精品解析：江苏省扬州市新华中学2025-2026学年高三上学期第一次学情调研（8月月考）数学试题

扬州市新华中学2026届高三第一次学情调研数学试卷 一､选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式得到集合，由集合的交集运算得到答案. 【详解】由得，所以， 又因为，所以， 故选：B. 2. 的展开式中中间一项的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】先判断中间一项含有，再写出的展开式的通项公式，利用赋值法得到，再求出，最后得到答案即可. 【详解】易得，且两个二项式的中间项相同，为含有项， 由二项式定理得的展开式的通项公式为， 令，解得，故， 则展开式中含有项的系数是，故B正确. 故选：B 3. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数运算法则及复合函数求导法则求解. 【详解】依题意，. 故选：D 4. 根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】回归直线必过样本中心点，根据原经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值. 【详解】因为原经验回归方程为，且平均数， 所以代入方程得， 因为去除的两个样本点和， 由， 所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为， 代入重新求得的经验回归方程，可得， 解得. 故选：B. 5. 如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 6. 设，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式即可求解最值. 【详解】由，，， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 7. 设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件概率公式求得，再根据独立事件乘法公式求出，进而由根据和事件概率计算公式即可求得结果. 【详解】因为，， 由，得. 因为事件A，B相互独立， 所以，即，所以. 所以. 故选：C. 8. 已知函数若有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先讨论是否为函数零点，然后，两边同时除以，分离参数，最终转化为与交点问题，求导，研究单调性画出图像，即可得到答案. 【详解】当时，，对于任意恒成立，所以是其中的一个零点. 当时，有三个（除之外）的零点，即，所以有三个交点. 令， 当，，, 当，单调递增. 当，单调递减， 所以. 当，为二次函数，易知单调性， 在单调递减，在单调递增. . 图像如下： 与有三个交点，的取值范围为或者. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和、，若，则总体方差 B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C. 设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分层抽样种样本、总体间的均值和方差的关系判断A，根据残差平方和的意义判断B，利用条件概率公式和相互独立事件的定义判断C，根据方差的性质判断D. 【详解】选项A：设两层的样本容量依次为，若，设总体均值为， 则总体方差为， 当且仅当时，，故A说法错误； 选项B：回归分析中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故B说法正确； 选项C：由条件概率公式可知，所以， 由相互独立事件的定义可知事件与事件相互独立，C说法正确； 选项D：设随机变量的取值为，，…，，随机变量的取值为，，…，， 由题意可知，则， 所以数据，，…，的标准差为，D说法错误. 故选：BC 10. 已知函数的定义域为，的图象关于点对称，且，则下列结论正确的是（ ） A. 2是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件，分析函数的奇偶性，对称性和周期性，结合奇函数的性质，逐项判断即可. 【详解】根据函数图象的平移，将的图象先左平移1个单位，可得的图象， 其图象关于点对称，所以函数为奇函数，即. 又，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 因为， 所以，所以恒成立，2才能是函数的周期， 否则，2不是函数的周期，故A错误； 因为为上的奇函数，所以，且，又函数周期为4， 所以，， 所以，故C正确； 又， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，相互独立，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式，条件概率公式可解AB选项，在的条件下，利用可求C选项，再利用全概率公式及对立事件概率公式可确定D选项. 【详解】对于AB选项，因为，相互独立， 则，，故A正确，B错误； 对于C选项，若，，，故C正确； 对于D选项，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数在上单调递减，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求导，将原函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式恒成立问题，通过参变分离，进一步化成求对应函数的最小值解决. 【详解】由求导得：， 因为函数在上单调递减， 所以 在上恒成立， 即在上恒成立． 设，因在上单调递增， 则在上单调递增，所以， 故得，即实数a的取值范围是． 故答案为：. 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学在CMO竞赛中取得了前六名的好成绩（无并列情况），甲、乙两位同学去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“6人中你不是最低的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有______种不同的情况．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用分步计数原理结合组合数分析求解即可. 【详解】根据题意可知甲、乙都不是第一名，所以第一名只能从丙、丁、戊、戌这4人中选择，共4种情况， 由于乙不是第一名也不是第六名，所以乙的名次只能是第二、三、四、五名，共4种情况， 第一名和乙的名次确定后，剩下的4个名次由剩余的4人（包括甲）全排列，种情况， 所以共有种情况， 故答案为： 14. 已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则______，的长为______． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 四､解答题：本题共4小题，共58分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）求出集合，再利用必要不充分条件定义列式求解. 【小问1详解】 当时，，则或， 而， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，由“”是“”成立的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集，则或，解得或， 所以正实数m的取值范围中. 16. 已知. （1）若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； （2）若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得求； （2）的两个极值点是方程的两正根，可得范围及，代入得，求的值域即得. 【小问1详解】 因为，所以， 又曲线在处的切线与垂直， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，， 所以的两个极值点是方程的两正根， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 所以在单调递减， 当时，，且， 所以的取值范围是. 17. “九省联考”之后，某地掀起了奥数学习热潮，某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 48 120 女 56 80 总计 72 128 （1）补全列联表（单位：人），试问是否有95%的把握认为“奥数迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为与．设X为独立闯关成功的人数，求X的分布列及数学期望． 附：参考数据与公式：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 48 72 120 女 24 56 80 总计 72 128 200 没有的把握认为“奥数迷”与性别有关； （2） 【解析】 【分析】（1）提出假设：“奥数迷”与性别无关，通过计算，从而可判断假设是否成立，进而得出结论； （2）先确定抽取的男女生人数，再结合相互独立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 补全列联表如下： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 48 72 120 女 24 56 80 总计 72 128 200 提出假设：“奥数迷”与性别无关. 则， 因为，而 故没有的把握认为“奥数迷”与性别有关. 【小问2详解】 由于在“奥数迷”中，男生与女生的比例为， 因此根据分层抽象抽取三人中有男生名，女生名. 由题意可知：的可能取值为，，，， ，， ， . 的分布列为： 所以. 18. 如图．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，．且，． （1）证明：平面平面ABCD； （2）求二面角所成平面角的余弦值． 【答案】（1）∵，， ∴． ∵，，平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD．∵平面PAD， ∴．延长AB交DC的延长线于点E， ∵，，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD，又平面PAB， ∴平面平面ABCD． （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，根据线面垂直的判定和性质有，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出平面FPC与平面PCD的法向量，应用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点A作交CB的延长线于点F，连接PF，则平面PBC， 故二面角即为二面角． 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ∴，，． 设平面FPC与平面PCD的法向量分别为，， 则，，令，则，令，则， ∴． 由图二面角为钝角，故二面角所成平面角的余弦值为． 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer）．简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的“不动点”．现新定义：若存在实数，使得，则称实数为该函数的“次不动点”．已知函数． （1）若，求的“次不动点”； （2）若有两个“不动点”，求a的范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“次不动点”的定义，令，解出即可； （2）根据“不动点”的定义，令，得，即，进而得，令，则，得，令，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 当时，，令， 所以，即， 所以，又， 所以， 所以的“次不动点”为0； 【小问2详解】 由，令， 所以， 所以， 令，则，所以， 令，所以， 作出的图像： 由图像可知：， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2026届高三第一次学情调研数学试卷 一､选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中中间一项的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 160 3. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 5. 如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. 平面平面 6. 设，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和、，若，则总体方差 B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C. 设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 10. 已知函数的定义域为，的图象关于点对称，且，则下列结论正确的是（ ） A. 2是的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 11. 已知随机事件，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，相互独立，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数在上单调递减，则m的取值范围是______． 13. 甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学在CMO竞赛中取得了前六名的好成绩（无并列情况），甲、乙两位同学去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“6人中你不是最低的”，从这个回答分析，6人的名次排列共可能有______种不同的情况．（用数字作答） 14. 已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则______，的长为______． 四､解答题：本题共4小题，共58分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数m的取值范围． 16. 已知. （1）若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； （2）若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 17. “九省联考”之后，某地掀起了奥数学习热潮，某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 48 120 女 56 80 总计 72 128 （1）补全列联表（单位：人），试问是否有95%的把握认为“奥数迷”与性别有关？ （2）现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为与．设X为独立闯关成功的人数，求X的分布列及数学期望． 附：参考数据与公式：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 如图．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，．且，． （1）证明：平面平面ABCD； （2）求二面角所成平面角的余弦值． 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer）．简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的“不动点”．现新定义：若存在实数，使得，则称实数为该函数的“次不动点”．已知函数． （1）若，求的“次不动点”； （2）若有两个“不动点”，求a的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $