1.2.1 课时2 空间中两条直线所成的角 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中两条直线所成的角及异面直线公垂线段，从相交直线角定义导入，通过方向向量建立联系，构建从平面到空间的知识支架。 其亮点是以向量为工具，结合正四面体、正三棱柱实例，用数学思维揭示线线角与方向向量夹角的逻辑关系，归纳“向量问题—运算—回到图形”步骤，培养数学语言表达能力，助力学生发展空间观念，教师教学更高效。

1.2.1 课时2 空间中两条直线所成的角 第一章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间中两条直线所成的角. 2.了解空间中两条异面直线的公垂线段. 学习目标 作者编号：32200 两条相交直线所成的角如何定义？ 两条相交直线成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角) 异面直线所成的角如何定义？ 已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). α a b a' b' θ 问题导入 … … … 作者编号：32200 讨论：空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角一定相等吗？ 不一定相等. 若两条直线的方向向量的夹角〈v1，v2〉∈[0，]，则两条直线所成的角等于它们的方向向量的夹角. θ =〈v1，v2〉 v1 v2 〈v1，v2〉 θ θ =π-〈v1，v2〉 v1 v2 〈v1，v2〉 θ 若〈v1，v2〉∈]， 则两条直线所成的角为π-〈v1，v2〉. 新知探究 … … … 作者编号：32200 空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为 . ②θ＝ 或θ＝ . ③sin θ＝ 或cos θ＝ . ④l1⊥l2⇔ ＝⇔ . 〈v1，v2〉 π－〈v1，v2〉 sin〈v1，v2〉 |cos〈v1，v2〉| v1·v2＝0 知识梳理 作者编号：32200 A B C D N M 直线AM和CN夹角的余弦值 直线和夹角的余弦值 例1 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别是BC,AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值. 新知探究 … … … 作者编号：32200 第1步：化为向量问题 第2步：进行向量运算 第3步：回到图形问题 所以，直线AM和CN夹角的余弦值为. 设向量与的夹角为，则直线AM和C N夹角的余弦值等于 . 新知探究 … … … 作者编号：32200 用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求两直线，的方向向量 的夹角 ③两条直线，夹角的余弦值 归纳总结 作者编号：32200 讨论：设v1，v2分别是空间中直线，l1，l2的方向向量. (1)如果l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗？ (2)如果v1与v2不平行，那么l1与l2一定异面吗？ l1与l2异面 l1与l2相交 v1与v2不平行 “v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的 条件 必要不充分 新知探究 … … … 作者编号：32200 如图所示，如果A∈l1，B∈l2， “v1与v2，不共面”是“l1与l2异面”的 条件. l1与l2异面 v1与v2，是不共面 充要 新知探究 … … … 作者编号：32200 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 异面直线间的距离 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，求异面直线BA1与CB1的距离. 解:如图所示，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，C(-1，0，0)，A1(1，0，2)，B1(0，，2). 假设MN为BA1与CB1的公垂线段， 即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1， 令 设M(x，y，z)，∴ 新知探究 … … … 作者编号：32200 ∴， ∴ 又MN⊥BA1，MN⊥CB1，∴⊥，⊥， 可以解得M的坐标为， 同理可求N的坐标为， 解得 ∴ ∴异面直线BA1与CB1的距离为| 作者编号：32200 归纳总结 两条异面直线的公垂线段有且仅有一条，当公垂线不便寻找时，利用几何知识很难找到.利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单. 求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N. 作者编号：32200 1.直线与直线的夹角 2.异面直线的充要条件 “v1与v2，不共面 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝( ) A.－2 B.2 C.6 D.10 2.已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝____________. D 60°或120° 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于________. 4.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为( ) B 当堂检测 … … … 作者编号：32200 〈v1，v2〉＝ ∴ A.eq \f(1,14) B.eq \f(\r(2),14) C.eq \f(\r(3),14) D.eq \f(1,7) $$