学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（苏科版九年级上册第1章～第2章）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B B B B 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题2分，共20分） 7． 8．P在内 9． 10．1 11． 12． 13． 14．或 15．3或2.4 16． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴， ∴；...................3分 （2）解：， ∴， ∴....................7分 18． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是；...................4分 （2）证明：， ， ， ．...................7分 19． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； ...................4分 （2）解：由（）图可知，圆心坐标为， 故答案为：．...................8分 20． 【详解】（1）解：不是“倍根方程”，理由如下： ， 解得：， 所以不是“倍根方程”；...................3分 （2）解：是“倍根方程”，理由如下： 证明：∵点在双曲线上， ，且， ∴方程化为方程， 解得：， ， ∴方程是“倍根方程”．...................8分 21． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ；...................4分 （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为．...................8分 22． 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，；...................2分 类比运用： ①证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；...................5分 ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 解得：．...................8分 23． 【详解】（1）解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为．...................3分 （2）解：不能．理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元．...................8分 24． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，．...................2分 （2）①证明：、、分别与相切于点、、， ∴同上可得：、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线．...................5分 ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． ...................8分 25． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为；...................2分 （2）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴；...................5分 ②由①可得， ∴点在直线上， 如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴．...................8分 26． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即...................4分 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为...................9分 27． 【详解】（1）∵四边形是 “近似矩形”，，，， ∴， ∴；...................3分 （2）解：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ，记交于点， ， 设， ， ， ， ， ；...................7分 ②证明：由①同理可知，，， ， ， 四边形是“近似矩形”．...................9分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 7．__________ 8．___________ 9．___________ 10．___________ 11．__________ 12．__________ 13．___________ 14．___________ 15．__________ 16．___________ 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 11 小 题 ， 17,18 每 小 题 7 分 ， 19,20,21,22,23,24,25每小题 8分，26,27每小题 9分，共 88分．解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（7分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 21．（8分） 22.（8分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8分） 26．（9分） 27．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系． 连接，可知，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 4．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A．8 B．16 C．32 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．连接，先求得，再利用垂径定理和勾股定理求得即可求解． 【详解】解：连接， ∵的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．”是解题的关键．根据题意当时，方程为，有实数根，当时，得出，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，方程为，有实数根， 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 综上，k的取值范围是， 故选：B． 6．已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是（m）， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ∴圆心O所经过的路线长是：（m）， 故选：B． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题2分，共20分） 7．一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 8．若的半径为，点P到圆心的距离为，则点P与的位置关系是 ． 【答案】P在内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，利用点和圆的位置关系的相关知识解答．根据题意可知，点到圆心的距离小于半径，然后即可得到点P与的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心的距离为，， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故答案为：P在内． 9．母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式 ，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据圆锥的侧面积公式进行作答，然后即可求解； 【详解】解：∵圆锥的侧面积公式 ，圆锥母线长为，底面圆的半径为 ∴， 故答案为：； 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 11．如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理；根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 是直径， ，则 ， 故答案为：． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【详解】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新运算和解一元二次方程的应用，解此题的关键是得出关于x的一元二次方程，题目比较好，难度适中．先阅读新运算，根据新运算得出，求出方程的解即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 15．如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或2.4 【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键． 【详解】解：连接， ①当点与点重合时，为， 设圆的半径， ∴，， ∵， 在中，根据勾股定理可得：， 解得：， 即； ②当时，过点作于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 16．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k的不等式，进而求出k的范围，于是得到结论． 【详解】解：∵现有一个长为3，宽为2的矩形， ∴它的周长，面积， ∴它的“k倍”矩形的面积，周长， 设它的“k倍”矩形的长为x，则宽为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍， ∴即：， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再利用配方法求解即可； （2）把方程化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴. 18．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 19．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）利用正方形的性质画出线段的垂直平分线，与线段的垂直平分线的交点即为圆心； （）根据（）图写出点的坐标即可； 本题考查了垂径定理，坐标与图形，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：由（）图可知，圆心坐标为， 故答案为：． 20．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是否是“倍根方程”，并说明理由； (2)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的一元二次方程是否是“倍根方程”？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2)是，理由见详解 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）先转化一元二次方程求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：不是“倍根方程”，理由如下： ， 解得：， 所以不是“倍根方程”； （2）解：是“倍根方程”，理由如下： 证明：∵点在双曲线上， ，且， ∴方程化为方程， 解得：， ， ∴方程是“倍根方程”． 21．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)的半径为 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形性质和判定，掌握定理是解决问题的关键． （1）连接，先证明，可推出，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接，设，得出，表示出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出列方程即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于E，于F， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如图，连接，设，则， ∴， ∴， 于E，， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）． 即的半径为． 22．【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】材料理解：，；类比运用：①见解析；② 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 材料理解：根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； 类比运用：①证明即可；②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【详解】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； 类比运用： ①证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 解得：． 23．在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为 (2)日销售利润不能达到元，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，利用月销售量月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）解：不能．理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元． 24．（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）①见解析；②半径是，阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， ∴同上可得：、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 25．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用因式分解法解方程可得，，再结合定义即可得解； （2）①先解方程得出，再代入直线，计算即可得解；②由①可得点在直线上，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； ②由①可得， ∴点在直线上， 如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 26．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 27．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先根据新定义得出，再根据勾股定理计算即可； （2）①利用直径所对的圆周角为直角，得到，结合角平分线定义证明，推出，，利用弧、弦、圆心角之间的关系推出，设，结合，记交于点，得到，，再根据整理，即可得解； ②由①知，，，结合等腰三角形性质，“近似矩形”定义，即可证得结论． 【详解】（1）∵四边形是 “近似矩形”，，，， ∴， ∴； （2）解：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ，记交于点， ， 设， ， ， ， ， ； ②证明：由①同理可知，，， ， ， 四边形是“近似矩形”． / 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 4．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A．8 B．16 C．32 D． 5．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 6．已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题2分，共20分） 7．一元二次方程的一次项系数是 ． 8．若的半径为，点P到圆心的距离为，则点P与的位置关系是 ． 9．母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是 ． 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 11．如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦 ． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 13．如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 14．对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则 ． 15．如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 16．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 19．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 20．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是否是“倍根方程”，并说明理由； (2)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的一元二次方程是否是“倍根方程”？请说明理由． 21．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 22．【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 23．在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 24．（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 25．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 26．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 27．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点C是的中点，点D在优弧上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 4．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A．8 B．16 C．32 D． 5．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 6．已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题有10个小题，每小题2分，共20分） 7．一元二次方程的一次项系数是 ． 8．若的半径为，点P到圆心的距离为，则点P与的位置关系是 ． 9．母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是 ． 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 11．如图，已知四边形内接于，是直径，，，则弦 ． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 13．如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 14．对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则 ． 15．如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 16．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 19．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 20．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是否是“倍根方程”，并说明理由； (2)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的一元二次方程是否是“倍根方程”？请说明理由． 21．如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 22．【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 23．在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 24．（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 25．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 26．【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 27．定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 2、 填空题（每小题3分，共18分） 7．__________ 8．___________ 9．___________ 10．___________ 11．__________ 12．__________ 13．___________ 14．___________ 15．__________ 16．___________ 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（7分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8分） 26．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$