精品解析：2025—2026学年九年级上学期北师大版数学入学考试模拟试卷

北师大版2025-2026学年九年级上册数学入学考试模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置 ，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代象形文字．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【点睛】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是A选项， 故选：A 2. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义．因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程，根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、等号右侧不是整式积的形式，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、等号右侧不是整式积的形式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如果，那么下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，正确； C．∵，∴，故不正确； D．∵，∴，故不正确； 故选B． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同个三角形中，等边所对的角相等 B. 若，则 C. 平行四边形的对角线相等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 根据等腰三角形的性质，有理数的乘方运算及平行四边形的性质、角平分线的性质逐项分析． 【详解】解：A、同个三角形中，等边所对的角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、若，则，故正确，是真命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，是假命题，符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意； 故选C． 5. 将方程去分母，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，利用了等式的基本性质，等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等． 根据等式的基本性质求解即可． 【详解】解：解方程， 方程两边同乘以6得：， 故选：D． 6. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ） A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角 C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时， 第一步先假设三角形中有两个内角是直角， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 7. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意， 故选:D． 【点睛】本题考查平行四边形判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键． 8. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先利用直线的解析式确定点的坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 当时，， 故选：A． 9. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．给出以下多边形：①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，能进行平面图形的镶嵌的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：①等边三角形的内角和是，，能镶嵌； ②正方形的内角和是，能镶嵌； ③正五边形的每个内角是，不能镶嵌； ④正六边形的每个内角是，，能镶嵌； 故选：B． 10. 如图，在中，，，将沿方向平移4个单位得到，则重叠阴影部分的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质以及平移的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质和平移的性质是解题的关键． 由平移的性质得，，证出是等腰直角三角形，得出，由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，设交于点, 等腰直角中，，， ，， 由平移的性质得：，， ，，， 是等腰直角三角形， ， 重叠阴影的面积． 故选：B． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 正五边形外角和等于 _______◦． 【答案】360 【解析】 【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 12. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答． 【详解】解：， ， 绕点旋转得到， ， ， ， ∴旋转角的度数， 故答案为：50． 14. 当时，分式的值为0，则x=_____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入分式，然后根据分式值为零即分子为零，分母不为零进行计算即可． 【详解】解：将代入可得：， ∵， ∴，解得：， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 15. 如图，在中，平分，，垂足为点D，交于点G，E为的中点，连接，cm，cm，则的长为__cm． 【答案】9 【解析】 【分析】可证，可得，，可证是的中位线，即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中 ， ()， ，， E为的中点， 是的中位线， ， ()， 故答案：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，掌握判定方法及性质定理是解题的关键． 16. 如图，，，点是射线上的任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据垂线段最短得：当时，最短，利用平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于O，如图， 当时，最短， ∵平行四边形 ∴，， ∴此时，最短， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， 则不等式组的解集是：． 【点睛】此题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，利用此规律得出不等式的解集是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： = = 当时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的减法运算以及除法运算法则． 19. 如图，在直角坐标系内，已知点． （1）请画出由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的，则平移的距离为 ； （2）请画出关于原点O对称的图形，则点的坐标为 ． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）按照平移方式分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可得到，利用勾股定理求出平移的距离； （2）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，顺次连接即可得到，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，则平移的距离为， 故答案为： 【小问2详解】 如图所示，即为所求，点的坐标为， 故答案为： 【点睛】此题考查了平移作图、中心对称图形的作图、勾股定理等知识，熟练掌握平移作图、中心对称图形的作图是解题的关键． 20. 通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式的值为正数时，应满足什么条件？ 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）由已知得，再根据分式化简的步骤求解即可； （2）由已知得，由分式的性质得到，据此求解即可； （3）由题意得到或，结合，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵分式的值为正数时， ∴或， 又∵， ∴或， 解得． 21. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道． （1）为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，预计每天工作效率比原计划增加，这样可提前30天完成任务，求原计划每天需要铺设多长管道？ （2）按原计划工作效率施工，每天需要支付1.2万元施工费；按增效施工，每天需支付2万元施工费，在（1）结论下，若完成工程所需施工费用不超过236万元，求按原计划工作效率施工至少多少天？ 【答案】（1）20米 （2）按原计划工作效率施工至少10天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）设原计划每天需要铺设x米长管道，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设按原计划工作效率施工m天，则增效施工天，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划每天需要铺设x米长管道，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天需要铺设20米长管道； 【小问2详解】 解：设按原计划工作效率施工m天，则增效施工天，根据题意得： ， 解得：， 答：按原计划工作效率施工至少10天． 22. 在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论； （2）先由证得，得出，由平行四边形的性质得，，设，则，再由勾股定理求出，，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ， ，延长到， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，，，求的长； （2）连接、，判断四边形的形状，并证明； （3）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据中心对称的性质得出； （2）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出垂直平分，证明四边形为菱形； （3）证明，得出，根据，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵点O为平行四边形的对称中心， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问3详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 24. 已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． （1）求的长； （2）点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； （3）在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形 【解析】 【分析】（1）先求出，由折叠的性质可知，再利用勾股定理求解即可． （2）过作交直线于，分在线段上和在的延长线上两种情况讨论求解即可． （3）分当以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形是平行四边形的边时，当四边形是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点坐标为， ，， 由折叠的性质得：， ． 小问2详解】 过作交直线于，则， 由题意得：， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． ①当点在线段上时，如图所示： 的面积的面积的面积； ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 的面积的面积的面积； 综上所述，． 【小问3详解】 存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 由（1）（2）得：，，，，， ， ∴，，， 设直线的解析式为， 由题意得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， ①当是以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，连接， 则对角线与互相平分，如图所示： 平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ， 解得：， ∴，； ②当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ∴，； ③当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ，； 综上所述，存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 25. 已知，在中，，点为边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接． （1）如图，当时， ①求证：； ②当的周长取最小值为时，求的周长； （2）如图，当，时，若，求的值． 【答案】（1）①详见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得：根据旋转的性质得，，利用"SAS"证明得到：，，根据勾股定理即可求解； ②由知为等腰直角三角形，进而得到：，易知当有最小值时，的周长最小，即当时，的周长最小，求出AB、BC、AC的长度，即可求解； （2）根据旋转的性质得：，，根据证明得，从而，过点作于点，设，根据30度角的性质和勾股定理分别求出，，进一步表示出，，进而可求出的值． 【小问1详解】 解：①连接． ，， ， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ∵， ， ， ，， ， ， ； 解：由知为等腰直角三角形， ， 的周长为， 有最小值时，的周长最小， ， ， 当时，的周长最小， ，， ， ， 的周长为； 【小问2详解】 解：将线段绕点按顺时针方向旋转得到， ，， ， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ，． 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版2025-2026学年九年级上册数学入学考试模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．笞卷前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置 ，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代象形文字．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同个三角形中，等边所对的角相等 B. 若，则 C. 平行四边形的对角线相等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 5. 将方程去分母，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ） A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角 C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角 7. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，直线与直线与 (为常数，)相交于点，则关于不等式的解集为（　） A. B. C. D. 9. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．给出以下多边形：①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，能进行平面图形的镶嵌的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，在中，，，将沿方向平移4个单位得到，则重叠阴影部分的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 正五边形的外角和等于 _______◦． 12. 因式分解：=______． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到位置，使，则旋转角的度数为______度． 14. 当时，分式的值为0，则x=_____． 15. 如图，在中，平分，，垂足为点D，交于点G，E为的中点，连接，cm，cm，则的长为__cm． 16. 如图，，，点是射线上的任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连，则线段的最小值为_______． 第II卷 三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，直角坐标系内，已知点． （1）请画出由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的，则平移的距离为 ； （2）请画出关于原点O对称的图形，则点的坐标为 ． 20. 通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式的值为正数时，应满足什么条件？ 21. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道． （1）为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，预计每天工作效率比原计划增加，这样可提前30天完成任务，求原计划每天需要铺设多长管道？ （2）按原计划工作效率施工，每天需要支付1.2万元施工费；按增效施工，每天需支付2万元施工费，在（1）结论下，若完成工程所需施工费用不超过236万元，求按原计划工作效率施工至少多少天？ 22. 在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，求四边形的面积． 23. 如图，点O为平行四边形对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，，，求的长； （2）连接、，判断四边形的形状，并证明； （3）求证：． 24. 已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． （1）求的长； （2）点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； （3）在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知，在中，，点为边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接． （1）如图，当时， ①求证：； ②当的周长取最小值为时，求的周长； （2）如图，当，时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$