精品解析：山西省太原师范学院附属2025-2026学年高二上学期开学分班测试数学试题

太原师范学院附属中学2024级高二年级分班测评 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的考号､姓名､校班等信息.将条形码横贴在答题卡“考生条形码粘贴区”. 3.考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合交集的定义求解即可. 【详解】由题可得， 故选：C 2. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算得，再由平面向量基本定理，即可求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 则， 得到，又，所以， 故选：A. 3. 甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率和为即可得到. 【详解】因为两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是， 所以获胜的概率. 故选：B 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行判定定理、线面平行的性质定理及线线、线面、面面关系逐一分析即可. 【详解】对于A：根据面面平行判定定理，直线应为相交直线，故A错误； 对于B：直线可能在平面α内，故B错误； 对于C：若，，， 则与β垂直、平行，相交不垂直或，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确． 故选：D． 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论: 由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则， 又数据分布图右拖尾，则平均数大于中位数，即， 因此有. 故选：D. 6. 已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到函数的单调性，再结合偶函数化简不等式求解即可. 【详解】由对任意，都有成立， 得在上单调递增， 又为偶函数，则不等式等价于， 所以，解得， 即满足题意的x取值范围为： 故选：C. 7. 实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 的实部为1，虚部为1，故B正确； ，故A正确； 的共轭复数为，故C不正确； 在复平面中对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断. 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可. 【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数， 所以，则， 即，所以4为函数的一个周期. 对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确； 对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同， 由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误； 对C, ，则 又，所以，正确； 对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同， 且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义求解即可. 【详解】已知向量，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数性质得在上有一个零点，进而分析函数在有两个零点，然后利用二次函数零点分布列不等式组，即可求解. 【详解】当时，由，得，则在上有一个零点； 若有3个零点，则在时函数必有两个零点， 因为，所以函数在有两个零点， 当时，无零点，不合题意， 当时，由题意在有两个零点，且， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可知点轨迹是以为直径的球与四边形（包括边界）的交线，求出在四边形内的圆的半径即可得出结果. 【详解】以为直径作球，球半径， 与球上任意一点(除去点)均能构成直角， 故点轨迹为球与四边形（包括边界）的交线. 易知在平面上的投影为菱形的外心， 且都全等, 故四边形为正方形，四棱锥为正四棱锥，在平面上的投影为正方形的中心， 记球心在平面上的投影为，， 故平面截球的小圆半径， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧， 由题意可知 如图所示，设该圆弧交于点，所以四点共圆， 而，所以， 所以三点共线，即也是半径为的圆的直径， 故所求为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？ （2）学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数. 【答案】（1） （2）分 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数； （2）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数. 【小问1详解】 由题意有：，解得， 采用分层抽样在内的学生人数有：， 所以成绩在内的学生有2个； 【小问2详解】 因为成绩在内的频率为：， 所以最低分数为：， 所以估计获得表彰的学生的最低分数为分. 16. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【小问1详解】 由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. 【小问2详解】 将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 17. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． （1）设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； （2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件含有： 共12个样本点，故． 【小问2详解】 记事件为第局甲胜，，由题意知， 记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则 ， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为． 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 如图，直三棱柱的体积为的面积为为线段上一动点，. （1）当时，证明：平面. （2）当时，若，平面平面. （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值范围. 【答案】（1）证明：当时，即为的中点，设，连接， 则是的中位线，则， 因为平面，平面， 所以平面； （2）（i）证明：过点作交AC于点，过点作交于点，连接． 在直三棱柱中，平面平面，平面平面平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又因为，所以平面DFG． 又因为平面DFG，所以． 于是， 故有． （ii） 【解析】 【分析】（1）设，利用线面平行的判定定理可得答案； （2）（i）作出辅助线，写出各角余弦值的表达式即可求解；（ii）作出辅助线，找到二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）在矩形中，，故矩形为正方形，从而． 又因为平面平面，平面平面． 所以平面，从面． 在直三棱柱中，平面ABC，故有． 又因为，所以平面，从面且．设， 依题意，，于是． 即． 解法1：过点作交于点，连接． 由（i）知，平面，从而． 又因为，所以平面，从而，故为二面角的平面角． 又因为且，所以为二面角的平面角． 又，故二面角的平面角为． 设二面角的平面角为，依题意，． 因为，且，故． 由于，故有，从而， 所以， 因为，所以， 从而， 于是． 因此二面角的正弦值范围为． 解法2：过点作交于点，连接． 显然，故，，，四点共面． 因为平面，从面且． 故为二面角的平面角． 因为，所以． 又因为，所以． 在Rt中，， 故有． 因为，所以． 于是． 因此二面角的正弦值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师范学院附属中学2024级高二年级分班测评 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上填写好自己的考号､姓名､校班等信息.将条形码横贴在答题卡“考生条形码粘贴区”. 3.考生作答时，请将答案正确地填写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数：满足，则（ ） A. B. 的实部为1 C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B. 若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C. 和的方差分别为和，若，则 D. 在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 11. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 14. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，则成绩在内的学生有几个？ （2）学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数. 16. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 17. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． （1）设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； （2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 18. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 19. 如图，直三棱柱的体积为的面积为为线段上一动点，. （1）当时，证明：平面. （2）当时，若，平面平面. （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $