    ，则( ) A． l与C相离 B． l与C相切 C． l平分C D． l与C相交但不平分C 【答案】C【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】判断出直线过圆心即可得结果. 【详解】因为圆    2 2: 3 2 4C x y    的圆心为  3, 2C  ， 直线 : 1 0l x y   过点  3, 2C  ，所以直线 l平分C，故选：C. 【变式 1-2】(24-25 高二上·辽宁·期末)直线3 2 1 0x y   与圆      2 2 21 1 0x y r r     的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．与 r有关 第 7 页 共 60 页 【答案】A【难度】0.94【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据圆心在直线上，判断得解. 【详解】由题可得，圆心为  1,1 ，又点  1,1 满足直线3 2 1 0x y   方程， 即直线3 2 1 0x y   经过圆心  1,1 ， 所以直线3 2 1 0x y   与圆      2 2 21 1 0x y r r     相交.故选：A. 【变式 1-3】(23-24 高二上·广东·期末)直线 : cos sin 2 0   l x y 与圆 2 2: 1O x y  的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A【难度】0.94【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】求圆心到直线的距离d与半径 r比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】由题意知，圆心 (0,0)，半径 1r  ， 所以圆心O到直线 l的距离 2 2 | 2 | 2 1 cos sin d r         ，故圆O与直线 l相离.故选：A. 【变式 1-4】(2025·江苏·二模)已知圆C：  22 102 3 x y   ，将直线 1l ： 3 0x y  绕原点按顺时针方向旋转 30后得到直线 2l ，则( ) A．直线 2l 过圆心C B．直线 2l 与圆C相交，但不过圆心 C．直线 2l 与圆C相切 D．直线 2l 与圆C无公共点 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断直线与圆的位置关系、直线的倾斜角 【分析】首先得到直线 1l 的倾斜角，即可得到直线 2l 的倾斜角，从而求出直线 2l 的方程，再求出圆心到直线 的距离，即可判断. 【详解】直线 1l ： 3 0x y  即 3y x ，斜率为 3，倾斜角为60， 将直线 1l 绕原点顺时针方向旋转30得到直线 2l ，则直线 2l 的倾斜角为30， 所以直线 2l 的方程为 3 3 y x ，即 3 0x y  ， 圆C：  22 102 3 x y   的圆心坐标为  0,2C ，半径 10 3 r  ， 圆心到直线 2l 的距离 2 3 103 2 3 d    ，直线 2l 与圆C相交但不过圆心.故选：B. 题型 02 由直线与圆的位置关系求参数 【典例 2-1】(2025 高三·全国·专题练习)已知直线 l为过点  2,0 且斜率大于 0 的一条动直线，P为 l上一点， 圆 C：  2 21 1x y   ，若 CP 的最小值为 2，则 l的斜率为( ) A． 14 7 B． 2 2 5 C． 3 2 D． 10 3 【答案】A【难度】0.94【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 第 8 页 共 60 页 【分析】设   2 0y m x m   ，求得圆心，再由点到直线的距离公式求解即可； 【详解】设 l：    2 2 0y m x mx m m     ，由  2 21 1x y   ，可知圆心  1,0C ， 当PC l 时， PC 取得最小值 2，即圆心 C到 l的距离为 2， 由点到直线的距离公式可得 2 3 2 1 m m   ，解得 14 7 m  ．故选：A. 【典例 2-2】(25-26 高二上·全国·单元测试)若圆C： 2 2 12 10 25 0x y x y     上有四个不同的点到直线 : 3 4 0l x y c   的距离为 3，则 c的取值范围是( ) A． (0,17) B． ( 13,0) C． ( 13,17) D． (13,17) 【答案】C【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为 3，将 问题转化为圆心到直线的距离小于 3 即可． 【详解】圆 2 2 2 2: 12 10 25 0 ( 6) ( 5) 36C x y x y x y          ，故圆心为 (6, 5)C  ，半径为 6． 设圆心 (6, 5)C  到直线 : 3 4 0l x y c   的距离为 d， 要使圆上有四个不同的点到直线 : 3 4 0l x y c   的距离为 3， 则与直线 l平行且距离为 3 的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以 3 6d   ，得 3d  ，即 2 2 |18 20 | 3 3 4 c    ，解得 13 17c   ，故选：C． 【典例 2-3】(2025·江西景德镇·模拟预测)若曲线 2: 4 3C y x x    上存在两点到直线  : 3 0 0l x y m m    的距离为 3，则m的取值范围为( ) A．  7,9 B．  6,7 C．  5,6 D．  5,9 【答案】B【难度】0.4【知识点】求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由 2: 4 3C y x x    表示圆 2 2( 2) 1x y   的上半部分，数形结合确定直线 l到 3 0x y  的距离 大于 3，到 3 1 0x y   的距离小于等于 3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由 2: 4 3C y x x    表示圆 2 2( 2) 1x y   的上半部分，如下图， 当圆心 (2,0)C 到直线 l的距离 | 2 0 | | 2 | 1 21 3 m md       ，可得 0m  或 4m  ， 若 0m  时， : 3 0l x y  ，若 4m  时， : 3 4 0l x y   ， 当直线 l过点 (1,0)时，有 1 0 3 3 m   ，可得 1m  ，此时 : 3 1 0l x y   ， 结合图知，要使曲线存在两个点与直线 l的距离为 3，且 0m  ，即直线 l必在 3 0x y  的右下方， 第 9 页 共 60 页 所以直线 l到 3 0x y  的距离大于 3，到 3 1 0x y   的距离小于等于 3，  : 3 0 0l x y m m    与 3 0x y  的距离 3 2 m  ，则 6m  ，  : 3 0 0l x y m m    与 3 1 0x y   的距离 | 1| 3 2 m  ，则0 7m  ，所以6 7m  .故选：B 【变式 2-1】(2025·天津红桥·二模)已知直线 :l  1 0 0kx y k    与圆 2 2: 4 3 0C x y x    相切，则 k  ( ) A． 2 3 B． 3 4 C． 3 2 D． 4 3 【答案】D【难度】0.94【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆 2 2: 4 3 0C x y x    化为标准方程  2 22 1x y   ，可得圆心  2,0C ，半径 1r  ， 依题意可知圆心  2,0C 到直线 l的距离为 2 2 1 1 1 k d k     ，又 0k  ，解得 4 3 k  .故选：D 【变式 2-2】(2025 高三·全国·专题练习)已知直线 l： 1 0mx y m    与圆 C：    2 22 1 1x y    交于 A，B 两点，若 90ACB  ，则m  ( ) A． 1 B． 2 C． 2 D． 1 【答案】D【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、 已知圆的弦长求方程或参数 【分析】圆心  2,1 到直线 l的距离 d  2 2 2 21 2 2         ，结合点到直线的距离公式列方程求解即可. 【详解】因为 90ACB  ，所以 2 21 1 2AB    ，则 1 2 2 2 AB  ， 故圆心  2,1 到直线 l的距离 d  2 2 2 21 2 2         ，即 2 2 1 1 2 21 m m m      ，解得 1m   ．故选：D. 【变式 2-3】(25-26 高二上·全国·单元测试)已知直线  0 0x y k k    与圆 2 2 4x y  交于不同的两点 ,A B， O是坐标原点，且有 3OA OB AB     ，则实数 k的取值范围是( ) A． 6,2 3 B． 6,2 2 C． 2, 6 D． 3, 6 【答案】B【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、向量加法法则的几何应用 【分析】取 AB中点为C，根据已知条件求得 OC  的范围，利用点到直线距离公式将其转化为关于 k的不等 式，求解得到 k的取值范围. 【详解】如图，设 AB的中点为C，连接 OC，则OC AB ． 第 10 页 共 60 页 ∵ 3OA OB AB     ，∴ 2 3OC AB   ，∴ 2 3 3 AB OC   ．又 2 21 4 4 OC AB    (弦心距 d、半径 r和弦长 AB 的一半构成直角三角形)，∴ 24 4 3 OC   ，即 2 3OC   ． 