第二十三章 旋转 单元练习-2025-2026学年人教版九年级上册数学

第二十三章 旋转 单元练习-2025-2026学年九年级上册人教版数学 一、选择题 1．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，O是正三角形ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 BO'，连接AO'，下列结论：①△BO'A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点 O 与点 O'的距离为4；③∠AOB=150°；(④S四边形AOBO' =6+3 其中正确的结论是(　　). A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 5．如图，在 Rt△ABC 中，AB=AC，点 D 为BC 中点，∠MDN=90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM，DN 分别与边AB，AC 交于E，F两点，下列结论： ；②S△AEF≤ S△ABC；③=AD·EF；④AD≥EF；⑤AD 与EF 可能互相平分. 其中正确结论的个数是(　　). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 7．如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（　　） A．80° B．90° C．85° D．95° 8．如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．120 B．90 C．60 D．45 10．如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　． 12．若点与点关于原点对称，则的值是　 　． 13．平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则　 　． 14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，若点 P 是△ABC内一 点，则 PA + PB + PC 的 最小值为　 　. 15．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是　 　． 16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为　 　 17．如图，O是正内一点，，，．将线段绕B逆时针旋转得到线段，那么　 　 ． 18．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，若，，，则的长为　 　． 三、解答题 19．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的图形； （2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　． 20．如图，是绕O点旋转40°后所得的图形，点C恰好在上，，求的度数． 21．如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到. （1）求的度数； （2）若，，求的长. 22．如图，绕点旋转后能与重合． （1），，求的长； （2）延长交于点，，求的度数． 23．如图，线段MN=4，点A在线段MN上，且AM=1，点B为线段AN上的一个动点．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，旋转角分别为α和β．若旋转后M，N两点重合成一点C(即构成△ABC)，设AB=x． （1）△ABC的周长为　 　， （2）若α+β=270°，求x的值． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项B不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项C不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此进行判断即可． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意； B不是中心对称图形，不符合题意； C不是中心对称图形，不符合题意； D是中心对称图形，符合题意 故答案为：D 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 3．【答案】A 【解析】【解答】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故答案为：A． 【分析】根据旋转的性质每组对应点与旋转中心的距离相等，可知点P就是两组对应点连线的垂直平分线的交点，故而只需连接，分别作和的线段垂直平分线，两线相交于点P，再根据图形即可得出点P的坐标。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：线段BC 绕点B 逆时针旋转60° 至BA的位置，所以①正确； 如图①，连接OO'可构成等边三角形OO'B，故而OO'=OB=4，所以②正确； 由①知O'A=CO=5，由②知OO'=4，所以OA2+OO'2=25=O'A2，故而∠AOO'=90°，又知∠AOO'=60°，所以 ∠AOB=150°，所以③正确； S四边形AOBO' =S+S=，所以④错误； 如图②，把 △ AOB绕点A旋转60°到 △ AO''C的位置，连接OO''可得出 △ AOO''为等边三角形，Rt△OCO''，进一步得出，所以⑤正确。 故答案为：A 【分析】根据旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理以及三角形的面积计算公式，可分别推理计算，即可得出正确答案。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，AB=AC，点 D 为BC 中点， ∴∠EAD=∠C=45°，AD=， 又∵ ∠MDN=90°， ∴∠ADE+∠ADN=∠CDF+∠ADN=90°， ∴∠ADE=∠CDF， ∴△AED≌△CFD， ∴AE=CF， ∴BE+AE=BE+CF=AB， 在 Rt△ABC 中，AB=AC， ∴AB=， ∴BE+CF=，即①正确； 设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x， ∴ ∴S △AEF 有最大值 即S △AEF≤ 又S △ABC=， ∴S △AEF≤ 14 S△ABC； 即②成立； 在 Rt△AEF 中，EF最小值为 ∴≠ AD·EF ，即③④不正确； 当AEDF为矩形时， AD 与EF 互相平分.即⑤正确。 综上，①②⑤正确。 故答案为：C。 【分析】首先根据ASA证得△AED≌△CFD，得出AE=CF，进而得出①正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x，根据三角形面积计算公式，可得出，得出面积最大值为而 △ABC 为 进而得出②正确；再根据勾股定理表示出可得出EF的最小值为即可得出，进而得出④不正确，再根据 ≠ AD·EF 可得出③不正确；根据平行四边形对角线互相平分的四边形，可得出⑤正确，综上即可得出答案。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得AB=AD，∠ABD=40°， ∴∠DAB==70°， ∵AD∥BC， ∴∠ABC=∠BAD=70°， ∵∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE， ∴∠CBE=∠ABD=40°， ∴∠ABE=30°. 故答案为：B. 【分析】根据旋转的性质得出AB=AD，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAB的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据角的和差关系得到∠CBE=∠ABD，即可解答. