精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期适应性考试数学试题

高三年级适应性考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 2. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式和，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由，得，解得； 由，得，得， 当时，一定可以推出，而当时，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确. 【详解】因为，，， 则，当且仅当时取等号，所以选项A正确； 因为， 故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确； ， 当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确； ， 故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误． 故选：D． 5. 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】, ，且a,b为正数， ， 当且仅当，即时，， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题. 6. 已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得函数的图象关于直线对称，进而分析可得在上递增，结合函数的特殊值分析可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，是偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由在上单调递减，则在上递增， 又由，则， 解可得：或， 即不等式的解集为； 故选：． 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型. 7. 若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用二项分布的概率公式，结合期望方差公式计算判断即可. 【详解】因为，所以，故A错误； ，故B错误； ，，所以，，故正确，错误. 故选：C. 8. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 【详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数 C. 在上单调递减 D. 在内有4个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】由是偶函数可得关于直线对称，所以A正确；由是奇函数可得关于点对称，结合选项A可推出的周期为8，由此判断B；由关于点对称及时，，可知在单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出在内的零点个数，由此判断D. 【详解】对于A：是偶函数，， 关于直线对称，故A正确； 对于B：由A可知关于直线对称，①， 又是奇函数，，即， 关于点对称，②， 由①②可得，即， ， ， 的一个周期为8，故B正确； 对于C：由B知关于点对称，时，单调递增， 在也单调递增，又关于直线对称， ∴在上单调递减，上单调递增，故C错误； 对于D：定义域为，关于对称，， 又关于直线对称，， 又在也单调递增，关于直线对称， 在内有2个零点，故D错误， 故选：AB. 11. 函数定义域为，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意正实数，函数在上是单调递减函数 B. 对于任意负实数，函数存在最小值 C. 存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D. 存在负实数，使得函数在上有两个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】求函数的导函数，判断导函数在时的正负，确定函数的单调性，判断A；在时，确定方程的解，并判断函数零点两侧的单调性，由此确定函数的最值，判断B；结合函数的单调性及零点存在性定理判断D；在时，结合图象确定的零点，由此判断C. 【详解】对于A，函数的定义域是，且， 当时，在内恒成立， 所以函数在上单调递增，故A错误； 对于B，对于，设，， 则，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 当时，，， 所以存在，使， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以对于任意，函数存在最小值，故B正确； 对于D，因为当时，函数存在最小值，且， 所以， 当时，，此时， 所以存在，使， 当时，，当时，， 此时函数在上有两个零点，故D正确； 对于C，函数的图象在有公共点， 所以对于任意，有零点，故C错误； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 13. 甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是，，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率求解即可. 【详解】因为两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题， 所以． 故答案为： 14. 已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合奇函数的定义证明为奇函数，再结合单调性定义证明为减函数，利用函数性质化简不等式可得，结合一元二次不等式解法求结论. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为函数满足条件， 所以①，②， 由①可得， 所以，故， 所以函数为奇函数， 任取，且，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，故， 所以， 所以函数为减函数， 因为， 所以，又函数为奇函数， 所以，又函数为减函数， 所以，故 所以， 所以关于的不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足. （1）若，且、均为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若，分别求出成立的等价条件，利用且、均为真求解即可； （2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，进而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由可得，其中，可解得，则. 由可得，即. 若，则，又、均为真，则，解得， 故实数的取值范围为 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件， 故，即，所以的取值范围是 16. 已知函数，为一常数. （1）设，当时，记，求函数的最小值； （2）解不等式. 【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：. 【解析】 【分析】 （1）首先写出的解析式，然后利用基本不等式即可求得函数的最小值， （2）首先将所给的不等式进行恒等变形，然后分类讨论求解函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，由于，故， 当且仅当时等号成立，即函数的最小值为. （2）不等式即：， 当时，，不等式的解集为：， 当时，，不等式的解集为：， 当时，，不等式的解集为：， 综上可得：当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，含参二次不等式的解法，属于中档题. 17. 已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． （1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； （2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： X 1 3 5 P 期望为3 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可计算结果. （2）由题意可知的取值为1，3，5，然后求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望． 【小问1详解】 设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生” 则 【小问2详解】 ，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5， 则,, 故的分布列为： X 1 3 5 P 数学期望为 18. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）设函数. （i）若在上有且仅有个零点，求实数的取值范围； （ii）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质得恒成立，求参数即可； （2）（i）由题设，令，问题化为在有且仅有一个根，利用对勾函数单调性求右侧范围，即可得参数范围； （ii）利用换元法及对勾函数性质得，且是值域的子集，结合换元及二次函数性质，列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以， 即， 即， 即恒成立， 所以，得. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以. 令，由，得. 因为函数在上有且仅有个零点， 所以在上有且仅有个零点. 即在有且仅有一个根， 对于，若，则， 又，即，故在上递减， 所以，即，则. 所以实数的取值范围是. （ii），令， 由，得，函数在上单调递增，所以， 即. 设函数的值域为，依题意得. 由（i）知，令，得. 当，即时，函数在上单调递增， 则，即，解得； 当，即时， 函数在最大值为和中的较大者， 而，不合题意； 当，即时，函数在上单调递减， 则，即，不等式组无解. 综上知，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用函数不等式恒、能成立确定函数值域之间的包含关系，通过包含关系求参数范围. 19. 已知函数． （1）若，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得； （2）由题意结合（1）的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数的最小值为. 试题解析：（1）的定义域为. ①若，因为，所以不满足题意； ②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点. 由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1. （2）由（1）知当时，. 令得.从而 . 故. 而，所以的最小值为. 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出.本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级适应性考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 2. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 5. 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是　　 A. B. C. D. 7. 若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数 C. 在上单调递减 D. 在内有4个零点 11. 函数定义域为，下列命题正确的是（ ） A. 对于任意正实数，函数在上是单调递减函数 B. 对于任意负实数，函数存在最小值 C. 存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D. 存在负实数，使得函数在上有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 13. 甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是，，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为______． 14. 已知定义在上的函数满足：，且当时，．则关于的不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足. （1）若，且、均为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，为一常数. （1）设，当时，记，求函数的最小值； （2）解不等式. 17. 已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． （1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； （2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 18. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）设函数. （i）若在上有且仅有个零点，求实数的取值范围； （ii）若，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $