精品解析：2019-2020学年广东省实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

2019-2020学年广东省实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题 1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3） 2. 下列说法正确的是(   ) A. 同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等 B. 90°的圆心角所对的弦是直径 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 三点确定一个圆 3. 在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（　　） A. 10 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆的直径，是圆上的一点，，则的长度是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 7. 如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　） A. 55° B. 110° C. 120° D. 125° 8. 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（　　） A. （-4，-3） B. （-3，-3） C. （-3，-4） D. （-4，-4） 9. 函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式满足如右图，那么直线y＝acx+b的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 二、填空题 11. 已知函数，当满足__________时，该函数是二次函数． 12. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为___________________． 13. 设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________． 14. 二次函数的图像如图所示，根据图像可知：当k_______时，方程有两个不相等的实数根． 15. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 16. 如图，是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是________．（只要求填写正确命题的序号） 三、解答题 17. 如图，在中，点是弧的中点，于，于，求证：． 18. 一个函数y＝2x+3与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且点B是抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）请在给出的平面直角坐标系中画出一次函数和二次函数的简图（无需列表），并根据简图写出： 当x满足　 　时，两个函数的值都随x的增大而增大？ 当x满足　 　时，二次函数的函数值大于零？ 当x满足　 　是，二次函数的值大于一次函数的值？ 19. 如图，是的外接圆，于点D，圆心O在上，，，求的半径． 20. 如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥？ 21. 在直角坐标平面内，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于点、，且． （1）求二次函数的解析式； （2）将上述二次函数图象沿轴向右平移个单位，设平移后的图象与轴的交点为，顶点为，求的面积． 22. 已知二次函数的图象过点 （1）求证：； （2）求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点； （3）若二次函数的图象与x轴交于点、，，求b的值． 23. 已知二次函数与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出：C（____，____），D（____， ____）； （2）x轴上是否存在一点P，使得最短？若存在，求出P点的坐标，若P点不存在，请说明理由； （3）x轴上是否存在一点Q，使得的值最小？若Q点存在，求出Q点的坐标；若Q点不存在，请说明理由． 24. 如图所示，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m＞0)个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． (1)求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理)； (2)在x轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m的式子表示)；若不存在，请说明理由； (3)设△PCD的面积为S，求S关于m的关系式． 25. 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点、间的一个动点（含端点），过点作的垂线，垂足为，点、的坐标分别为，，连接、、． （1）求出抛物线的解析式； （2）小明探究点的位置时发现；当点与点或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由； （3）请求出的周长最小时点的坐标； （4）若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2019-2020学年广东省实验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题 1. 抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ） A. （2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （﹣2，﹣3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，直接可得结果； 【详解】∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式， ∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2. 下列说法正确的是(   ) A. 同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等 B. 90°的圆心角所对的弦是直径 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 三点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断． 【详解】A选项：弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确； B选项：90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误； C选项：应强调这条弦不是直径，故本选项错误； D选项：不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误． 故选A． 【点睛】考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键． 3. 在同一坐标系中，图象与的图象关于x轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，因而用-y代替y，x不变，代入解析式就得到与的图象关于x轴对称的函数． 【详解】解：所求抛物线与已知抛物线的图象顶点相同，开口大小相同，只有开口方向相反，故它们的二次项系数互为相反数，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握关于x轴对称的点的坐标是：横坐标相等，纵坐标互为相反数是解答本题的关键． 4. 已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（　　） A. 10 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可． 【详解】解：原式可化为：y＝（x﹣3）2﹣9+m， ∵函数的最小值是1， ∴﹣9+m＝1， m＝10． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键． 5. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，圆的直径，是圆上的一点，，则的长度是（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质求出即可．本题考查了圆周角定理和含角的直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出是解此题的关键． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， 故选：． 7. 如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（　　） A. 55° B. 110° C. 120° D. 125° 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 详解：根据圆周角定理，得 ∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°． 故选D． 点睛：此题考查了圆周角定理． 注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系． 8. 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（　　） A. （-4，-3） B. （-3，-3） C. （-3，-4） D. （-4，-4） 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出A、D、C的坐标，再利用平行四边形的性质得出B点坐标． 【详解】解：令y=0，可得x=3或x=-1， ∴A点坐标为（-1，0）；D点坐标为（3，0）； 令x=0，则y=-3， ∴C点坐标为（0，-3）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵AD=BC=4， ∴B点的坐标为（-4，-3）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质，掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键． 9. 函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式满足如右图，那么直线y＝acx+b的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b和c的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向上可知a＞0， 对称轴x＝＞0，得b＜0． 又知当x＝0时，y＝c＞0， 所以一次函数y＝acx+b的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的性质，掌握图像性质利用数形结合思想解题是本题的关键. 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键． 二、填空题 11. 已知函数，当满足__________时，该函数是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的意义，可得答案． 【详解】由题意，得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零． 12. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为___________________． 【答案】y=3+3 【解析】 【分析】利用函数平移的过程中向左、向右，向上、向下平移抛物线中的变化规律即可求解． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位， 那么得到新的抛物线为+3， 在把抛物线为+3再向左平移2个单位， 得到新的抛物线为， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的平移，解答本题的关键是掌握平移的概念，在平移的过程中向左、向右，向上、向下平移抛物线中的变量怎么变化． 13. 设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系． 【详解】解：抛物线， 对称轴为， ， 点关于的对称点， ， 在的右边随的增大而减小， ，，，， ， 故答案选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小． 14. 二次函数的图像如图所示，根据图像可知：当k_______时，方程有两个不相等的实数根． 【答案】＜2 【解析】 【分析】当二次函数图象与x轴有两个交点时方程有两个不相等的实数根，当有一个交点时方程有两个相等的实数根，当没有交点时方程没有实数根．方程ax2+bx+c＝k对应的二次函数图象是y＝ax2+bx+c的图象在下移动k个单位得到的．根据根的个数与图象与x轴交点个数的关系可求出k的取值范围． 【详解】解：由分析得方程ax2+bx+c＝k的图象是方程ax2+bx+c＝0的图象向下移动k个单位得到的． 方程ax2+bx+c＝0的图象向下移动两个单位时图象与x轴有一个交点，当向下移动的距离大于2时图象与x轴没有交点，所以k＜2； 综上所述要使方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围为：k＜2； 故答案为：k＜2． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系；解题关键是利用数形结合思想，通过平移函数图像直观得到答案． 15. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 【答案】（－1，－2） 【解析】 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可． 【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD═DB=DA=， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为（﹣1，﹣2）， 【点睛】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置． 16. 如图，是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是________．（只要求填写正确命题的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据-=-1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是（-3，0），（1，0）；由a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0，根据结论判断即可． 【详解】解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确； ∴b=2a，∴②错误； 根据图象关于对称轴x=-1对称， 与x轴的交点是（-3，0），（1，0），∴③正确； ∵b=2a＞0， ∴-b＜0， ∵a+b+c=0， ∴c=-a-b， ∴a-2b+c=a-2b-a-b=-3b＜0， ∴④错误． 故答案为①③． 【点睛】本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键． 三、解答题 17. 如图，在中，点是弧的中点，于，于，求证：． 【答案】 证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴OC平分∠AOB ∵，， ∴ 【解析】 【分析】连接，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可证出，然后根据角平分线的性质即可证出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查的是圆的基本性质和角平分线的性质，掌握在同圆中，等弧所对的圆心角相等和角平分线的性质是解决此题的关键． 18. 一个函数y＝2x+3与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且点B是抛物线的顶点． （1）求二次函数的解析式； （2）请在给出的平面直角坐标系中画出一次函数和二次函数的简图（无需列表），并根据简图写出： 当x满足　 　时，两个函数的值都随x的增大而增大？ 当x满足　 　时，二次函数的函数值大于零？ 当x满足　 　是，二次函数的值大于一次函数的值？ 【答案】（1）y＝﹣x2+6x；（2）作图见解析，x＜3，0＜x＜6，1＜x＜3． 【解析】 【分析】（1）把A（m，5）和B（3，n）分别代入y＝2x＋3中解得m＝1，n＝9，所以求得A（1，5），B（3，9），用顶点式表示出来二次函数的解析式为y＝a（x−3）2＋9，把A（1，5）代入上式得a＝−1，求出二次函数解析式； （2）根据描点的方法和函数图象的对称性作图即可；根据图形的和函数的单调性求得当x＜3时，当0＜x＜6时，二次函数的函数值大于零；一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大；当1＜x＜3时，二次函数大于一次函数值． 【详解】解：（1）把A（m，5）和B（3，n）分别代入y＝2x+3中， 解得m＝1，n＝9， ∴A（1，5），B（3，9）， ∵点B（3，9）是抛物线的顶点， 设二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2+9， ∴a＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+9＝﹣x2+6x； （2）一次函数图象和二次函数图象如图所示； 从图象上观察： 当x＜3时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大； 当0＜x＜6时，二次函数的函数值大于零； 当1＜x＜3时，二次函数大于一次函数值． 故答案为：x＜3，0＜x＜6，1＜x＜3． 【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式和二次函数的性质及其作图．要注意：当a＜0时，图象开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 19. 如图，是的外接圆，于点D，圆心O在上，，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】连接，垂径定理，得到，勾股定理求出的长，设圆的半径是R，在中，根据勾股定理可以得到：，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵是的高． ∴， 在中，． 设圆的半径是R． 则． 在中，根据勾股定理可以得到：， 解得：． ∴的半径为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 20. 如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥？ 【答案】12 【解析】 【分析】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，从而得到其顶点坐标，继而得出警戒线到拱桥顶的距离，据此可得答案． 【详解】解：以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c. 则B点坐标为(2,0),N点坐标为(2,3), 故，解得：， 即y= －x2+6.其顶点为(0,6), (6－3)÷0.25=12小时. 答：水过警戒线后12小时淹到拱桥. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 21. 在直角坐标平面内，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于点、，且． （1）求二次函数的解析式； （2）将上述二次函数图象沿轴向右平移个单位，设平移后的图象与轴的交点为，顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用一元二次方程根和系数的关系可得，，进而代入求出的值即可求解； （）求出平移后的函数解析式，进而得到点和点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可； 本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的几何应用等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：（）∵二次函数的图象交轴于点、， ∴，， ∵， ， 解得， ； 【小问2详解】 由（）知，， ∴二次函数的图象沿轴向右平移个单位后的解析式为， 当时，， 的图象与轴的交点为，顶点为， 点的坐标为，点的坐标为， ，点到的距离是， ． 22. 已知二次函数的图象过点 （1）求证：； （2）求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点； （3）若二次函数的图象与x轴交于点、，，求b的值． 【答案】（1） 证明：将点代入可得：， 整理得：； （2） 证明：令可得一元二次方程：， 此方程， 由可得， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， ∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点； （3），； 【解析】 【分析】（1）将点P代入二次函数化简即可证明； （2）令得到一元二次方程：，再利用（1）题结论求得方程的即可确定二次函数与x轴的交点个数； （3）由可得，两边平方可得，再化为，在一元二次方程中利用根与系数关系可得和的表达式，然后再代入解方程便可求得b值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 在一元二次方程中，由根与系数关系可得： ，， ∵， ∴， 代入可得：， 整理得：， 解得：，； 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标意义，二次函数的图象与x轴的交点，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键． 23. 已知二次函数与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出：C（____，____），D（____， ____）； （2）x轴上是否存在一点P，使得最短？若存在，求出P点的坐标，若P点不存在，请说明理由； （3）x轴上是否存在一点Q，使得的值最小？若Q点存在，求出Q点的坐标；若Q点不存在，请说明理由． 【答案】（1），；， （2）存在， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把代入，即可得出点的坐标，然后把配方为顶点式，即可得出顶点的坐标； （2）连接交轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，然后令，即可求出点的坐标； （3）设点，用表示出的值，然后利用二次函数的最值问题，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，即点的坐标为， ∵， ∴顶点的坐标为； 故答案为：，；， 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图，连接交轴于点，则点为所求， 设的解析式为， 将点、的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴的解析式为， 当时，即， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设点， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴有最小值，此时，， ∴点． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及二次函数的一般式转化为顶点式、二次函数的图象与性质、一次函数、勾股定理等，本题求最值的方法比较新颖，难度不大． 24. 如图所示，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m＞0)个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． (1)求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理)； (2)在x轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m的式子表示)；若不存在，请说明理由； (3)设△PCD的面积为S，求S关于m的关系式． 【答案】（1）点A的坐标为(2，0)，△PCA是等腰三角形；（2）存在OC＝AD＝m，OA＝CD＝2； （3）， 【解析】 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得的坐标； （2）根据平移可得，根据二次函数的性质以及平移的性质可得 （3）分情况讨论，由于当时，不存在△PCD，在分和两种情况讨论，分别求得的长，进而根据三角形的面积公式进行计算即可 【详解】（1）先令，得x1＝0，x2＝2． ∴ 点A的坐标为(2，0)． 根据二次函数的对称性可知，平移后的图象与原图象关于经过点平行于轴的直线成轴对称，则△PCA是等腰三角形． （2）存在，根据平移可知OC＝AD＝m， ,则OA＝CD＝2． OC＝AD＝m，OA＝CD＝2． （3）当0＜m＜2时，如图所示，作PH⊥x轴于H，设． ∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝2-m， ∴． ∴． 把代入， 得． ∵CD＝OA＝2， ∴． 当时，不存在△PCD 当m＞2时，如图所示，作PH⊥x轴于H，设． ∵A(2，0)，C(m，0)， ∴AC＝m-2． ∴． ∴． 把代入， 得． ∵CD＝OA＝2， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，二次函数的图象的对称性，二次函数的平移问题，二次函数与坐标轴交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 25. 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点、间的一个动点（含端点），过点作的垂线，垂足为，点、的坐标分别为，，连接、、． （1）求出抛物线的解析式； （2）小明探究点的位置时发现；当点与点或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值．请你判定该猜想是否正确，并说明理由； （3）请求出的周长最小时点的坐标； （4）若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在有多少个“好点”？请直接写出“好点”的个数． 【答案】（1）； （2） 解：正确，理由如下， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴对于任意一点，与的差为定值； （3）； （4）存在个好点． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及两点间距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键． （）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （）首先表示出，点坐标，再利用两点之间距离公式得出，的长，进而求出即可； （）根据题意当、、三点共线时，最小，进而得出点坐标； （）利用的面积可以等于到所有整数，在面积为时，的值有两个，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点， ∴，， 设抛物线解析式为：，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在点运动时，大小不变，则与的和最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，最小， 此时点，的横坐标都为， 将代入，得， ∴，此时的周长最小； 【小问4详解】 解：由（）得：， ∵点、的坐标分别为，， 当时， ∴ ， ∴时，随的增大而减小， 当时，，当时，， ∴； 当时，，； 时， ∴ ， 当时，有最大值，当或时，， ∴； 当时，， ∴的面积可以等于到所有整数，在面积为时，的值有两个， 所以面积为整数时好点有个，即存在个好点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $