精品解析：河南省内乡县高级中学2025-2026学年高一上学期开学第一次诊断性测试数学试卷

高中一年级上学期上学期开学第一次诊断性测试 数学试题 注意事项： 1.本试卷分为Ⅰ（选择题）和ⅠⅠ（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为集合，， 则， 则. 故选：B. 2. 通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把称为取整函数，表示不超过的最大整数．那么“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义函数的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】若，设，则，， 所以，则，即充分性成立； 若，令，满足，但，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 4. 若关于的不等式的解集是，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为不等式的解集是，可得为方程的根，且，进而代值求解即可. 【详解】由，则， 则，即，显然， 由题意，不等式的解集是， 则为方程的根，且，即， 则，解得. 故选：D. 5. 已知函数的定义域为,则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域的定义，列不等式组，即可求得. 【详解】因为函数的定义域为,所以函数的定义域为. 要求的定义域，只需，解得：. 故选：A. 6. 已知 使是真命题， 则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知在上能成立，参变分离，构造函数，求出函数在上的最小值即可. 【详解】因为 使是真命题，所以在上能成立，即在上能成立， 设，开口向上，且对称轴为，所以在上的最小值为，故， 故选：C. 7. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到的取值范围. 【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数 令，解得：， 即实数的取值范围为 故选： 【点睛】本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的性质可确定定义域. 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出分段函数的图象，然后判断函数的单调性和最值，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图象如图所示： 由的对称轴是，且， 当时，是增函数， 且，所以， 所以，又，故． 故选：A． 二、多选题（每题6分） 9. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 11. 已知，则满足的关系有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的解析式，对四个选项逐个分析可得答案. 【详解】因为， 所以==，即不满足A选项； ==，=，即满足B选项，不满足C选项， ，，即满足D选项． 故选：BD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（每题5分） 12. 设若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值，进而求得结果. 【详解】若，则，由，得，即， 解得：（舍去）或； 若，由，得，该方程无解. 综上可知，， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数方程的求解，注意分类讨论a的取值范围，根据分段函数的解析式代入解方程即可，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】#### 【解析】 【分析】先由题意得到“，”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果. 【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题. 当时，集合，符合. 当时，因为， 所以由，，得对于任意恒成立， 又，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】如图所示，作于E，设，，在中利用勾股定理得出一个关于b、h的等式，并用均值不等式放缩得到关于面积的一个不等式，即可得到题目所要求的等腰三角形的面积最大值． 【详解】如图所示，作于E，于F，则，又因为D为中点，所以，设，，故，在中，由可得，，即， 当且仅当等号成立，此时，，所以， ． 故答案为：4． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据元素与集合的关系可得关于的不等式，故可求其范围； （2）根据条件关系的集合的包含关系，从而可得关于的不等式，故可求其范围. 【小问1详解】 因为且，故，故. 【小问2详解】 ， 因为是的必要不充分条件，故为的真子集， 而，故且即. 16. 已知函数满足，函数满足． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【小问1详解】 令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. 【小问2详解】 因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 17. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． （1）设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由总利润=销售量-每件纯赚利润，得即可求解； （2）结合（1）列不等式得出，再结合题意计算出厂价列式求参总差价即可. 【小问1详解】 依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为； 【小问2详解】 由每月获得的利润不小于元，即， 即，即，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则，由， 得，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元． 18. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 【解析】 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【小问1详解】 即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 【小问2详解】 即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 19. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． （1）老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； （2）研究的最小值； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）模仿例题，结合提示证明，由此可求结论； （2）先证明，由此可求的最小值； （3）先证明，由此可求的最小值. 【小问1详解】 由，结合提示可得，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为； 【小问2详解】 由，， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为． 【小问3详解】 由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取到最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中一年级上学期上学期开学第一次诊断性测试 数学试题 注意事项： 1.本试卷分为Ⅰ（选择题）和ⅠⅠ（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（每题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把称为取整函数，表示不超过的最大整数．那么“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集是，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 已知函数的定义域为,则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 使是真命题， 则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知，则满足的关系有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（每题5分） 12. 设若，则________． 13. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 14. 如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为，则该等腰三角形的面积最大值为______． 四、解答题 15. 已知集合，． （1）若且，求实数的取值范围； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数满足，函数满足． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的值域． 17. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． （1）设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 18. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 19. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． （1）老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； （2）研究的最小值； （3）当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $