学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（湖北专用，人教版2024八年级上册第十三章～第十四章）

2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十三章~第十四章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2，6，9 D．5、3、10 2．如图，中，，外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 4．根据下列条件，能作出唯一的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 6．如图，在四边形中，，延长至点F，连接并延长至点E，连接，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知在中，，这个三角形是 三角形． 12．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 13．设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 14．三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 15．如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 18．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 19．如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 20．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 21．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 22．【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】 （3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 23．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 24．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_______________ 12．________________ 13．__________________ 14._________________ 15．_________ _______ 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（6分） 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A B C D A C 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．直角 12． 13． 14．3 15．①②③ 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴．...............3分 （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴．...............6分 17． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长．...............3分 （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ．...............6分 18． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴，， ∴与的周长差为； 与的面积差为0；...............3分 （2）∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴．...............6分 19． 【详解】（1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ；...............3分 （2）解：， 理由如下：延长，交点， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ．...............8分 20． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴；...............4分 （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴．...............8分 21． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ∵， ∴， ∴， ， ；...............4分 （2）证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分； （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：，， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：．...............8分 22． 【详解】解：（1）连接，如图②所示， ，，，， ， ， ；...............3分 （2）连接，如图③所示， ，，，， ， ；...............7分 （3）如图④，过点E作于Q， 由长方形的性质可得，与平行， ， ， ， ， 由折叠的性质得， ， ， ∵， ． 的值为4．...............10分 23． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：；...............3分 （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴；...............7分 （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴．...............11分 24． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；...............4分 （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴；...............8分 （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点．...............12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_______________ 12．________________ 13．__________________ 14._________________ 15．_________ _______ 三、解答题（本大题共 9个小题，第 16-18题每小题 6分，第 19-21题 每小题 8分，第 22题 10分，第 23题 11分，第 24题 12分，共 75分．解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（6分） 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 19．（8分） 20.（8分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（11分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十三章~第十四章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2，6，9 D．5、3、10 【答案】A 【分析】此题考查组成三角形的条件：较短两条线段的和大于较长线段，据此依次判断即可． 【详解】解：A.由，则三条线段能组成三角形，符合题意； B.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； D.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 2．如图，中，，外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 由三角形的外角性质得到，由此求解即可． 【详解】解：，， ∴． 故选：B． 3．如图，，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 4．根据下列条件，能作出唯一的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可． 【详解】解：A.根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； B.根据三角形的三边关系，该三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.根据全等三角形的判定定理（角边角），能作出唯一的，符合题意； D. 根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； 故选：C． 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 6．如图，在四边形中，，延长至点F，连接并延长至点E，连接，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理； 根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过O作于N，交于M，得到，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到答案． 【详解】解：过O作于N，交于M，如下图， ∵， ∴， ∵O为，的平分线的交点，于E， ∴， ∴． ∴与之间的距离等于4． 故选：C． 8．如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定与性质得出的长是解题的关键． 过点E作的垂线，垂足为M，根据全等三角形的判定与性质得出的长即可解决问题． 【详解】解：过点E作的垂线，垂足为M， ∵，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 9．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：A． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可判断，根据三角形的外角性质判断，根据全等三角形的性质判断，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分平分， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， 错误，不符合题意； 平分平分， ， 正确，符合题意； 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知在中，，这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解本题的关键是用方程的思想解决问题． 根据题意，设分别为，然后根据三角形的内角和等于列式求出，作出判断即可． 【详解】解：设分别为， 则， 解得， 所以，， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 12．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 13．设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】3 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 15．如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键．由角平分线的性质得，证明，故①正确；再证，得，故②正确；由，得，可证③正确；由，而，与不平行，，可知④错误． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 如图与交于点，则， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 而， ∴与不平行， ∴， 故④错误． ∴正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据平行线的性质，证明即可得证； （2）根据题意，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 18．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)1，0 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，熟练掌握三角形的三线的定义和性质，是解题的关键： （1）根据中线的定义，以及三角形的中线平分面积，进行求解即可； （2）根据角平分线平分角，高线的定义，以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴，， ∴与的周长差为； 与的面积差为0； （2）∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 19．如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和平行线的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，进而利用三角形的内角和定理可求解； （2）延长，交点，先证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 理由如下：延长，交点， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 20．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 21．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得到，进而可得，据此可得答案； （2）过点作于，于，由角平分线的性质证明，则由角平分线的判定定理可得证明平分； （3）证明可得，同理，，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得，据此可求出的长， 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ∵， ∴， ∴， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分； （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：，， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 22．【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】 （3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等角对等边，三角形面积计算， （1）利用面积转换：即可得证． （2）连接，利用面积转换即可得证． （3）过点E作于Q，由平行线的性质证明，再证明，得到，则由（1）可知，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图②所示， ，，，， ， ， ； （2）连接，如图③所示， ，，，， ， ； （3）如图④，过点E作于Q， 由长方形的性质可得，与平行， ， ， ， ， 由折叠的性质得， ， ， ∵， ． 的值为4． 23．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 24．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用等判定定理证明全等，进而推导边的关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点． / 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十三章~第十四章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2，6，9 D．5、3、10 2．如图，中，，外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 4．根据下列条件，能作出唯一的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 6．如图，在四边形中，，延长至点F，连接并延长至点E，连接，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，O为，的平分线的交点，于E，且，则与之间的距离等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．已知在中，，这个三角形是 三角形． 12．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 13．设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 14．三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 15．如图，D为外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 17．已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 18．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 19．如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 20．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 21．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 22．【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】 （3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 23．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 24．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$