又∵直线  0 0x y k k    与圆 2 2 4x y  交于不同的两点 A，B， ∴ 2 4OC   ，故 2 3 4OC   ，则 2 3 4 2 k       ．∵ 0k  ，∴ 6 2 2k  ．故选：B. 【变式 2-4】(2025 高二上·全国·专题练习)过点 (2,0)引直线 l与曲线 22 0y x   相交于 A，B两点，O为坐 标原点，当∆AOB的面积取最大值时，直线 l的斜率等于( ) A． 3 3 B． 3 C． 3 3  D． 3 【答案】A【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】∆AOB面积取最大值时，OA OB ，圆心 (0,0)O 到直线 l的距离为 1，由此能求出直线 l的斜率． 【详解】由 22 0y x   ，得 22y x   ，则 2 20, 2y y x   ，即 2 2 2( 0)x y y   ， 所以曲线 22 0y x   是以原点为圆心， 2为半径的半圆，如图． 则当∆AOB面积取最大值时，OA OB ，半圆 2 2 2( 0)x y y   的圆心为 (0,0)O ，半径 2r  ， 所以 | | | | 2OA OB  ， | | 2AB  ，所以圆心 (0,0)O 到直线 l的距离为 | | 1 2 AB  ． 设直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为 ( 2), 0y k x k   ， 圆心 (0,0)到直线 l的距离 2 1 | |2 1 kd k     ，解得 3 3 k   ，因为 0k  ，所以 3 3 k  ．故选：A. 【变式 2-5】(24-25 高二上·江苏南京·期末)已知    1,0 , 1,2A B  ，若在直线  2y k x  上存在点 P，使得 2 2| | | | 10PA PB  ，则 k的取值范围为( ) A． 2, 2   B． 2, 6   C． 2 2,2 2    D． 2 6,2 6    【答案】D【难度】0.4【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】根据 2 2| | | | 10PA PB  求出点 P的轨迹方程为 2 2( 1) 3x y   ，由题意，说明直线  2y k x  与圆 2 2: ( 1) 3C x y   有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得. 【详解】设点 ( , )P x y ，因    1,0 , 1,2A B  ， 由 2 2| | | | 10PA PB  可得： 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 2) 10x y x y       ，化简得 2 2 2 2 0x y y    ，即 2 2( 1) 3x y   ， 依题意，直线  2y k x  与圆 2 2: ( 1) 3C x y   有公共点， 故圆心 (0,1)C 到直线 2 0kx y k   的距离 3d  ，即 2 | 2 1| 3 1 k k    ，化简得 2 4 2 0k k   ， 第 11 页 共 60 页 解得： 2 6 2 6k    .故选：D. 题型 03 直线与圆的交点 【典例 3-1】(24-25 高三上·河南南阳·期末)直线 3 2 3 0x y   交圆 2 2 4x y  于A、B两点，则OA OB    ( ) A． 2 B． 1 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.85【知识点】数量积的坐标表示、求直线与圆交点的坐标 【分析】直线与圆方程联立，求出 ,A B点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求OA OB   . 【详解】联立 2 2 3 2 3 0 4 x y x y        解得：  2,0A  ，  1, 3B   ， 所以      2 1 0 3 2OA OB          .故选：D 【典例 3-2】(2024·北京东城·二模)直线 : 1l y   与圆 2 2: 4 0E x y x   交于A， B两点，若圆上存在点C， 使得∆ABC为等腰三角形，则点C的坐标可以为( ) A．  0,0 B．  4,0 C．  1, 3 D．  2, 2 【答案】D【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆交点的坐标、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】设 AB的中点为D，连接 ED、 AE、 BE，即可求出 120AEB  ，分析可知∆ABC为等边三角形， 即可得到点C在 AB的中垂线 2x  与圆 E的交点( AB上方)，从而求出C点坐标. 【详解】圆 2 2: 4 0E x y x   ，即  2 22 4x y   ，圆心为  2,0E ，半径 2r  ， 设 AB的中点为D，连接 ED、 AE、 BE，则 ED AB ，且 1ED  ， 则 1cos 2 ED AED AE    ，所以 60AED  ，则 60BED  ，即 120AEB  ， 若在圆上的点C使得∆ABC为等腰三角形， 若 AC AB ( BC AB 也类似)，连接CE，则 120AEC AEB   ， 此时 120CEB  ，则 CB AC AB  ，所以∆ABC为等边三角形， 若 AC CB 也可得到∆ABC为等边三角形，所以点C在 AB的中垂线 2x  与圆 E的交点( AB上方)， 由 2 2 4 0 2 x y x x       ，解得 2 2 x y    或 2 2 x y     ，所以可以是  2,2C .故选：D 【典例 3-3】(23-24 高三下·江苏苏州·开学考试)过点  2,0P  作直线 l交圆 2 2: 1C x y  于点M ， N，若 PM MN   ，则点M 的横坐标是( ) A． 7 8  B． 7 9  C． 7 10  D． 1 4 第 12 页 共 60 页 【答案】A【难度】0.65【知识点】求直线与圆交点的坐标【分析】设出点M 的坐标，结合题意可得点N的 坐标，又两点都在圆 2 2: 1C x y  上，代入计算即可得点M 的横坐标. 【详解】设  ,M m n ，故有 2 2 1m n  ，即 2 21n m  ，由 PM MN   ，则点M 为PN中点，故  2 2 ,2N m n ， 故有    2 22 2 2 1m n   ，即有    2 22 2 4 1 1m m    ，整理得8 8 1m   ，即 78m   .故选：A. 【变式 3-1】(23-24 高二上·湖北荆州·期末)已知点 (1, 4)A 和 (2,1)B ，点 P在 y轴上，且 APB 为直角，则点 P 坐标为( ) A．  0,2 B．  0,2 或  0,3 C．  0,2 或  0,4 D．  0,3 【答案】B【难度】0.65【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、求直线与圆交点的坐标 【分析】 APB 为直角，故 P在以 AB为直径的圆上，确定圆方程，取 0x  计算得到答案. 【详解】 APB 为直角，故 P在以 AB为直径的圆上， 圆心为 3 5, 2 2 C      ，半径为     2 22 1 4 1 10 2 2     ，圆方程为 2 23 5 5 2 2 2 x y              ， 取 0x  得到 2y  或 3y  ，即点 P坐标为  0,2 或  0,3 .故选：B. 【变式 3-2】(多选)(22-23 高二下·广东·期末)已知点 P是圆 C： 2 2 8x y  上的动点，直线 4x y  与 x轴和 y轴分别交于 A，B两点，若 PAB 为直角三角形，则点 P的坐标可以是( ) A．  2, 2  B．  2, 2 C．  1 3,1 3  D．  1 3,1 3  【答案】BCD【难度】0.65【知识点】确定圆心和半径、判断直线与圆位置关系、求直线与圆交点坐标 【分析】设  2 2 cos ,2 2 sinP   ，再分 APB 为直角， ABP 为直角和 BAP 为直角三种情况讨论即可得解. 【详解】圆 C： 2 2 8x y  的圆心为  0,0 ，半径 2 2r  ， 圆心  0,0 到直线 4x y  的距离为 0 0 4 2 2 1 1 r      ，所以直线与圆相切， 由 4x y  ，令 0x  ，则 4y  ，令 0y  ，则 4x  ，即    4,0 , 0,4A B ， 因为点 P是圆 C： 2 2 8x y  上的动点，则可设  2 2 cos ,2 2 sinP   ， 则      2 2 cos 4,2 2 sin , 2 2 cos ,2 2 sin 4 , 4,4AP BP AB           ， 当 APB 为直角时，则 0AP BP    ，即 2 28cos 8 2 cos 8sin 8 2 sin 0       ，整理得 2sin cos2   ， 又 2 2sin cos 1   ，则 2 22 cos cos 1 2            ，解得 2 6cos 4   ， 当 2 6cos 4   时， 2 6sin 4   ，此时  1 3,1 3P   ， 当 2 6cos 4   时， 2 6sin 4   ，此时  1 3,1 3P   ， 当 ABP 为直角时，则 0AB BP    ，即 8 2 cos 8 2 sin 16 0     ，整理得 sin 2 cos   ， 又 2 2sin cos 1   ，则  2 22 cos cos 1    ，解得 2cos 2   ，所以 2sin 2   ，此时  2,2P  ， 第 13 页 共 60 页 当 BAP 为直角时，则 0AB AP    ，即 8 2 cos 16 8 2 sin 0     ，整理得 sin cos 2   ， 又 2 2sin cos 1   ，则  2 2cos 2 cos 1    ，解得 2cos 2  ，所以 2sin 2    ，此时  2, 2P  ， 所以 BCD 可以，A 不可以.故选：BCD. 【变式 3-3】(23-24 高三上·浙江温州·期末)已知圆 2 2 16x y  与直线 3y x  交于 A，B两点，则经过点 A， B，  8,0C 的圆的方程为 ． 【答案】    223 3 28x y    【难度】0.85【知识点】求圆的一般方程、求直线与圆交点的坐标 【分析】设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出 ,A B点坐标，设经过点 A，B，C的圆的方程 为  2 2 2 20 4 0x y Dx Ey F D E F        ，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由 2 2 3 16 y x x y       解得 1 2 1 2 2 2 , 2 3 2 3 x x y y             ，可得    2, 2 3 , 2,2 3A B  ， 设经过点 A，B，  8,0C 的圆的方程为  2 2 2 20 4 0x y Dx Ey F D E F        ， 所以 4 12 2 2 3 0 4 12 2 3 0 64 0 8 0 0 D E F Dx E F D F                   ，解得 6 2 3 16 D E F         ，即 2 2 6 2 3 16 0    x y x y ， 可得    223 3 28x y    .故答案为：    223 3 28x y    . 【变式 3-4】(25-26 高二上·全国·课后作业)经过圆 2 2 8 6 21 0x y x y     与直线 5 0x y   的交点，且在 y 轴上的弦长为 2 33的圆的方程是 ． 【答案】 2 2 2 4 29 0x y x y     或 2 2 26 24 111 0x y x y     【难度】0.65 【知识点】求直线与圆交点的坐标、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解； 【详解】设所求圆的方程为    2 2 8 6 21 5 0x y x y k x y        ，且与 y轴交点的纵坐标为 1 2,y y ， 令 0x  得    2 6 21 5 0y y k y      ，化简得  2 6 21 5 0y k y k     ， 所以 1 2 6y y k   ， 1 2 5 21y y k  ，由 1 2 2 33y y  两边平方得   2 1 2 1 24 132y y y y   ， 所以    26 4 5 21 132k k    ，化简得 2 8 180 0k k   ，解得 10k   或 18k  ． 检验知两个 k值都符合题意，所以所求圆的方程为：    2 2 8 6 21 10 5 0x y x y x y        ，或    2 2 8 6 21 18 5 0x y x y x y        ， 即 2 2 2 4 29 0x y x y     或 2 2 26 24 111 0x y x y     ． 第 14 页 共 60 页 故答案为： 2 2 2 4 29 0x y x y     或 2 2 26 24 111 0x y x y     ． 【变式 3-5】(2024 高三·全国·专题练习)在圆    2 22 3 2x y    上与点  0, 5 距离最大的点的坐标是 ． 【答案】  3, 2 【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、求直线与圆交点的坐标 【分析】判断点  0, 5 在圆外，结合圆外的点与圆上的点的距离的最值结论确定所求点位置，联立方程组求 交点坐标可得结论. 【详解】解 2 2(0 2) ( 5 3) 8 2      ，点  0, 5 在圆外， 圆上与点  0, 5 距离最远的点，在圆心与点  0, 5 连线上，且与点  0, 5 分别在圆心两侧， 设直线解析式为 y kx b  ，由于直线通过点  2, 3 和  0, 5 ，可得直线解析式为 5y x  ， 与圆的方程联立，可得 2 2( 2) ( 2) 2x x    ， 3x  或 1x  ，交点坐标为  3, 2 和  1, 4 ， 其中与点  0, 5 距离最大的点为  3, 2 ．故答案为：  3, 2 . 题型 04 直线与圆的相交弦 【典例 4-1】(2025·新疆喀什·模拟预测)已知直线 : 4 0l x y   与圆 2 2 9x y  交于 ,A B两点，过 ,A B分别作 l的垂线与 x轴交于 ,C D两点，则 CD  ( ) A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】利用垂径定理求得 | |AB ，由题意可得直线 l的倾斜角为 45  ，根据 | |cos | | AB CD   ，可求 | |CD . 【详解】由 2 2 9x y  ，可得圆心 (0,0)O ，半径 3r  ， 圆心 (0,0)O 到直线 : 4 0l x y   的距离为 | 0 0 4 | 2 2 1 1 d     ，所以 2 2| | 2 2AB r d   ， 又因为 l的斜率为 1，故直线 l的倾斜角为 45  ，所以 | |cos | | AB CD   ，所以 | || | 2 2 cos 45 ABCD    .故选：C. 【典例 4-2】(23-24 高三上·浙江嘉兴·期末)已知直线 : 3 1 0l x y   与圆O： 2 2 1x y  相交于 A，B两点， 则 AOB  ( ) A． π 2 B． 2π 3 C． 3π 4 D． 5π 6 【答案】B【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】求得圆心为O到直线 : 3 1 0l x y   的距离，求出弦长，计算即可得出结果. 【详解】因为圆心为O到直线 : 3 1 0l x y   的距离为： 1 1 21 3 d    ，所以 2 22AB r d  = 3 所以 π 6    OAB OBA ,即 AOB  2π3 .故选：B 第 15 页 共 60 页 【典例 4-3】(多选)(24-25 高二上·安徽阜阳·期末)已知圆的方程为 2 2 8 8 3 0x y x y     ，过点  1,0 的直线 交该圆于A， B两点，则弦长 AB 的值可能为( ) A．6 B．3 C．9 D．11 【答案】AC【难度】0.85【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、过圆内定点的弦长最值(范围) 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，判断点  1,0 在圆内，即可求出 minAB ， maxAB ， 即可判断. 【详解】圆 2 2 8 8 3 0x y x y     ，即    2 24 4 29x y    ， 则圆心为  4,4 ，半径 29r  ，又    2 21 4 0 4 25 29     ， 所以点  1,0 在圆内，所以       22 2 2 min 2 29 1 4 0 4 4AB           ， max 2 29AB  ，即 4,2 29AB    ， 又  22 29 116 121  ，即 2 29 11 ，所以符合题意的有 A、C；故选：AC 【典例 4-4】(多选)(24-25 高二下·安徽安庆·阶段练习)已知圆  22: 1 4C x y   ，直线  : 1 2 1 0l m x my m     ，则( ) A．直线 l经过定点 B．直线 l与圆C相交 C．圆心C到直线 l距离为 2 2 时，直线 l的倾斜角为 45或135 D． 0m  时，直线 l被圆C截得的弦长最短 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题、已 知点到直线距离求参数 【分析】求出直线 l所过定点的坐标，可判断 A 选项；判断定点与圆C的位置关系，可得出直线 l与圆C的 位置关系，可判断 B 选项；利用点到直线的距离公式求出m的值，求出直线 l的倾斜角，可判断 C 选项；由 条件得圆心C到直线 l的距离取最大值，即可判断 D 选项. 【详解】对于 A 选项，直线 l的方程可化为  2 1 0m x y x     ， 由 1 0 2 0 x x y       得 1x y  ，故直线 l过定点  1,1A ，A 对； 对于 B 选项，因为  221 1 1 4   ，即点  1,1A 在圆  22: 1 4C x y   内，故直线 l与圆C相交，B 对； 对于 C 选项，圆心为  0,1C ，圆心到直线 l的距离为    2 22 2 2 1 1 2 21 1 m m m d m m m m           ， 解得 1 2 m   ，此时直线 l的方程为 0x y  ，该直线的斜率为1，倾斜角为 45，C 错； 对于 D 选项，当 0m  时，直线 l的方程为 1 0x   ， l AC ， 此时，圆心C到直线 l的距离取最大值，则直线 l被圆C截得的弦长最短，D对.故选：ABD. 【变式 4-1】(24-25 高三上·甘肃·期末)直线 : 3 4 1 0l x y   被圆 2 2: 4 6 4 0C x y x y     截得的弦长为( ) 第 16 页 共 60 页 A． 2 2 B． 4 3 C．2 3 D． 4 2 【答案】D【难度】0.94【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】利用弦长公式 2 22l r d  即可求得结果. 【详解】圆 C的圆心为 (2, 3) ，半径为 3，圆心到直线 l的距离 2 2 3 2 4 ( 3) 1 1 3 4 d         ， 所以直线 l被圆 C截得的弦长为 2 22 3 1 4 2  .故选：D 【变式 4-2】(24-25 高二上·重庆沙坪坝·期末)圆 2 2 4 0x y y   与圆 2 2 4 2 4x y x y    交于 ,A B两点，则直 线 AB的方程为( ) A． 2 3 2 0x y   B．3 2 2 0x y   C．3 2 2 0x y   D． 2 3 2 0x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】 2 2 4 0x y y   ①， 2 24 2 4x x y y    ②，. ②−①化简可得，方程为 2 3 2 0x y   ，故选：A． 【变式 4-3】(24-25 高二下·四川泸州·期末)已知直线 : 3 6 0l x y   与圆 2 2: 2 4 0C x y y    相交于 A，B 两点，则∆ABC的面积为( ) A． 5 2 B．5 C．4 D．2 【答案】A【难度】0.85【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】由几何法求出弦长 AB ，再由面积公式计算． 【详解】圆C的标准方程是 2 2( 1) 5x y   ，圆心为 (0,1)C ，半径为 5r  ， C到直线 l的距离为 0 1 6 10 210 d     ，所以 2 2 2 2102 2 ( 5) ( ) 10 2 AB R d     ， 所以 1 1 10 510 2 2 2 2ABC S AB d     ，故选：A． 【变式 4-4】(2025·河北秦皇岛·一模)已知圆 2 2: 4 4 4 0M x y x y     与 y轴相切于A点，过A点的直线 l交 圆M 于另一点 B，点  0,3 ,F O为坐标原点，若 AO BOAF BF ，则直线 l的方程为( ) A． 2 4 0x y   B． 2 2 0x y   C． 2 0x y   D．3 2 4 0x y   【答案】C【难度】0.65【知识点】相交圆的公共弦方程【分析】利用圆的轨迹方程解出 ,A B两点均在圆 2 2 8 12 0x y y    上，然后将直线 l的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆 2 2: 4 4 4 0M x y x y     ，即    2 22 2 4x y    ， 且圆M 与 y轴相切于A点，故  0,2A ，所以 21 AO BO AF BF   ， 设动点  ,P x y ，满足 2POPF  ，则 2 24PO PF ， 第 17 页 共 60 页 则  22 2 24 3x y x y     ，即 2 2 8 12 0x y y    ， 故 P点的轨迹是圆，且 2 AO BO AF BF   ，故 ,A B两点均在圆 2 2 8 12 0x y y    上， 且 ,A B两点均在圆M 上，故直线 l的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得： 4 4 8 0x y   ，即 2 0x y   .故选：C 【变式 4-5】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2 2: ( 2) ( 2) 4C x y    ，直线 l过点 (2, 4)P ，则下列 说法正确的是( ) A．点 P在圆C上 B．若直线 l过原点，则圆C截直线 l所得弦长为 4 5 C．若 l与圆C相切，则 l的方程为 4y  D．若 l与圆C相交于 A，B两点，且 ABCV 为直角三角形，则 l的方程为 2 0x y   【答案】AC【难度】0.65【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、判断点与 圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于 A，将点 P的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于 B，求得圆心到直线 l的距离，再结合弦 长公式即可验算；对于 C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于 D，由题意得圆心C到 l的距离为 | | 2 2 AB  ， 故只需求出 l的斜率即可验算. 【详解】对于 A：因为 2 2(2 2) (4 2) 4    ，所以点 P在圆C上．所以 A 正确； 对于 B：若 l经过原点，设 l的方程为 y kx ，由 4 2k 得 2k  ，则 l的方程为 2 0x y  ． 圆 2 2: ( 2) ( 2) 4C x y    ，可得圆心 (2,2)C ，半径 2r  ． 圆心 (2,2)C 到直线 l的距离 2 2 2 4 1 d     2 5 5 ，所以弦长为 2 2 4 8 52 2 4 5 5 r d    ．所以 B 错误； 对于 C：因为点 P在圆C上， PC x 轴，所以直线 l的方程为 4y  ．所以 C 正确； 对于 D：因为 ABCV 为直角三角形，且 | | | | 2AC BC  ，所以 | | 2 2AB  ，则圆心C到 l的距离为 | | 2 2 AB  ． 由题意易得 l的斜率一定存在，所以可设 l的方程为 4 ( 2)y k x   ，即 2 4 0kx y k    ． 由 2 | 2 4 | 2 1k     ，解得 1k  或－1，故 l的方程为 2 0x y   或 6 0x y   ．所以 D 错误；故选：AC. 【变式 4-6】(多选)(25-26 高二上·全国·单元测试)已知圆 2( 1)x   2( 2) 4y   与直线 2 0x my m    ，下列 选项正确的是( ) A．直线过定点 ( 2,1) B．直线与圆必相交 C．圆截 y轴所得弦长为 2 3 D．直线被圆截得的最短弦长为 2 2 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】根据几何法：由半径 r、弦心距 d、弦长 l的一半构成直角三角形，所以利用 2 2 2 2 ld r      求解. 【详解】对于 A，由直线 2 0x my m    ，整理可得 ( 1)y m  2 0x   ， 第 18 页 共 60 页 令 1 0, 2 0, y x      解得 1, 2, y x    则直线 x  2 0my m   过定点 (2,1)，所以 A 错误； 对于 B，圆 2 2( 1) ( 2) 4x y    的圆心为 (1, 2)，半径 2r  ，由定点 (2,1)到圆心 (1, 2)的距离为 2 2(2 1) (1 2) 2 2 r      ，得直线与圆必相交(当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过 圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切)，所以 B 正确； 对于 C，由圆心为 (1, 2)，得圆心到 y轴的距离为 1，所以圆截 y轴所得弦长为 22 1 2 3r   ，所以 C 正确； 对于 D，当定点与圆心的连线垂直于直线 x my m   2 0 时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为 2 2(2 1) (1 2) 2d      ， 所以最短弦长为 2 22 2 4 2 2 2r d    ，所以 D 正确.故选：BCD. 题型 05 过圆内定点的弦长的最值 【典例 5-1】(23-24 高二上·广东江门·期中)过  1,1P 的直线与圆 2 2 4x y  相交，若使得相交弦长最短，则该 直线的方程为( ) A． 1 0y   B． 2 0x y   C． 0x y  D． 3 4 0x y   【答案】B【难度】0.65【知识点】直线的点斜式方程及辨析、判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长 最值(范围)【分析】由已知可判断点  1,1P 在圆内，圆 2 2 4x y  的圆心为A，当过点 P的直线与 PA垂直时， 所得弦的长度最短，通过求斜率即可求解. 【详解】因为 2 21 1 2 4   ，所以点  1,1P 在圆内， 圆 2 2 4x y  的圆心  0,0A ，当过点 P的直线与 PA垂直时，所得弦的长度最短， 因为过点A， P的直线的斜率为1， 所以所求直线的斜率为 1 ，故直线的方程为  1 1y x    ，即 2 0x y   .故选：B . 【典例 5-2】(24-25 高二下·河南商丘·阶段练习)直线 1 0mx y m    被圆 2 2 2 8 0x y x    截得的最短的弦 长为( ) A． 10 B． 2 3 C．4 D． 9 2 【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦、 直线过定点问题【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心 到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得 2 2 2( 1) 3x y   ，所以圆心为 ( 1,0) ，半径 3r  ， 因为直线 (1 ) 1y m x   ，所以直线过定点 (1,1)，因为定点和圆心的距离 2 2( 1 1) 1 5 3     ， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为 5 ， 所以弦长最短为 2 22 3 ( 5) 4  .故选：C. 【典例 5-3】(24-25 高二上·重庆渝中·阶段练习)直线 l过点  1,2 ，且与圆C：   2 22 4 10x y    相交所形 成的长度为 2 5 的弦的条数为( ) 第 19 页 共 60 页 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C【难度】0.65【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦 【分析】根据过圆内的弦长最长为直径，最短时点与圆心连线为弦心距求出范围即可判断. 