高一数学上学期第一次月考【测试范围：必修第一册第一章+第二章】（人教A版2019）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C D D D A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BC BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 16．（15分） 【详解】（1）因，，则， 则； （2）设. 则.， 则； （3） 因，则， 则 17．（15分） 【详解】（1）依题意，，，得， ，而，所以. ，， （2）由（1）得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立. 所以当时，取得最大值为. 18．（17分） 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 即关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为； （2）不等式，即， 当时，则； 当时，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为； 当时，不等式即，则； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 综上可得：当或时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（17分） 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与元素之间的基本关系以及集合与集合之间的关系逐一判断可得结论. 【详解】对于A，因为空集中不含有任何元素，因此，即A错误； 对于B，集合中只有一个元素，而中有两个元素，所以，即B错误； 对于C，空集中不含有任何元素，而中有一个元素，所以C错误； 对于D，自然数集中包含0，因此，即D正确. 故选：D 2．已知命题，使，其否定命题为（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定，使. 故选：B 3．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 4．已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 5．设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据图可知，阴影表示的补集，即可根据集合交并补的定义求解. 【详解】由可得，， 故，进而. 故选：D 6．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 7．关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 8．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【分析】结合集合新定义得，去绝对值结合的取值范围分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【答案】AB 【分析】分类讨论即可判断A；根据空集和交集的定义即可判断B；根据充分条件和必要条件的判定即可判断C；根据表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，即可判断D． 【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C．的解集为 D． 【答案】BC 【分析】因为不等式的解集为或，结合不等式解集和韦达定理，可得和，然后逐个选项代换判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，，可得， 则，即，得，， 又化为， 可得，解得， 又， 故A错，B正确，C正确，D错误. 故选：BC 11．下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则的最大值为 B．若，则的最小值为4 C．已知，，，则的最小值是 D．若，，，则的最小值为 【答案】BD 【分析】利用基本不等式逐项变形计算可判断选项的正确性. 【详解】对于A，，解得，平方得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4，故B正确； 对于C，由，可得，得， 则， 当且仅当，即，故等号不成立，故C错误； 对于D， ， 当且仅当，即时取等号， 所认的最小值为，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 13．已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接列出关于的不等式组即可求解. 【详解】命题 p表示“恒成立”. 当且仅当同时满足以下三个不等式： 当时：，解得； 当时：恒成立； 当时：解得； 综合条件得. ∴最终k的范围为. 故答案为：. 14．已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】变形，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因， 则 当且仅当时取等号， 故的最小值为4． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用集合的交补运算求集合； （2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 16．（15分） 解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由不等式性质可解决问题； （2）由待定系数法结合不等式性质可得答案； （3）由作差法结合条件可比较大小. 【详解】（1）因，，则， 则； （2）设. 则.， 则； （3） 因，则， 则 17．（15分） 某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为 【分析】（1）根据已知条件求得关于的关系式，并给出的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）依题意，，，得， ，而，所以. ，， （2）由（1）得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立. 所以当时，取得最大值为. 18．（17分） 已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得不等式的解集为，分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 即关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为； （2）不等式，即， 当时，则； 当时，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为； 当时，不等式即，则； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 综上可得：当或时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（17分） 若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. ( 1 / 13 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，使，其否定命题为（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 3．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 6．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 7．关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C．的解集为 D． 11．下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则的最大值为 B．若，则的最小值为4 C．已知，，，则的最小值是 D．若，，，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设集合，，若，则 . 13．已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 . 14．已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 16．（15分） 解决下列问题 (1).已知，，求的取值范围； (2).已知，，求的取值范围； (3).已知，比较与的大小. 17．（15分） 某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 18．（17分） 已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 19．（17分） 若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. ( 1 / 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$