学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（湖北专用，人教版九年级上册第二十一章～第二十二章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_______________ 12．________________ 13．__________________ 14._________________ 15．_________ _______ 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（6分） 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D B A A A C 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13．且． 14． 15．或 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16． 【详解】（1）解：∵ 即 解得；..............3分 （2）解： 则或 解得．..............6分 17． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以二次函数表达式为；..............3分 （2）∵，抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为， ∴当y随x的增大而减小时x的取值范围．..............6分 18． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且；..............3分 （2）∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴①， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，都是方程①的解， 由（1）知：且， 则不符合题意，舍去， ∴， 即的值为．..............6分 19. 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是；..............5分 （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．..............8分 20． 【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 答：收纳盒的底面的边的长为，的长为；..............4分 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该收纳盒的高为．..............8分 21． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把、代入得， ，    解得， ∴与的函数关系式为；..............2分 （2）解：根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元；..............5分 （3）解：由题意得， ， ， 当时，值最大，最大值是 答：该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元．..............8分 22． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点 ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴令，则， ∴点A坐标为， ∵过点作轴，与抛物线交于点 当时，即， 即 ∴，， ∴，..............3分 ②∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴时，为最大值， 即 ∴ 解得（舍）或； Ⅱ．当时，则在中，时，y的最大值为，不合题意， 综上所述，t的值为；..............6分 （2）解：依题意，抛物线 ∴抛物线的对称轴为，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时 即： ∴ 解得 Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为 ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得： 综上，a的取值范围是或..............10分 23． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④．..............4分 （2）解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得；..............6分 ②方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，， 解得，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； ，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； 故一次函数的解析式为或；..............9分 （3）解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或．..............11分 24． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点为， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点A、B的坐标分别为， ∴抛物线的解析式为， 将点D的坐标代入上式得， 解得：， 则抛物线的表达式为；..............4分 ②过点E、F分别作的平行线分别交y轴于点， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， 过点E作交y轴于点M，作交y轴于点N， ∴可设直线的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， 同理点， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）或， 即点；..............8分 （2）解：由题意得：， 令，则 ∴, ∵ ∴直线解析式为, ∵直线经过点O，且与直线平行， ∴直线解析式为， 设点，点， ∴m、n是方程 则， 同理（1）直线的表达式为：， ∴点， 同理可得，点， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， 即， 解得：．..............12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程 的根的情况是 （    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 4．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是 5．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．二次函数的对称轴为直线 ． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 14．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 15．已知抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解方程 (1)． (2) 17．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设，是方程的两个根且，求的值 19．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 20．综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 21．一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 22．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 23．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 24．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)若， 求抛物线表达式； E为抛物线上位于A点左侧的一点，F为E关于直线的对称点．若，求点E的坐标； (2)过点O作的平行线与抛物线交于M，N两点，直线分别与y轴交于P，Q两点，若，求a的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2．解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 3．关于x的一元二次方程 的根的情况是 （    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】先确定方程中、、的值，再计算根的判别式，根据与的大小关系来判断即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式 及根据其值判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：方程中，，， ， 方程有两个不相等的实数根 故选：D ． 4．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的一般式，通过配方化为顶点式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴的交点，进而判断各选项的正确性． 【详解】解：A、二次项系数为，故开口向下，选项A正确． B、 ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，选项B正确． C、由B知，对称轴为直线，故选项C错误． D、令，得，故与轴交点为，选项D正确． 故选：C． 5．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据题意，是方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵时，随的增大而减小， ∴，解得：， 故：B． 7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程得，，再计算自变量为0对应的函数值得到，接着证明为等腰直角三角形，所以，即，然后把等式两边平方可得． 【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 整理，得 , ∵ ∴． 故选：A． 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 9．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限， 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限， ∴符合题意的是选项， 故选：． 10．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； 根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限， ∴， ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故多项式可因式分解为， 故③不正确； 根据题意，得，即， 根据题意，当时，抛物线有最大值，且为， 故当时，在抛物线顶点的上方， 故关于的方程无实数根． 故④正确； 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．二次函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴，根据对称轴的定义即可求得． 【详解】解：由二次函数得，，， 则对称轴为直线． 故答案为：． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 14．