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵将逆时针旋转α（），得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】由旋转的性质得，由等边对等角及三角形的内角和定理求得的度数，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB'C'， ∴∠CAC'=20°，AC=AC'，∠ACB=∠C'， ∴∠ACB=∠C'=-(180°-∠CAC')=-(180°-20°)=80°， 故答案为：C. 【分析】根据旋转的性质得出∠CAC'=20°，AC=AC'，∠ACB=∠C'，即可推出结果. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故答案为：A． 【分析】把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角；观察题目中的风力发电机转子叶片图案，可以看出该图案具有3次旋转对称性，然后计算出该图案每次旋转的角度，接着根据旋转角度的倍数，确定旋转角度的可能值即可. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：B． 【分析】根据旋转性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案. 11．【答案】 【解析】【解答】解：点关于原点对称 ， 对称点的坐标为（-1，-2）， 故答案为： . 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标互为相反数，即可求解. 12．【答案】9 【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9． 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征结合题意得到，再根据有理数的乘方即可求解。 13．【答案】 【解析】【解答】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数解题． 14．【答案】 【解析】【解答】解：如答图，将△PBC 绕C 点沿逆时针方向旋转60°， ∴△PCP'为等边三角形，PB=P'B' ∴PC=PP' ∴PA+PB+PC=PA+P'B'+PP'， ∴当A，P，P'，B'四点在同一直线上时，AB'为其最小值， 过点 B'作B'M⊥AC 交AC 延长线于点M，∠B'CM=180°-90°-60°=30°， 在 △ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2， ∴BC= 在 △B'CM中，∠B'MC=90°，∠B'CM=30°，B'C=BC=2， ∴， ∴ 故答案为： 【分析】如答图，将△PBC 绕C 点沿逆时针方向旋转60°，得到△PCP'为等边三角形，然后可以把PA，PB，PC三条线段转化到一条折线上，得出PA+PB+PC=PA+P'B'+PP'，再根据两点之间线段最短，可得出当A，P，P'，B'四点在同一直线上时，AB'为其最小值，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质及勾股定理求出AB'的长度即可。 15．【答案】1 【解析】【解答】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合， ∴△AOE≌△BOF， ∴S△AOE＝S△BOF， ∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1， 故答案为：1． 【分析】先利用旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，再求出四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【分析】 本题考查了旋转的性质以及勾股定理、等腰三角形的性质，熟知旋转的性质是解题关键. 根据旋转的性质：旋转前后两个图像对应边相等，对应角相等可知：，，，，根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：， 再根据角的和差运算可得：，最后根据勾股定理：在Rt△ACD中，，在Rt△ADE中，，由此可得出答案． 17．【答案】 【解析】【解答】解：如图， 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴. 故答案为：. 【分析】先判定，根据等边三角形的性质可得，再判定，根据全等三角形的性质得，根据勾股定理逆定理可证是直角三角形，最后由即可求解. 18．【答案】 【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AE=AC，BC=DE=3，∠AED=∠C. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【分析】根据旋转的性质得出AE=AC，BC=DE=3，∠AED=∠C，利用勾股定理的逆定理可得，于是可得，然后再根据勾股定理即可求解． 19．【答案】如图所示，即为所求；如图所示，即为所求．． （1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． （3） 【解析】【分析】（1）根据对称中心的定义作图即可. （2）根据平移的性质作图即可. （3）连接AA1，BB1，CC1交于点D，即为对称中心，再求出坐标即可. 20．【答案】解：根据旋转性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴． 【解析】【分析】先根据旋转的性质得到，进而得，再根据得，在根据即可求解． 21．【答案】（1）解：如图， 根据旋转的性质得：， ∵是 等腰直角 三角形， ∴， ∴． （2）解：如图， 根据旋转的性质得：，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中，． ∴． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得：，根据等腰直角三角形得性质得：，最后得即可． （2）根据旋转的性质得，，，可证得为等腰直角三角形，从而得，再根据勾股定理得，进而可求得的长度． （1）根据图形旋转的性质可知． ． （2）根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 22．【答案】（1）解：∵△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合， ∴△ABC≌△ADE， ∴， ∴； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴，， ∵，， ∴． 【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC≌△ADE，由全等三角形的对应边相等得，进而根据代入计算即可； （2）由全等三角形的对应角相等得，，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，，从而可推出． （1）解：由旋转的性质可得， ∴； （2）解：由旋转的性质可得，， ∵，， ∴． 23．【答案】（1）4 （2）解：∵α+β=270°， ∴∠CAB+∠CBA=360°-270°=90°， ∴∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA) =180°-90°=90°， ∴AC2+BC2=AB2， 即12+(3-x)2=x2， 解得：x=. 【解析】【解答】解：（1）由旋转知，AM=AC=1，BN=BC， ∴△ABC的周长为AC+AB+BC=MA+AB+BN=MN=4． 故答案为：4． 【分析】（1）先利用旋转的性质可得AM=AC=1，BN=BC，再利用三角形周长公式及等量代换求解即可； （2）先利用角的运算和等量代换可得∠ACB=90°，再利用勾股定理可得12+(3-x)2=x2，再求出x的值即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$