精品解析：福建省连城县第一中学2025-2026学年高一上学期入学考试数学试题

连城一中2025级新生入学考试（数学）试题 考试时间：90分钟 分值：150分 一、单选题（本题共6小题，每题8分，共48分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集可判断BC的正误，根据元素与集合的关系可判断A的正误，根据集合的关系可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，为的一个元素，故不正确，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故成立，故D正确， 故选：D. 2. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式化简集合B，然后利用集合运算表示阴影部分，最后写出所有的真子集即可求解. 【详解】因，所以或， 又， 而图中阴影部分表示的集合为或， 所以的真子集为，，，，，，，共7个. 故选：C. 3. 关于不等式的解为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组并求解. 【详解】原不等式等价于①，或②， 解①得或，解②无解； 所以原不等式的解为或， 故选：D 4. 代数式的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论和的正负，去掉绝对值符号，根据不等式的性质，求出代数式的最小值. 【详解】因，且, 所以，当时，； 当时，； 当时，. 综上所述，代数式的最小值为3. 故选：A. 5. 1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（ ） A. ①④ B. ①② C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义判断选项即可. 【详解】解：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数. 故选:A 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④.其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可得解. 【详解】由图象与轴有2个交点可知，判别式，即，故①正确； 由二次函数图象知，，即，所以， ，故②③错误； 由图象对称性知，大于函数与正半轴交点横坐标，所以当时，，故④正确. 故选：A 二、多选题（本题共2小题，每题9分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7. 下列选项不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 空集是任何集合的子集 C 任何集合至少有两个子集 D. 满足方程组的点集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的定义、性质及子集的定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由得或或，因，则或， 则列举法表示为，故A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，空集只有一个子集，即空集本身，故C错误； 对于D，由得，故点集为，则D错误. 故选：ACD 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（ ） A. 当时，， B. C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意得，函数与图象有两个交点，进而数形结合即可得答案. 【详解】解：A中，时，方程为，解为：，，所以A正确； B中，方程整理可得：，由不同两根的条件为：，所以，所以B正确. 当时，在同一坐标系下，分别作出函数和的图像，如图， 可得，所以C不正确，D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据一元二次方程的实数根求参数问题，解题的关键是将问题转化为函数与图象有两个交点问题，进而数形结合解决.考查数形结合思想和化归转化思想，是中档题. 三、填空题（本题共3小题，共18分） 9. 若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 10. 函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式、分式的意义，以及0次方列出不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 11. 已知，则关于的不等式的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，即， 所以解关于的不等式等价于解不等式， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共4小题，共66分） 12. 设全集，集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将集合化简，再由集合交集的运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件得，分和讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 ∵全集，集合， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， 又∵集合， 当时，，解得； 当时，由得，解得：； 综上所述：的取值范围是. 13. 已知关于的方程有两个实数根，且，求的值. 【答案】或 【解析】 【分析】利用韦达定理得，，再根据条件可得出或，从而可求出结果. 【详解】关于的方程有两个实数根， 则，得到， 又由韦达定理知，，， 又因为，整理得到，，即， 所以或，得到或， 又，所以或. 14. 根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】证明：，，且， ， ，，，， 则，即， 所以函数在区间上单调递增. 15. 已知函数. （1）用分段函数形式表示该函数； （2）在上边所给的直角坐标系中画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域及函数值随自变量变化趋势（不要求证明）. 【答案】（1） （2）图象见解析 （3），答案见解析 【解析】 【分析】（1）去掉绝对值，分情况表示函数解析式即得； （2）根据分段函数中每一段上的解析式画图即可； （3）根据图象，数形结合即可写出函数的值域及函数值随自变量变化趋势. 【小问1详解】 由函数， 可知当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 函数图象如图所示： 【小问3详解】 由图象可知函数的值域为， 当时，函数值随自变量的增大而增大， 当时，函数值随自变量的增大而减小， 当时，函数值随自变量的增大而增大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连城一中2025级新生入学考试（数学）试题 考试时间：90分钟 分值：150分 一、单选题（本题共6小题，每题8分，共48分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 关于的不等式的解为（ ） A. 或 B. 或 C 或 D. 或 4. 代数式的最小值是（ ） A B. C. D. 5. 1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（ ） A. ①④ B. ①② C. ①②④ D. ①③④ 6. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④.其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C ①③④ D. ①②③④ 二、多选题（本题共2小题，每题9分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 7. 下列选项不正确的是（ ） A. 集合用列举法表示为 B. 空集是任何集合的子集 C. 任何集合至少有两个子集 D. 满足方程组点集为 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（ ） A. 当时，， B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，共18分） 9. 若，则_______. 10. 函数的定义域为_________. 11. 已知，则关于的不等式的取值范围是________. 四、解答题（本题共4小题，共66分） 12. 设全集，集合，. （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围. 13. 已知关于的方程有两个实数根，且，求的值. 14. 根据定义证明函数在区间上单调递增. 15. 已知函数. （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）在上边所给的直角坐标系中画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域及函数值随自变量变化趋势（不要求证明）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$