精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

三明一中2025-2026学年上学期高三开学考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由题意可知：，，所以. 故选：A 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则的虚部是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得，再由复数的乘法、除法运算即可求解. 【详解】因为在复平面内，复数z对应的点为， 所以， 所以的虚部是． 故选： D． 3. 导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象判断原函数的单调性即可. 【详解】由图可知：当时，；当时，. 所以可知函数在单调递增，在单调递减， 所以函数的极大值点为. 故选：A 4. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 5. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得，令，可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则， 所以，，解得. 故选：D. 6. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式化简可得最值. 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由. 故选：B. 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为，即可得答案. 【详解】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 10. 已知函数为的导函数，则（    ） A. B. 在上单调递增 C. 的极小值为 D. 方程有3个不等的实根 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数和导数的几何意义分别判断即可. 【详解】因为，所以，，A说法错误； 令解得或，令解得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，B说法正确； 的极大值点为，极大值，极小值点为，极小值，C说法错误； 因为当时，，当时，， 所以方程有3个不等的实根，分别在，和中，D说法正确； 故选：BD 11. 已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据的图象关于对称，所以关于轴对称，故，A正确；B选项，由奇函数性质得到，故，B错误；CD选项，由题目条件得到，结合得到，故，推出，得到周期，赋值法得到，，并利用周期求出. 【详解】A选项，因为的图象关于对称，所以关于轴对称， 故是偶函数，则，故A正确； B选项，因为是奇函数，所以，即，故B错误； CD选项，由得， 又，所以，又， 即，即，则， 所以，所以①， 即②， ②-①得，所以函数的周期为4， 令，由，得， 再令，则，所以， 又，由， 所以 ，故C，D正确. 故选：ACD. 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 函数的周期性：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是函数的一个极值点，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点求出值并验证即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点，得，解得，此时， 因函数在上都单调递增，故函数在上单调递增， 而，当时，；当时，， 则函数在处取得极小值，符合题意，故. 故答案为：1 13. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为函数在上单调递增，根据分段函数的单调性，需满足各段单调递增及两段在分界点处函数值的大小关系求解即可. 【详解】由对任意，得， 设，则对于恒成立，所以在上单调递增． 由题意知 当时，单调递增， 即在上恒成立，得或 解得或，即． 当时，单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，即，得． 当时，， 所以恒成立，满足题意. 综上，的取值范围为． 故答案为： 14. 已知正实数满足，则______. 【答案】# 【解析】 【分析】一方面，对条件变形及利用基本不等式得；另一方面，可构造函数，利用导数求出函数最大值，进而得到，从而得出，解出即可得解. 【详解】由，得． 因为均为正实数，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以，即． 令，则， 当时，单调递增；当时，，单调递减， 故， 即（当且仅当时取等号）， 因此，即（当且仅当时取等号）． 由和可得， 则有解得 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念求出答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，当时，． 所以，． 【小问2详解】 当时，，解得，满足， 当时，若，则，解得， 故实数的取值范围为． 16. 已知，. （1）求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系求出，从而得到，再利用两角和的正切公式即可求出； （2）由平方关系求出，再根据展开即可求出． 【详解】（1）因为，，故，所以. . （2）因为，，所以. 又因为，所以. ． 17. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【小问1详解】 因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. 【小问2详解】 由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. 【小问3详解】 由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：在上恒成立； （3）讨论方程在上的根的个数. 【答案】（1）当时，单调递减；当时，单调递增 （2）先证明对任意，， 令，， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，即， 故对任意成立，且当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以在上恒成立． （3）当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性即可； （2）令，先利用导数证明恒成立，即可证明在上恒成立； （3）由（2）可知在上的根的个数即方程的根的个数，令，利用导数求的单调性进而得到的范围即可求解. 【小问1详解】 由题意当时，则， 令解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2），在上恒成立，当且仅当时等号成立， 也即的根为的根，下讨论方程的根的个数， 化简得，令，则， 令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又，且当时，，时，， 故当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根， 综上所述当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根；当时，方程有一个实根． 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【小问1详解】 ，得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025-2026学年上学期高三开学考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3. 导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数的极大值点为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 5. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数为的导函数，则（    ） A. B. 在上单调递增 C. 的极小值为 D. 方程有3个不等的实根 11. 已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是函数的一个极值点，则实数______. 13. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是______． 14. 已知正实数满足，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知，. （1）求的值； （2）若且，求的值. 17. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数最大的项． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）证明：在上恒成立； （3）讨论方程在上的根的个数. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $