精品解析：2024-2025学年北师大版八年级数学上册期末数学检测卷

北师大八年级数学（上）期末检测卷 时间 100分钟 分数 120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，为无理数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义，分别判断每个选项是有理数还是无理数．本题主要考查了无理数（无限不循环小数）和有理数（整数和分数统称有理数）的定义，熟练掌握无理数与有理数的概念是解题的关键． 【详解】解：是分数，分数属于有理数，故A项错误． 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故B项正确． ，是整数，整数属于有理数，故C项错误． ，是整数，整数属于有理数，故D项错误． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的值可能是（ ） A. 3 B. 0 C. 2 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据第二象限点的纵坐标大于0列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴A符合题意． 故选A． 3. 如图，，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ） A. 8.3分 B. 8.4分 C. 8.5分 D. 8.6分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （分）． 故小彩的最终比赛成绩为分． 故答案为：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点 B 的横坐标介于 （ ） A. 2 和3 之间 B. 3和4 之间 C. 4 和5 之间 D. 5 和6 之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键． 根据勾股定理可得的长，再由作法得：，可得到点 B 的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴， 由作法得：， ∴点 B 的横坐标为， ∵， ∴， ∴点 B 的横坐标介于3和4 之间． 故选：B 6. 若是一次函数图象上不同两点，且，则a 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减小”是解题的关键． 根据可得出与异号，进而得出，解之即可得出结论． 【详解】解：， 与异号， ∴当时，，当时，， ∴y随增大而减小， ∵， ∴，解得：． 故选：D． 7. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设制作大灯盏，小灯盏，由题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设制作大灯盏，小灯盏， 由题意得，， 故选：． 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：A． 9. 某公司市场营销部的个人收入（元）与其每月的销售量（万件）成一次函数关系，其图象如图所示，营销人员没有销售量时最低收入是（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像可得出：一次函数经过点和，利用待定系数法求出一次函数的表达式，再把代入求解即可． 【详解】解：由图可得：一次函数经过点和 ∴设一次函数的解析式为：，把点和代入得： 解得： ∴ ∴把代入得： 故答案选B 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像应用，利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 10. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点，则的面积是（ ） A. 72 B. 78 C. 84 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用、勾股定理等知识点，根据图形和图像信息确定相关线段长度是解题的关键． 根据图像可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出、、的长度以及边边上的高，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：根据图像可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图像可知：点P从B向C运动时，的最大值为，即， 由于M是曲线部分的最低点，此时最小， 如图，即， ∴由勾股定理可知：， 由于P最终到达点A，则， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，点的坐标，先根据算术平方根的定义得到，进而判断点的横、纵坐标的取值范围解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴，， ∴点第一象限， 故答案为：一． 12. 如果直线经过点，则直线与轴的交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像与坐标轴交点的坐标特征，掌握坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．将点的坐标代入直线的解析式得到b的值，即可得到直线的解析式，然后令，从而可求得对应的值，即可获得答案． 【详解】解：将点代入直线， 得， 解得， ∴该直线解析式为， 令，可得到， ∴此直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 13. 若 ，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 空白部分的面积和为． 故答案为：171． 15. 如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式乘法法则展开式子，再化简二次根式，最后合并同类二次根式得出结果． （2）采用加减消元法，给方程①乘以后与方程②相加，消去，求出的值，再把的值代入方程①求出的值，得到方程组的解． 本题主要考查了二次根式的混合运算、二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式乘法法则和加减消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解∶（1）原式 （2）由①②得， 解得． 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 17. 若点在x 轴上，正实数m的两个平方根分别为和，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，代数式求值，在x轴上的点的坐标特点，先根据在x轴上的点纵坐标为0，一个正数的两个平方根互为相反数求出a，b的值，进而求出m的值，据此代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵点在x 轴上，正实数m的两个平方根分别为和， 则， 解得 ， ， ， 的算术平方根为． 18. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： （1） ， ， ； （2）从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 【答案】（1）88，88，90 （2）乙 （3）乙公司套餐的品质较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式，利用乙公司套餐得分及样品数量求出平均数．将甲公司套餐得分从小到大排列后，根据中位数的定义找出中间位置的数得到．在乙公司套餐得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算甲、乙两家公司套餐得分的方差，根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较两家公司方差大小来判断哪家公司套餐得分更稳定． （3）综合平均数、中位数、众数以及方差等统计量，分析哪家公司套餐品质较好． 【小问1详解】 解： 甲公司套餐得分从小到大排列为，中间位置的数是， ∴． 乙公司套餐得分中出现的次数最多， ∴． 故答案为：，，． 小问2详解】 解：甲公司套餐得分的方差， 乙公司套餐得分的方差， ∴， ∴乙公司套餐的得分较稳定． 故答案为：乙 【小问3详解】 解：乙公司套餐的品质较好，理由如下： 从平均数看，甲公司套餐平均分，乙公司套餐平均分，两者平均分相同． 从中位数看，甲公司套餐得分中位数，乙公司套餐得分中位数，乙公司中位数更高． 从众数看，甲公司套餐得分众数，乙公司套餐得分众数，甲公司众数更高，但乙公司分出现的频次相对整体数据分布更有优势（结合数据整体情况）． 从方差看，乙公司套餐得分方差更小，说明乙公司套餐得分更稳定． 综合来看，乙公司套餐品质较好．因为乙公司套餐得分的中位数更高且得分更稳定，虽然甲公司有较高众数，但乙公司在整体数据的稳定性和中间水平上表现更优． 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差的计算以及利用这些统计量对数据进行分析和比较．熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键． 19. 如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（）顶端有一根绳子（），自然垂下后，绳子底端离地面还有（即），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌处（即点到的距离为），绳子正好拉直，已知工作人员身高（）为，求宣传牌（）的高度． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，设，根据勾股定理列方程，求出AF，再根据矩形性质，加上DE长即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 由题意，得，，，， ∴． 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得． ∴． 答：宣传牌（）的高度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和矩形的性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理建立方程是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）分别画出关于轴、轴对称的，； （2）分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数），找出各顶点的对称点，再顺次连接得到对称三角形． （2）利用轴对称的性质，将四边形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，通过作对称点，连接对称点得到直线，求直线与坐标轴交点来确定、坐标 ． 【小问1详解】 解：如图所示的和即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，连接交轴于点，交轴于点，则点，即为所求作.设直线的函数表达式为， 将点，分别代入得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 当时，解得； 当时，解得． ∴点，的坐标分别为，． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换（关于坐标轴对称的点的坐标变化规律）以及利用轴对称解决最短路径问题（两点之间线段最短），熟练掌握轴对称的性质和坐标变换规律、两点之间线段最短是解题的关键． 21. 如图，已知 ，为上的一点， ． （1）求证：； （2）请用无刻度的直尺和圆规过点作交于点，若 ，求的度数（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，尺规作平行线． （1）根据，得出，结合，得出，即可证明． （2）根据尺规作平行线方法作图如图所示，根据三角形内角和定理得出，根据，得出，又由（1）知，得出． 【小问1详解】 证明： ， ， 又 ， ， ． 【小问2详解】 解：如图所示，， ， 又， ， 又由（1）知， ． 22. 某公司计划购进A，B两种多媒体共50套进行销售，这两种多媒体的进价与售价如表所示． 类型 A B 进价/（万元/套） 3 2.4 售价/（万元/套） 3.3 2.8 （1）若购进这两种多媒体共需资金132万元，则该公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若购进A种多媒体m套，则当m取何值时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该公司计划购进A种多媒体20套，B种多媒体30套 （2）当m取10时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大，最大利润是19万元 【解析】 【分析】（1）通过设未知数，利用两种多媒体的总数以及购进所需资金这两个条件，建立二元一次方程组来求解购进A、B两种多媒体的数量． （2）先根据利润的计算方法（利润=单套利润×数量），分别表示出A、B两种多媒体的利润，从而得出总利润关于m的一次函数表达式，再根据一次函数的性质（当斜率小于0时，函数值随自变量增大而减小），结合m的取值范围，求出利润最大时m的值和最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握列方程组解应用题的步骤和一次函数的增减性是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该公司计划购进A种多媒x套，B种多媒体y套.根据题意，得 解得 ∴该公司计划购进A种多媒体20套，B种多媒体30套； 【小问2详解】 解：设把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润为w元.根据题意，得 又∵，， ∴当时，， ∴当m取10时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大，最大利润是19万元． 23. 综合与实践 在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，顶点恰好落在点处，则顶点的坐标为； 【类比探究】 （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点，，过点作线段且，直线交轴于点． ①求直线的函数表达式和点的坐标； 【拓展探究】 ②如图③，点'是点关于轴的对称点，，分别为直线，轴上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点，的坐标． 【答案】（1）；（2）①，；②点P，Q的坐标分别为或 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造全等三角形（），利用全等三角形对应边相等求出点的坐标． （2）①先求出直线与坐标轴交点、坐标，再作辅助线构造全等三角形（）得到点坐标，最后用待定系数法求直线的函数表达式． ②先根据对称得到坐标，设出、坐标，分两种情况（且；且 等，解析中是通过构造全等三角形求解），利用全等三角形性质列方程求出、坐标． 【详解】解：（1）分别过点，作轴于点，轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 点； （2）①令，解得； 令，则， 点，点， ，， 过点作轴于点，则， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， 点， 设直线的函数表达式为， 将点，分别代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 当时， 解得， 点； ②点是点关于轴的对称点， 点， 设点，， 若是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 分如下两种情况讨论： (i)当在点左侧时， 如答图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，； (ii)当在点右侧时，如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则同①可得， ，， ，， 解得，， 此时点，， 综上所述，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点，的坐标分别为或 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形变换（对称），熟练掌握全等三角形的判定与性质以及一次函数相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大八年级数学（上）期末检测卷 时间 100分钟 分数 120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，为无理数的是 （ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的值可能是（ ） A. 3 B. 0 C. 2 D. －4 3. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 小彩参加“新时代好少年”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分（每项满分为10分）．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小彩的最终比赛成绩为（ ） A. 8.3分 B. 8.4分 C. 8.5分 D. 8.6分 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点 B 的横坐标介于 （ ） A 2 和3 之间 B. 3和4 之间 C. 4 和5 之间 D. 5 和6 之间 6. 若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 7. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 10 D. 8 9. 某公司市场营销部的个人收入（元）与其每月的销售量（万件）成一次函数关系，其图象如图所示，营销人员没有销售量时最低收入是（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 10. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图像，其中是曲线部分的最低点，则的面积是（ ） A. 72 B. 78 C. 84 D. 90 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 12. 如果直线经过点，则直线与轴的交点坐标是_______． 13. 若 ，则_______． 14. 在大长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中空白部分的面积之和为_______． 15. 如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程组： 17. 若点在x 轴上，正实数m的两个平方根分别为和，求的算术平方根． 18. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理得到下面的统计图表： 甲、乙两家公司套餐得分统计图 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 C 根据以上信息，请回答下列问题： （1） ， ， ； （2）从方差的角度看， （填“甲”或“乙”）公司套餐的得分较稳定； （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 19. 如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（）顶端有一根绳子（），自然垂下后，绳子底端离地面还有（即），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌处（即点到的距离为），绳子正好拉直，已知工作人员身高（）为，求宣传牌（）的高度． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）分别画出关于轴、轴对称的，； （2）分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 21. 如图，已知 ，为上的一点， ． （1）求证：； （2）请用无刻度的直尺和圆规过点作交于点，若 ，求的度数（保留作图痕迹，不写作法）． 22. 某公司计划购进A，B两种多媒体共50套进行销售，这两种多媒体进价与售价如表所示． 类型 A B 进价/（万元/套） 3 2.4 售价/（万元/套） 3.3 2.8 （1）若购进这两种多媒体共需资金132万元，则该公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若购进A种多媒体m套，则当m取何值时把购进的两种多媒体全部售出后能获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 综合与实践 在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究： 【操作猜想】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，顶点恰好落在点处，则顶点的坐标为； 【类比探究】 （2）如图②，直线与轴、轴分别交于点，，过点作线段且，直线交轴于点． ①求直线的函数表达式和点的坐标； 【拓展探究】 ②如图③，点'是点关于轴对称点，，分别为直线，轴上的动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点，的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$