2.1.1 倾斜角与斜率课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 第二章 2.1 直线的倾斜角与斜率 学习目标 1.了解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率. 索引 一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 三、倾斜角和斜率的应用 学习安排 问题1 在平面内,我们如何才能确定一条直线? 提示 两点确定一条直线,一个点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2 在平面直角坐标系中,规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向.如图中过点P的直线l1,l2,l3,l'的方向不同,我们该如何区分它们的方向呢? 提示 这些直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同,我们可以用图中的角 1, 2, 3, '进行区分. 一、直线的倾斜角 3 1.直线倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,我们以_为基准,x轴_与直线l_的方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角. 2.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为_,因此直线倾斜角的取值范围是_,具体如下: 知识点梳理 x轴 正向 向上 0 { |0 ≤ <180 } 倾斜角 =0 0 < <90 =90 90 < <180 直线 与x轴 平行(重合) 由左向右上升 与x轴垂直 由左向右下降 4 已知直线l的倾斜角为 -15 ,则下列结论中正确的是 A.0 ≤ <180 B.15 < <180 C.15 ≤ <180 D.15 ≤ <195 例1 √ 直线l的倾斜角 -15 的取值范围为0 ≤ -15 <180 ,解得15 ≤ <195 . 例题探究 5 问题3 试借助向量的方法求解以下直线倾斜角的正切值:①直线过O(0,0),P(,1);②直线过P1(-1,1),P2(,0);③直线过P1(x1,y1), P2(x2,y2),x1≠x2. 提示 对于①,向量=(,1),由正切函数的定义,tan ==; 对于②,向量=(+1,-1),可平移使==(+1,-1), 于是tan ==1-;对于③,类比②可知tan =. 二、直线的斜率 6 1.斜率的定义:我们把一条直线的倾斜角 ( ≠90 )的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示,即k=_. 2.斜率公式:如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),可得斜率公式为k=_. 3.若直线l的斜率为k,则其一个方向向量为(1,k);若直线的方向向量的坐标为(x,y),则k=_. 知识点梳理 tan 7 每条直线都有唯一的倾斜角,但不是所有直线都有斜率,倾斜角为90 的直线斜率不存在. 温馨提醒 8 (链接教材P54例1)经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角 . (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(-2,3),D(2,3); 例2 (1)存在.直线AB的斜率kAB==1, 即tan =1,又0 ≤ <180 ,所以倾斜角 =45 . (2)存在.直线CD的斜率kCD==0, 即tan =0,又0 ≤ <180 ,所以倾斜角 =0 . 例题探究 9 (3)P(a,2),Q(3,6). 当a=3时,斜率不存在,则倾斜角 =90 ; 当a≠3时,直线的斜率k=且倾斜角 满足tan =. 10 反思总结 1.当x1=x2时,直线的斜率不存在,倾斜角为90 ;当y1=y2时,直线的斜率为0,直线与x轴平行或重合. 2.斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关. 3.斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. 11 问题4 当直线的倾斜角由0 逐渐增大到180 时,其斜率如何变化?为什么? 提示 由正切函数图象及单调性,当倾斜角为锐角时,斜率为正,且斜率随着倾斜角的增大而增大;当倾斜角为钝角时,斜率为负,且斜率随着倾斜角的增大而增大. 三、倾斜角与斜率的应用 12 1.设直线的倾斜角为 ,斜率为k. 知识点梳理 的大小 0 0 < <90 90 90 < <180 k的范围 k=0 k>0 不存在 _ k的增减性 - 随 的增大而_ - 随 的增大而_ 增大 增大 k<0 2.下面特殊角的正切值要熟记: 倾斜角 0 30 45 60 120 135 150 斜率k 0 1 _ -1 _ - - 13 例3 (链接教材P58T4)证明A(-2,12),B(1,3),C(4,-6)三点在同一条直线上. 易知直线AB,AC的斜率都存在, ∵kAB===-3,kAC===-3, ∴kAB=kAC,又AB,AC过同一点A, ∴A,B,C三点共线. 例题探究 例4 (链接教材P58T8)已知两点A(-4,3),B(3,2),过点P(0,-1)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. 如图, 由题意可知kPA==-1,kPB==1. 要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围 是(-∞,-1]∪[1,+∞)或斜率不存在. 例题探究 (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 由题意可知,l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间. 又PB的倾斜角是,PA的倾斜角是, 所以直线l的倾斜角 的取值范围是. 16 课堂即时练 1.若直线斜率的绝对值等于,则直线的倾斜角为 A.60 B.30 C.120 D.60 或120 √ k=时, =60 ;k=-时, =120 . 17 课堂即时练 2.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为 1, 2, 3,则由图知0 < 3< 2<90 < 1<180 , A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 ∴tan 1<0,tan 2>tan 3>0, 即k1<0,k2>k3>0,故选A. √ 18 课堂即时练 3.(多选)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是 如图,当直线l过点B时,设直线的斜率为k1,则k1==-; A.-2 B. C.1 D. √ √ √ 当直线l过点A时,设直线的斜率为k2,则k2==1. 故要使直线l过点P(1,0), 且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点, 则直线的斜率的取值范围为(-∞,-]∪[1,+∞).故选ACD. 19 课堂小结 1.知识清单 (1)直线的倾斜角及其范围 (2)直线斜率的定义和斜率公式 2.常见误区: 忽视倾斜角范围,图形理解不清. 课后作业 1、完成课后习题P55的课后习题 2、完成学校发的习题资料(大小本) $$