2.2基本不等式（第一课时）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2　基本不等式（第一课时）（同步练习） 一、选择题 1.若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A.4 B.4 C.9 D.18 2.已知x>0，y>0，且x＋y＝10，则xy有(　　) A.最大值25 B.最大值50 C.最小值25 D.最小值50 3.已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　) A.1 B. C. D. 4.不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y　 C.x≤2y D.x<2y 5.已知0<x<2，则x2(4－x2)的最大值为(　　) A.8 B.16 C.2 D.4 6.已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是(　　) A.xy≤ B.≥2 C.≥2 D.x2＋y2≥2|xy| 7.(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A.若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B.若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C.若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D.若a<0，b<0，则≤ab 8.(多选)下列说法正确的是(　　) A.∀a，b∈R，成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 C.∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D.若x>2，则x＋≥2中可以取等号 二、填空题 9.已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为_______ 10.已知x>2，则y＝x＋的最小值为________ 11.已知0<x<，则y＝x(1－3x)的最大值为________ 12.已知x>－1，则的最小值为________ 三、解答题 13.设a，b为正数，证明下列不等式： (1)a＋≥2；(2)≥2． 14.已知x>3，求＋x的最小值． 15.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D　解析：因为m>0，n>0，mn＝81，所以m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号，故选D． 2.A　解析：∵≤(x>0，y>0)，且x＋y＝10，∴xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时，等号成立．故xy有最大值25． 3.C　解析：已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立． 4.B　解析：由基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，即基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为x－2y>0，即x>2y．故选B． 5.D　解析：因为0<x<2，所以x2>0，4－x2>0，故x2(4－x2)≤＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立，故x2(4－x2)的最大值为4．故选D． 6.|B　解析：对于A，因为x，y为非零实数，所以x2＋y2≥2xy，则x2＋y2＋2xy≥4xy，即xy≤，当且仅当x＝y时取等号，故A项恒成立；对于B，当x，y异号时，<0，故B项不恒成立；对于C，＝|x|＋≥2＝2，当且仅当|x|＝，即x＝±1时取等号，故C项恒成立；对于D，x2＋y2＝|x|2＋|y|2≥2|x|·|y|＝2|xy|，当且仅当|x|＝|y|时取等号，故D项恒成立．故选B． 7.AC 解析：A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确．B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以D错误． 8.BC　 解析：A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋≥2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号． 二、填空题 9.答案：36　 解析：4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36． 10.答案：6　 解析：因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6． 11.答案：　 解析：∵0<x<，∴1－3x>0．∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 12.答案：16　 解析：＝(x＋1)＋＋10， ∵x>－1，∴x＋1>0，∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16． 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立． 三、解答题 13.证明：(1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋≥2＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立． (2)因为a，b为正数，所以也为正数，由基本不等式，得≥2＝2，当且仅当，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立． 14.解：因为x>3，所以x－3>0， 所以＋x＝＋(x－3)＋3≥2＋3＝2＋3＝7， 当且仅当＝x－3，即x＝5时，等号成立． 所以＋x的最小值为7. 15.解：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10， ∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20， 当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立． ∴W≤2，即W的最大值为2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$