【详解】由题设，圆C的圆心为  2,4 ，且半径 10r  ， 而    2 21 2 2 4 5 10     ，即点  1,2 在圆内，且圆心到该点的距离 5d  ， 当直线 l与  1,2 、  2,4 的连线垂直时，弦长最短为 2 22 2 5r d  ， 故长度为 2 5 的弦的条数为 1 条.故选：C 【典例 5-4】(24-25 高二上·重庆·阶段练习)已知圆 2 2: ( 2) ( 1) 5C x y    及直线    : 2 1 8 0l m x m y m      ，下列说法正确的是( ) A．圆C被 x轴截得的弦长为 2 B．直线 l过定点  3,2 C．直线 l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线 l的方程为 1 0x y   D．直线 l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线 l的方程为 5 0x y   【答案】D【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题 【分析】根据圆方程求得圆C与 x轴的交点坐标可得弦长为 4，即 A 错误，将直线 l整理可得其恒过定点  3, 2M  ，即 B 错误，又圆心  2, 1C  不在直线 l上，可得直线 l被圆C截得的弦长不存在最大值，即 C 错 误；当CM l 时，直线 l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线 l的方程为 5 0x y   ，即 D 正确. 【详解】对于 A，由圆C方程可得圆C与 x轴的交点坐标为  0,0 和  4,0 ， 因此圆C被 x轴截得的弦长为 4，即 A 错误； 对于 B，将直线    : 2 1 8 0l m x m y m      整理可得  1 2 8 0x y m x y      ； 由 1 0 2 8 0 x y x y        ，解得 3 2 x y     ，所以无论m为何值时，直线 l恒过定点  3, 2M  ，即 B 错误； 对于 C，易知圆 2 2: ( 2) ( 1) 5C x y    是以  2, 1C  为圆心，半径 5r  ， 易知圆心  2, 1C  不在直线 l上，又直线 l被圆C截得的弦长的最大值为直径， 所以可得直线 l被圆C截得的弦长不存在最大值，可得 C 错误； 对于 D，设直线 l与圆C交于点 ,A B，圆心C到直线 l的距离为 d，则弦长 2 2 22 2 5AB r d d    ， 由直线 l恒过定点  3, 2M  可得圆心C到直线 l的距离 d有最大值为    2 2max 2 3 1 2 2d CM       ， 此时直线 l被圆C截得的弦长存在最小值，满足CM AB ，如下图所示； 此时直线 l的斜率为1，其方程为 2 3y x   ，即 5 0x y   ,可得 D 正确；故选：D 第 20 页 共 60 页 【变式 5-1】(24-25 高二上·山东潍坊·期中)已知圆C： 2 2 4x y  ，直线 l： 1y kx k   ，若 l与C交于 ,A B两 点，则 AB 的最小值为( ) A． 2 B．2 C． 2 2 D． 2 3 【答案】C【难度】0.85【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题 【分析】求出直线 l过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线 l： ( 1) 1y k x   过定点 (1,1)P ，圆C： 2 2 4x y  的圆心 (0,0)C ，半径 2r  ， | | 2 2PC   ，即点 (1,1)P 在圆C内，当且仅当 PC l 时， | |AB 最短， 所以 | |AB 的最小值为 2 22 | | 2 2r PC  ；故选：C 【变式 5-2】(24-25 高二上·浙江杭州·期末)已知圆 2 2: ( 3) ( 4) 8C x y    ，直线 : 3 0l mx y m    ，若直线 l被圆C截得的弦长的最大值为 a，最小值为b，则 a b  ( ) A． 4 2 2 3 B． 4 2 3 C． 2 2 2 3 D． 2 2 3 【答案】A【难度】0.65【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题【分析】先求出直线 l过 定点  1,3A ，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线 l可化为  1 3 0m x y    ，则直线过定点  1,3A ， 点  1,3A 代入圆 2 2: ( 3) ( 4) 8C x y    可得    2 21 3 3 4 8    ，所以点A在圆C内， 又圆C半径 2 2r  ，圆心  3,4C ，    2 23 1 4 3 5AC      所以当 AC l 时，直线 l被圆C截得弦长最短，即 2 22 2 3b r AC   ， 当 l过圆心C时，直线 l被圆C截得弦长最长，即 2 4 2a r  ，所以 4 2 2 3a b   ，故选：A 【变式 5-3】(24-25 高二上·山东菏泽·阶段练习)直线 1 3 0mx y m    (其中mR )被圆    2 22 2 5x y    所 截得的最短弦长等于( ) A． 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 3 【答案】B【难度】0.65【知识点】过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点问题 【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解. 【详解】因为 1 3 0mx y m    可化为 ( 3) 1 0m x y    ，所以直线恒过定点  3,1M ， 由圆    2 22 2 5x y    知圆心  2,2C ，半径 5r  ， 由圆的几何性质知，当MC与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短， 此时弦长为 22 2 22 2 5 1 ( 1) 2 3r MC         ,故选：B 【变式 5-4】(21-22 高三上·山东德州·期末)已知圆 O： 2 2 9x y  ，直线 l：  2 ,ax by a b a b   R 与两坐 第 21 页 共 60 页 标轴交点分别为 M，N，当直线 l被圆 O截得的弦长最小时， MN  ( ) A． 3 5 2 B． 2 5 C． 5 5 2 D．3 5 【答案】C【难度】0.65【知识点】已知直线垂直求参数、求平面两点间的距离、过圆内定点的弦长最值(范 围)、直线过定点问题【分析】由题可得直线恒过定点  1,2P ，结合圆的性质可得直线 l OP 时，直线 l被 圆 O截得的弦长最小，进而可得 1 2 a b  ，再结合直线方程可得 M，N的坐标，即得. 【详解】∵直线 l：  2 ,ax by a b a b   R ，即    1 2 0a x b y    ， ∴直线恒过定点  1,2P ，又圆 O： 2 2 9x y  ， ∴由圆的性质可知直线 l OP 时，直线 l被圆 O截得的弦长最小， 此时 2,OP l ak k b    ， 1OP lk k   ，即 1 2 a b  ， 由直线 l：  2 ,ax by a b a b   R ，令 0x  ，可得 52 2 ay b    ，即 50, 2 M      ， 令 0y  ，可得 21 5bx a    ，即  5,0N ，∴ 2 2 5 5 55 2 2 MN        .故选：C. 【变式 5-5】(23-24高二下·广西南宁·期中)若直线 : 2 0l kx y k    与圆 2 2: 4 2 1 0C x y x y     交于 ,A B 两点，且直线 l不过圆心C，则当∆ABC的周长最小时，∆ABC的面积为( ) A． 2 B．2 C．4 D．3 2 【答案】B【难度】0.65【知识点】判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中 点弦、直线过定点问题【分析】由直线方程可得直线 l恒过定点 (1, 2)D ，由圆的几何性质可得当CD l 时， ∆ABC周长最小，由此可求 k的值，即而得出圆心到直线的距离及弦长，求出面积即可. 【详解】由 2 2: 4 2 1 0C x y x y     可得    2 22 1 4x y    ，故圆心  2,1C ，半径 2r  ， 直线 : 2 0l kx y k    的方程可化为  2 1y k x   ，所以直线 l恒过定点 (1, 2)D ， 因为 2 21 2 4 1 2 2 1 2 0         ；所以点D在圆内， 由圆的性质可得当CD l 时， AB 最小，∆ABC周长最小， 又 (2,1)C ， (1, 2)D ；所以 1CDk   ，此时 1k  ，即直线 : 1 0l x y   ， 所以圆心 (2,1)C 到直线 l的距离  22 2 1 1 2 1 1 d       ，所以 2 22 2 4 2 2 2AB r d     ， 所以 1 1 2 2 2 2 2 2ABC S AB d    △ ，故选：B 第 22 页 共 60 页 【变式 5-6】(多选)(23-24 高二上·海南三亚·期中)圆 2 2: ( 2) 4C x y   ，直线    : 1 2 1 0 Rl m x y m m      ．则( ) A．直线 l恒过定点  1,1 B．当 0m  时，圆C上恰有四个点到直线 l的距离等于 1 C．直线 l与圆C有两个交点 D．直线 l与圆C相交得到的最短弦长为 2 2 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、过圆内定点的弦 长最值(范围)、直线过定点问题【分析】对于 A：整理可得 ( 1) 2 1 0m x x y     ，进而分析定点；对于 B，分 析可知 1d  ，求圆心到直线的距离即可；对于 C：分析可知点  1,1 在圆C内部，即可判断直线与圆的位置 关系；对于 D：可知当圆心与点 ( 1,1) 连线垂直 l时弦长最短，进而求弦长. 【详解】对于 A，因为直线    : 1 2 1 0 Rl m x y m m      ，可得 ( 1) 2 1 0m x x y     ， 令 1 0 2 1 0 x x y       ，解得 1, 1x y   ，所以直线 l恒过点 ( 1,1) ，所以 A 正确； 对于 B，由圆 2 2: ( 2) 4C x y   ，可得圆心 ( 2,0)C  ，半径为 2r  ， 要使得圆C上恰有四个点到直线 l的距离等于1，则圆心到直线的距离 1d  ， 当 0m  时，直线 : 2 1 0l x y   ，可得圆心 ( 2,0)C  到直线 l的距离为 2 2 2 0 1 3 5 1 51 2 d        ，所以 B 错误； 对于 C，因为直线 l恒过点 ( 1,1) ，设为点A， 可得 2 2( 1 2) (1 0) 2 2AC r        ， 所以点A在圆C内部，所以直线 l与圆C有两个交点，所以 C 正确； 对于 D，当圆心与点 ( 1,1) 连线垂直 l时弦长最短，此时弦长为 222 2 2r AC  ，故 D 正确.故选：ACD. 题型 06 直线与圆位置关系中的最值 【典例 6-1】(24-25 高二上·广东广州·期中)已知圆 2 2: ( 2) 2M x y   ，直线 : 2 0  l x y ，点 P在直线 l上 运动，直线 ,PA PB分别与圆M 相切于点 ,A B，则四边形 PAMB的面积的最小值为( ) A． 2 3 B． 3 C． 4 D． 2 【答案】A【难度】0.85【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由方程确定圆心和半径，根据切线长 2 2d r  知当 PM l 时， PA最小，可确定最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心  2,0M  ，半径 2r  ， 四边形PAMB的面积 12 2 2 2PAM S S PA r PA     ， 则当 PA最小时，四边形 PAMB的面积最小， 点M 到直线 l的距离 2 0 2 2 2 2 d      ， 2 2 min 6PA d r   ，此时 min 2 3S  .故选：A 第 23 页 共 60 页 【典例 6-2】(多选)(2025·山东潍坊·一模)已知点  2,2P ，圆 2 2: 18C x y  ，则( ) A．点 P在C内 B．点 P与C上的点之间的最大距离为 6 2 C．以点 P为中点的弦所在直线的方程为 4 0x y   D．过点 P的直线被C截得弦长的最小值为 10 【答案】AC【难度】0.65【知识点】判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中 点弦、定点到圆上点的最值(范围)【分析】由圆与点的位置关系的判断确定 A，再由点与圆心距离加半径判 断 B，根据圆的性质求出弦所在直线斜率求出直线方程判断 C，由弦心距、半径、弦长的关系判断 D. 【详解】对于 A，因为 2 22 2 8 18   ，所以点 P在C内，故 A 正确； 对于 B，由 2 22 2 2 2, 3 2PC r    ，知点 P与C上的点之间最大距离为 2 2 3 2 5 2  ，故 B 错误； 对于 C，由 2 0 1 2 0OP k    ，知弦所在直线斜率 1k   ，故方程为  2 2y x    ，即 4 0x y   ，故 C 正确； 对于 D，当OP与过 P的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为 2 22 2 18 8 2 10r OP    ，故 D 错误. 故选：AC 【典例 6-3】(多选)(24-25 高二上·湖南·期中)对于直线  : 2 2 1 0l m x y m     与圆 2 2: 6 4 4 0C x y x y     ，下列说法正确的是( ) A．直线 l过定点  3,2 B．直线 l与圆C不可能相切 C．直线 l被圆C截得的弦长的最小值为 6 D．圆上一点到点  0, 2P  的最大距离为 8 【答案】BD【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最值(范围)、直线过定点 问题、定点到圆上点的最值(范围)【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断 A；判断直线过的定点在圆内 判断 B；当 l与点  2,3 和圆心  3,2 的连线垂直时， l被C截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断 C； 根据圆上一点到点 P的最大距离为CP r 可判断 D. 【详解】对于 A：  2 2 1 0m x y m     可变形为  2 2 1 0x m x y     ， 由 2 0 2 1 0 x x y       ，得 2 3 x y    ，所以直线 l过定点  2,3 ，故 A 不正确； 对于 B：圆 2 2: 6 4 4 0C x y x y     的标准方程为 2 2( 3) ( 2) 9x y    ，半径为 3， 由 2 2(2 3) (3 2) 2 9     ，所以点  2,3 在圆C的内部，所以 l与C相交，不会相切，故 B 正确； 对于 C：当 l与点  2,3 和圆心  3,2 的连线垂直时， l被C截得的弦长最小. 此时圆心  3,2 到直线 l的距离    2 2max 2 3 3 2 2d      ， 所以弦长的弦长最小值为 22 9 ( 2) 2 7  ，故 C 不正确； 第 24 页 共 60 页 对于 D：圆上一点到点  0, 2P  的最大距离为 2 2(0 3) ( 2 2) 3 8CP r      ，故 D 正确.故选：BD. 【典例 6-4】(多选)(23-24 高二上·广东深圳·期末)已知直线 : 2 4 0( )l mx y m m    R 与圆 2 2: 2 24 0D x y x    交于 A，B两点，则( ) A．圆 D的面积为 25π B．l过定点 (4, 2) C． ABD△ 面积的最大值为2 39 D． 4 3 10AB  【答案】ABD【难度】0.65【知识点】基本不等式求积的最大值、过圆内定点的弦长最值(范围)、由圆的一 般方程确定圆心和半径、直线过定点问题【分析】将圆的方程整理成标准式，得到圆心和半径，即可求解 圆面积判断 A，直线 l整理成关于m的方程，令其系数为 0，即可得出直线过的定点，判断 B；由 1 2ABD S AB d  ， 结合弦长公式与基本不等式，即可判断 C；分别求出过点T 的弦长 AB 的最大值和最小值，即可判断 D. 【详解】对于 A：圆 2 2: 2 24 0D x y x    即 2 2( 1) 25  x y 的圆心为 (1,0)D ， 半径 = 5r ，故圆 D的面积为 2π 5 25π  ，正确； 对于 B：将直线 : 2 4 0l mx y m    整理为：  4 2 0x m y    ， 令 4 0 2 0 x y      ，解得 4 2 x y    ，即直线 l过定点 (4, 2)T ，正确； 对于 C：定点 (4, 2)T 到圆心 (1,0)D 的距离    2 24 1 2 0 13TD      ， 设点D到直线 AB的距离为 d，则 13d  ， 则   2 2 2 2 2 21 1 25 252 25 2 2 2 2ABD d dS AB d r d d d d            ， 当且仅当 2 225 d d  ，即 5 2 2 d  时，等号成立，故 ABD△ 的面积的最大值为 25 2 ，错误； 对于 D：当直线 l与TD垂直时，弦 AB 的长度最小 22 min 2 4 3AB r TD   ， 当直线 l过圆心 (1,0)D 时，弦 AB 的长度最大 max 2 10AB r  ，所以可得 4 3 10AB  ，正确.故选：ABD 【变式 6-1】(24-25 高二上·江苏常州·阶段练习)已知点  1,0A  ，  0,1B ，点 P是圆  2 22 2x y   上任意一 点，则 PAB 面积的最小值为( ) A．2 B．1 C． 12 D． 3 2 2  【答案】C【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、直线与圆的位置关系求距离 的最值【分析】求出直线 AB的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点 P到直线 AB距离的最小 值即可求得面积最小值. 【详解】根据    1,0 0,1A B ， ，则直线 AB的方程为 1 1 1 x y    ，即 1 0x y   ， 又由  2 22 2x y   ，则圆心为  2,0 , 2r  ，则 2 1 3 2 22 d    ， 第 25 页 共 60 页 所以点 P到直线 AB的最小值 min 3 2 22 2 2 d    ，   minmin 1 1 2 12 2 2 2 2PAB S AB d     .故选：C 【变式 6-2】(21-22 高三上·浙江绍兴·期末)已知 ,M N为圆 2 2 2: 4 0C x y x y    上两点，且 4MN  ，点 P 在直线 : 3 0l x y   上，则    PM PN 的最小值为( ) A． 2 2 2 B． 2 2 C． 2 2 2 D．2 2 5 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量加法法则、圆的弦长与中点弦、求距离的最值 【分析】先求得线段MN中点D的轨迹，结合向量的横，圆与直线的位置关系可得 | |PM PN   的最小值． 【详解】设线段MN的中点为D，圆： 2 2 2: 4 0C x y x y    的圆心为 (1,2)C ，半径为 5 ， 则圆心C到直线MN的距离为 2 2 4( 5) 1 2       ，所以 1CD ，故点D的轨迹是以C为圆心，半径为 1 的圆， 设点D的轨迹为圆D，圆D上的点到直线 l的最短距离为 1 2 3 1 2 1 2 d       ． 所以 2 2 2 2 2PM PN PD d        ．故选:A. 【变式 6-3】(多选)(2024·福建南平·二模)已知圆C：    2 21 2 25x y    ，直线 l：      2 1 1 7 4 0m x m y m m      R ，则( ) A．直线 l过定点  3,1 B．圆C被 x轴截得的弦长为 4 5 C．当 2m   时，圆C上恰有 2 个点到直线 l距离等于 4 D．直线 l被圆C截得的弦长最短时， l的方程为 2 5 0x y   【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、过圆内定点的弦长最值(范围)、圆的弦长与中点 弦、直线过定点问题【分析】直线 l的方程变形为：  2 7 4 0x y m x y      ，令m的系数等于零，即可 判断 A；  1,2C 到 x轴的距离为 2，求出圆C被 x轴截得的弦长可判断 B；计算出当 2m   时，圆心到直线 的距离即可判断 C；当 PC l 时，弦长最短，即可判断 D. 【详解】对于 A，直线 l的方程变形为：  2 7 4 0x y m x y      ， 令 2 7 0 4 0 x y x y        ，解得 3 1 x y    ，所以直线 l恒过定点  3,1P ，故 A 正确； 对于 B，圆C的圆心  1,2C ，半径 = 5r ，  1,2C 到 x轴的距离为 2，所以圆C被 x轴截得的弦长为 2 22 5 2 2 21  ，故 B 错误； 对于 C，当 2m   时，直线 l：3 10 0x y   ， 此时圆心  1,2C 到直线 l的距离 3 2 10 1029 1d      ，而 105 4 2 r d    ， 所以当 2m   时，圆 C上恰有 2 个点到直线 l的距离等于 4，故 C 正确. 第 26 页 共 60 页 对于 D，当 PC l 时，弦长最短，此时 1 1 21 2 3 1 l CP k k        ，因为直线 l过定点  3,1P ， 所以 l的方程为：  1 2 3y x   ，化简为： 2 5 0x y   ，故 D 正确.故选：ACD. 【变式 6-4】(多选)(24-25 高二上·江西吉安·期末)已知点    3, 2 , , 2M a N a ，且点 P在直线 : 1 0l x y   上， 下列说法正确的是( ) A． PM PN 的最大值为 3 B．若线段MN与直线 l有交点，则 3 0a   C．当 3a  时，存在点 P，使得 PM PN D．当 1a  时， PMN 周长的最小值为 17 3 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】点关于直线的对称点、判断直线与圆的位置关系、已知直线垂直求参 数、求点到直线的距离【分析】易知 PM PN 的最大值为MN的长度，可得 A 正确，求得两直线交点坐 标得出不等式可得 B 正确，求出以MN为直径的圆方程可得 C 错误，利用点关于直线对称即可求得 D 正确. 【详解】对于 A，由点    3,2 , ,2M a N a 可知 ,M N两点的纵坐标相同， 即MN平行于 x轴，且MN的长度为 3，因此 PM PN 的最大值为MN的长度 3，即 A 正确； 对于 B，易知MN的方程为 2y  ,可知直线 : 1 0l x y   与 2y  的交点坐标为  3,2 ； 若线段MN与直线 l有交点，可得 3 3a a    ，解得 3 0a   ，即 B 正确； 对于 C，当 3a  时可得    0,2 , 3,2M N ，以MN为直径的圆方程为   2 23 92 2 4 x y        ， 显然圆心 3 ,2 2       到直线 : 1 0l x y   的距离为 9 9 32 2 4 22 d r    ， 即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点 P，使得 PM PN ，即 C 错误； 对于 D，当 1a  时    2,2 , 1,2M N ，设M 关于直线 : 1 0l x y   的对称点坐标为  ,a b ， 可得 2 1 2 2 2 1 0 2 2 b a a b           ，解得 3 1 a b     ，即  1 3,1M  ，如下图所示： 显然 PMN 的周长为 1 13 3 17 3MN PM PN PM PN NM         ，即 D正确.故选：ABD 【变式 6-5】(多选)(23-24 高二下·广东深圳·期末)已知点 ,A B为圆 2 2: 26O x y  上两动点，且 4 6AB  ， 点 P为直线 l : 10 0x y   上动点，则( ) A．以 AB为直径的圆与直线 l相离 B． APB 的最大值为 π 3 C． PA PB   的最小值为 8 D． 2 2PA PB 的最小值为 112 第 27 页 共 60 页 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、直线与圆的位置关系求距离的最值、判断直线与圆 的位置关系、求点到直线的距离【分析】对于 A，设 AB的中点为C，连接 ,OC AO，求出点C到直线 l的距 离的最小值进行判断，对于 B，举例判断，对于 CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可. 【详解】对于 A，设 AB的中点为C，连接 ,OC AO，则 1, 2 6 2 OC AB AC BC AB    ， 所以 2 2 26 24 2OC AO AC     ，所以点C在以O为圆心， 2为半径的圆上， 所以点C到直线 l的距离的最小值为 10 2 4 2 2   ， 因为 4 2 2 6 ，所以以 AB为直径的圆与直线 l相离，所以 A 正确， 对于 B，如图，当直线 AB与直线 l平行，且 , ,O C P共线时，则 ABP 为等腰三角形， 此时 4 2, 2 6, 2CP BC APB CPB     ， 则 2 6 3 3tan 2 34 2 BC CPB CP      ，所以 π 6 CPB  ，所以 π 3 APB  ，所以 B 错误， 对于 C，因为 ,PA PO OA PB PO OB          , 所以 ( ) ( )PA PB PO OA PO OB           2 ( )PO PO OA OB OA OB            2 2 cosPO PO OC OA OB AOB           2 22 (2cos 1)PO PO OC OA OB AOC            , 因为 min 10 5 2 2 OP   ， 所以 2 22 (2cos 1)PO PO OC OA OB AOC           2 2 2(5 2) 2 5 2 2 cosπ 26 [2 1] 26               1150 20 26 8 13           ， 当OP l ， , ,O C P共线，且C在 ,O P之间时取等号，所以 PA PB   的最小值为 8，所以 C 正确， 对于 D，因为 ,PA PO OA PB PO OB          ，所以 2 2 2 2 2 2 2 , 2PA PO OA PO OA PB PO OB PO OB                  ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 ( )PA PB PO OA OB PO OA OB               2 2 2 2 4PO OA OB PO OC          2 2 4 52PO PO OC       22 (5 2) 4 5 2 2 cos π 52      2 50 50 52 112     ， 当OP l ， , ,O C P共线，且C在 ,O P之间时取等号，所以 2 2PA PB 的最小值为 112，所以 D 正确， 故选：ACD 题型 07 判断两圆的位置关系 【典例 7-1】(24-25 高二上·新疆巴音郭楞·期末)圆 2 21 : 4C x y  与圆 2 2 2 : ( 1) ( 2) 9C x y    位置关系是( ) A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 第 28 页 共 60 页 【答案】D【难度】0.94【知识点】判断圆与圆的位置关系【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】 2 2 1 : 4C x y  的圆心和半径为  1 0,0C ， 2r  ， 2 2 2 : ( 1) ( 2) 9C x y    的圆心和半径为  2 1, 2C   ， 3R  , 故    2 21 2 1 2 5CC      ,1 5 5  ,故两圆相交，故选：D 【典例 7-2】(24-25 高二上·广东·期末)已知圆 2 21 : ( 1) ( 1) 4C x y    与圆 2 2 2 : ( 4) ( 5) 41C x y m     有三条 公切线，则m  ( ) A．5 B．16 C．32 D．36 【答案】C【难度】0.94【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得. 【详解】由 2 2 1 : ( 1) ( 1) 4C x y    可知圆心为 1(1,1)C ，半径为 2； 由 2 2 2 : ( 4) ( 5) 41C x y m     可知 41m  且圆心为 2 (4,5)C ，半径为 41 m . 