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 15．已知抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与y轴得交点，二次函数对称轴和两点之间的距离，熟练掌握二次函数基本性质是解决本题的关键． 根据表达式求出A点坐标再根据平行于x轴，可得B点坐标为或，再根据对称轴即可求出答案． 【详解】解：∵， ∵当时，， ∴A点坐标， 又∵，直线平行x轴 ∴B点坐标为或， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴或 解得，或 故答案为：或 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解方程 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答． （2）先移项，再提公因式，得，令每个因式为0，即可作答． 【详解】（1）解：∵ 即 解得； （2）解： 则或 解得． 17．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】主要考查的是二次函数的性质，求二次函数解析式． （1）把代入中求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线的对称轴即可得到结论； 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以二次函数表达式为； （2）∵，抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为， ∴当y随x的增大而减小时x的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设，是方程的两个根且，求的值 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据题意得：，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将化为，继而得到关于的分式方程，求解后并结合（1）的结论即可得到符合题意的的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴①， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，都是方程①的解， 由（1）知：且， 则不符合题意，舍去， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，分式方程的应用，解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 19．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 20．综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【答案】任务一：的长为，的长为；任务二：该收纳盒的高为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 任务一：根据图①分别列出代数式即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 答：收纳盒的底面的边的长为，的长为； 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该收纳盒的高为． 21．一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【答案】(1) (2)应将售价定为元 (3)该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法． （1）根据图表中的各数可得出与成一次函数关系，从而结合图表的数可得出与的关系式． （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润（元售量每千克利润可表示出与之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把、代入得， ，    解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，值最大，最大值是 答：该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元． 22．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由，的抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），得与线段有且只有一个点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点 ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴令，则， ∴点A坐标为， ∵过点作轴，与抛物线交于点 当时，即， 即 ∴，， ∴， ②∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴时，为最大值， 即 ∴ 解得（舍）或； Ⅱ．当时，则在中，时，y的最大值为，不合题意， 综上所述，t的值为； （2）解：依题意，抛物线 ∴抛物线的对称轴为，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时 即： ∴ 解得 Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为 ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得： 综上，a的取值范围是或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，解不等式组，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． 23．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)①②或 (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；②利用，求得，，分两种情况，代入即可求得的值； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； ②方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，， 解得，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； ，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； 故一次函数的解析式为或； （3）解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 24．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)若， 求抛物线表达式； E为抛物线上位于A点左侧的一点，F为E关于直线的对称点．若，求点E的坐标； (2)过点O作的平行线与抛物线交于M，N两点，直线分别与y轴交于P，Q两点，若，求a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①由题意可得抛物线对称轴为直线，再由，可得点A、B的坐标，即可求解；②过点E、F分别作的平行线分别交y轴于点、N，求出直线的表达式，设点，则点，过点E作交y轴于点M，作交y轴于点N，求出直线的表达式，可得点，同理点，然后根据，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）设点，点，则，再求出直线的表达式，可得点，同理可得点，然后根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点为， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点A、B的坐标分别为， ∴抛物线的解析式为， 将点D的坐标代入上式得， 解得：， 则抛物线的表达式为； ②过点E、F分别作的平行线分别交y轴于点， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， 过点E作交y轴于点M，作交y轴于点N， ∴可设直线的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， 同理点， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）或， 即点； （2）解：由题意得：， 令，则 ∴, ∵ ∴直线解析式为, ∵直线经过点O，且与直线平行， ∴直线解析式为， 设点，点， ∴m、n是方程 则， 同理（1）直线的表达式为：， ∴点， 同理可得，点， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 / 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_______________ 12．________________ 13．__________________ 14._________________ 15．_________ _______ 三、解答题（本大题共 9个小题，第 16-18题每小题 6分，第 19-21题 每小题 8分，第 22题 10分，第 23题 11分，第 24题 12分，共 75分．解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（6分） 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 19．（8分） 20.（8分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（11分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程 的根的情况是 （    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 4．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是 5．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．二次函数的对称轴为直线 ． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 14．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 15．已知抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第16-18题每小题6分，第19-21题每小题8分，第22题10分，第23题11分，第24题12分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解方程 (1)． (2) 17．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)设，是方程的两个根且，求的值 19．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 20．综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 21．一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 22．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 23．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 24．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)若， 求抛物线表达式； E为抛物线上位于A点左侧的一点，F为E关于直线的对称点．若，求点E的坐标； (2)过点O作的平行线与抛物线交于M，N两点，直线分别与y轴交于P，Q两点，若，求a的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$