2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 第二章 2.1　直线的倾斜角与斜率 学习目标 1.理解并掌握两条直线平行、垂直的条件. 2.会用条件判断两直线是否平行或垂直. 3.会用两直线平行或垂直时的斜率关系解决几何问题. 索引 一、两条直线平行的判定 二、两条直线垂直的判定 三、平行、垂直的综合应用 学习安排 问题1 平面中两条平行直线它们的倾斜角有什么关系?如果倾斜角相同,两条直线有什么关系? 提示　两条平行直线被x轴所截,它们的倾斜角是一对同位角,则倾斜角相等,反之也成立. 问题2 由正切函数的单调性,我们知道当k1=k2时有α1=α2,那么是否意味着k1=k2时,一定有l1∥l2?反过来呢? 提示　当k1=k2时,倾斜角α1=α2,两直线平行;而当两直线平行时,不一定有k1=k2,因为α1=α2=90°时,斜率不存在. 一、两条直线平行的判定 3 1.两条直线的斜率都存在时,两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1,k2的两条不重合直线l1,l2,有l1∥l2⇔_________. 2.特殊情况下的两条直线平行的判定 若两条直线中有一条直线没有斜率,则当另一条直线____________时,即两条直线的倾斜角都为______时,它们互相平行. 知识点梳理 k1=k2 也没有斜率 90° 温馨提醒 (1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合. (2)若直线l1,l2重合,此时仍有k1=k2或斜率不存在.用斜率证明三点共线时,常用到这个结论. 4 (链接教材P58T5)根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1经过点A(2,3),B(-4,0);l2经过点M(-3,1),N(-2,2); (2)l1平行于y轴;l2经过点P(0,-2),Q(0,5); (3)l1经过点E(0,1),F(-2,-1);l2经过点G(3,4),H(2,3). 例1 (1)∵kAB==,kMN==1,kAB≠kMN,∴l1与l2不平行. (2)由题意知,l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,∴l1∥l2. (3)由题意知,k1==1,k2==1, ∴k1=k2,∴l1与l2平行或重合, 又kFG==1,∴E,F,G,H四点共线,∴l1与l2重合. 例题探究 5 问题3 平面中,两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则两条直线的方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论? 提示　l1⊥l2⇒a·b=0⇒k1·k2=-1. 二、两条直线垂直的判定 6 两条直线垂直,有以下结论 (1)若直线l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔_________. (2)若直线l1与l2中有一条直线的斜率________,另一条直线的斜率为0,则l1⊥l2. 知识点梳理 k1k2=-1 不存在 温馨提醒 (1)若k1=0且k2不存在,则一定有l1⊥l2;若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2;若k1k2≠-1,则l1,l2不垂直. (2)若两条直线是垂直关系,那么在斜率都存在的情况下,可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 7 (链接教材P58T6)判断下列各小题中l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2);l2经过点M(-2,-1),N(2,1); (2)l1的斜率为-10;l2经过点A(10,2),B(20,3); 例2 (1)∵k1==2,k2==, k1k2=1,∴l1与l2不垂直. (2)∵k1=-10,k2==, k1k2=-1,∴l1⊥l2. 例题探究 8 (3)l1经过点A(3,4),B(3,10);l2经过点M(-10,40),N(10,40). 由A,B的横坐标相等得 l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴. k2==0,则l2∥x轴,∴l1⊥l2. 9 (链接教材P56例3、P57例5)已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3), D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判定四边形ABCD的形状. 例3 A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图. 由斜率公式可得kAB==,kCD==,kAD==-3, kBC==-,∴kAB=kCD, 由图可知AB与CD不重合,∴AB∥CD. 三、直线平行、垂直的综合应用 由kAD≠kBC,∴AD与BC不平行. 又kAB·kAD=×(-3)=-1,∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 反思总结 利用两条直线平行或垂直判定平面几何图形形状的步骤 课堂即时练 1.(多选)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为 当a≠0时,由k1·k2=-1知,k2=-; A. B.- C.a D.不存在 当a=0时,l2的斜率不存在. √ √ 13 课堂即时练 2.已知两点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角,则点P的坐标为　　　　　　　　 .  设P点坐标为(x0,0),则kPM=, (1,0)或(6,0) kPN=,由于∠MPN=90°, 故kPM·kPN=-1,即·=-1, 解得x0=1或x0=6,故P点坐标为(1,0)或(6,0). 14 课堂即时练 3.(多选)已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,则点A的坐标可以为 A.(1,-1) B. C. D. √ 若∠A=∠D=90°, 又kCD=0,所以A(1,-1). 如图①,由题可知AB∥DC,AD⊥CD, √ 15 课堂即时练 若∠A=∠B=90°,如图②. 设A(a,b),则kBC=-3,kAD=,kAB=. 由AD∥BC,得kAD=kBC,即=-3. 由AB⊥BC,得kAB·kBC=-1, 16 课堂即时练 解得故A. 综上所述,点A的坐标为(1,-1)或.故选AC. 17 课堂小结 1.知识清单 （1）两直线平行的判定 （2）两直线垂直的判定 （3）两直线平行、垂直的应用 2.常见误区： 研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 课后作业 1、完成课后习题P57-58的课后习题 2、完成学校发的习题资料（大小本） $$