因两个圆有三条公切线可知两圆外切， 即 2 21 2| | (4 1) (5 1) 5 2 41C C m        ，解得： 32m  .故选：C. 【典例 7-3】(2025·河北保定·模拟预测)在平面内与点  1,2A 距离为 1，与点  4,1B 距离为 2 的直线共有( ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 【答案】D【难度】0.85【知识点】圆的公切线条数、轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系 【分析】分析得到与点  1,2A 距离为 1，与点  4,1B 距离为 2的直线为以  1,2 为圆心 1 为半径的圆和以  4,1 为圆心 2 为半径的公切线，根据两圆的位置关系得到公切线的条数. 【详解】∵在平面内与点  1,2A 距离为 1 的直线的是以  1,2 为圆心 1 为半径的圆的切线， 同理可得与点  4,1B 距离为 2 的直线是以  4,1 为圆心 2 为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， 2 2(1 4) (2 1) 10 1 2AB        ， 两圆的位置关系为外离，公切线有 4 条，故满足条件的直线有 4 条.故选：D 【变式 7-1】(24-25 高二上·广东广州·期末)已知圆 2 21 : 9C x y  ，圆 2 2 2 : ( 4) ( 3) 4C x y    ，则圆 1C 与圆 2C 的位置关系是( ) A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】先分别找出两圆的圆心坐标和半径，再计算圆心距，最后根据比较结果得出两圆位置关系. 【详解】对于圆 1C ：方程为 2 2 9x y  ，其圆心 1(0,0)C ，半径 1 9 3r   . 对于圆 2C ：方程为 2 2( 4) ( 3) 4x y    ，其圆心 2 (4,3)C ，半径 2 4 2r   . 根据两点间距离公式，则圆心距 2 2(4 0) (3 0) 16 9 25 5d         . 两圆半径之和 1 2 3 2 5r r    .因为圆心距 5d  ，恰好等于两圆半径之和 1 2 5r r  . 第 29 页 共 60 页 所以圆 1C 与圆 2C 的位置关系是外切.故选：B. 【变式 7-2】(2025·河南·模拟预测)圆 2 2 2 2 1 0x y x y     与圆 ² ² 4 6 9 0x y x y     的位置关系是( ) A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断圆与圆的位置关系【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心 和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆 2 2 2 2 1 0x y x y     即    2 21 1 1x y    ，圆心为  1,1 ，半径为1； 圆 ² ² 4 6 9 0x y x y     即    2 22 3 4x y    ，圆心为  2, 3  ，半径为 2； 圆心距为    2 21 2 1 3 5    ，因为5 1 2  ，所以两个圆外离.故选：B 【变式 7-3】(23-24 高二上·重庆·阶段练习)已知圆  2 21 : 2 1 0 RC x y x my m      的面积被直线 2 1 0x y   平分，圆    2 22 : 2 3 25C x y    ，则圆 1C 与圆 2C 的位置关系是 ( ) A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系【分析】由题意 可得圆心 1C 位于直线 2 1 0x y   上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆  2 21 : 2 1 0 RC x y x my m      关于直线 2 1 0x y   对称， 圆心 1 1, 2 mC      在直线 2 1 0x y   上， 1 1 0m    ， 2m  ， 圆 2 21 : 2 2 1 0C x y x y     ，即 2 2( 1) ( 1) 1x y    ，圆心为  1 1, 1C  ，半径为 1 1r  ． 圆 2C 的标准方程是 2 2( 2) ( 3) 25x y    ，圆心  2 2,3C  ，半径 2 5r  ， 所以    2 21 25 1 2 1 3 1 5 5 1CC          ， 所以圆 1C 与圆 2C 的位置关系是相交．故选：B. 【变式 7-4】(24-25 高三下·辽宁·期中)圆 2 21 : ( 1) ( 1) 2C x y    与圆    2 22 : 2 2 2 4 4 0C x ax y a y a a       的公切 线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】圆的公切线条数、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆 2C 的方程等价于 2 2 2( ) ( 2) 2x a y a a     ，所以圆 2C 是以  , 2a a 为圆心， 2a 为半径的圆， 圆 1C 是以  1,1 为圆心， 2为半径的圆，所以圆 1C ，圆 2C 的圆心距为 2 2( 1) ( 1) 2(1 )a a a     ， 圆 1C ，圆 2C 半径之和为    2 2 2 1a a    ，即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆 1C ，圆 2C 有 3 条公切线．故选：C 【变式 7-5】(24-25 高二下·四川南充·阶段练习)记  ,H P  表示点 P到曲线上任意一点距离的最小值．已知 圆 2 2 1 : ( 3) 1O x y   ，圆 2 2 2 : ( 4) 4O x y   ，若点M 为圆 1O 上的一点，则  2,H M O 的最大值为( ) 第 30 页 共 60 页 A．4 B．5 C．8 D．3 【答案】A【难度】0.65【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、判断圆与圆的位置关系 【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得. 【详解】由圆 2 2 1 : ( 3) 1O x y   ，得圆心  1 0,3O ，半径 1 1r  ， 由圆 2 2 2 : ( 4) 4O x y   ，得圆心  2 4,0O ，半径 2 2r  ， 因为 1 2 1 25OO r r   ，所以两圆外离， 因为点M 为圆 1O 上的动点，所以  2 2 2,H M O MO r  ， 所以  2,H M O 的最大值为 21 2 1 5 1 2 4O r rO       .故选：A. 【变式 7-6】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知圆 2 21 : 2 4 7 0C x y x y     和圆 2 2 2 : ( 3) ( 1) 12C x y    交 于两点，点 P在圆 1C 上运动，点Q在圆 2C 上运动，则下列说法正确的是( ) A．圆 1C 和圆 2C 关于直线8 6 5 0x y   对称 B．圆 1C 和圆 2C 的公共弦长为 2 23 C． PQ 的取值范围为 0,5 2 3   D．若M 为直线 8 0  x y 上的动点，则 PM MQ 的最小值为 109 4 3 【答案】D【难度】0.4【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围、 判断圆与圆的位置关系【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断 A，利用等等这些距离公式结合 勾股定理可判断 B，由题意可知，当点 P和Q重合时，| |PQ 的值最小，当 P，Q， 1C ， 2C 四点共线时，| |PQ 的值最大，进而可判断 C，求出 1C 关于直线 8 0  x y 对称点A的坐标，再结合两点间距离公式可判断 D. 【详解】对于 A， 2 21 : 2 4 7 0C x y x y     和圆 2 2 2 : ( 3) ( 1) 12C x y    ， 圆心和半径分别是    1 2 1 21,2 , 3, 1 , 2 3, 2 3C C R R    ，则两圆心中点为 11, 2      ， 若圆 1C 和圆 2C 关于直线8 6 5 0x y   对称，则直线是 1 2C C 的中垂线， 但两圆心中点 11, 2      不在直线8 6 5 0x y   上，故 A 错误； 对于 B， 1C 到直线8 6 5 0x y   的距离 8 12 5 5 10 2 d     ，故公共弦长为 2 2 52 (2 3) 23 2       ，B 错误； 对于 C，圆心距为 2 2(1 3) (2 1) 5    ，当点 P和Q重合时， PQ 的值最小， 当 1 2, , ,P Q C C 四点共线时， PQ 的值最大为5 4 3 ，故 PQ 的取值范围为 0,5 4 3  ，C 错误； 对于 D，如图，设 1C 关于直线 8 0  x y 对称点为  ,A m n ， 则 2 1, 1 1 2 8 0, 2 2 n m m n            解得 6, 9, m n     即 1C 关于直线 8 0  x y 对称点为  6,9A  ， 连接 2AC 交直线于点M ，此时 PM MQ 最小， 1 2 24 3 4 3PM MQ MC MC C A         2 26 3 9 1 4 3 109 4 3        ，