1.1.1 空间向量及其线性运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§1.1.1 空间向量及其线性运算 目录 知识点一：空间向量的有关概念 2 知识点二：空间向量的线性运算 2 知识点三：直线的方向向量与共面向量 3 考法1：空间向量的概念理解 4 考法2：空间向量的线性运算 5 考法3：共线向量定理及其推论的应用 7 考法4：共面向量定理及其推论的应用 8 考法5：空间向量的线性运算在立体几何中的应用 9 知识点一：空间向量的有关概念 1. 空间向量的定义及其表示 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量的表示方法： (1) 几何表示：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模. (2) 符号表示：用字母表示，若向量的起点是A，终点是B，则向量可记作，其模记为或. 2. 几类常见的空间向量 （1） 我们规定，长度为0的向量叫做零向量.当有向线段起点A与终点B重合时，. （2） 模为1的向量叫做单位向量. （3） 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为. （4） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．我们规定：与任意向量平行. （5） 方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。 知识点二：空间向量的线性运算 由于任意两个空问向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算，由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算. (1) 加减运算的运算法则 加法运算 减法运算 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 (2) 空间向量的数乘运算 与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反；当时，，其方向是任意的．的长度是的长度的倍． (3) 空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）: 交换律： ； 结合律：；； 分配律：;. · 利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 知识点三：直线的方向向量与共面向量 (1) 共线向量定理 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 推论：设O是平面内任意一点，若三点共线，则. (2) 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (3) 共面向量 如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l.如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 共面向量定理的推论：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使 ；或对空间任一点，有.事实上，，显然，，故（其中）是四点共面的充要条件. 考法1：空间向量的概念理解 【例1.1.】 （多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【例1.2.】 （多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则的长度相等而方向相同或相反 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若两个非零向量与满足，则 D．若空间向量，满足，且与同向，则 【例1.3.】 下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【例1.4.】 下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 考法2：空间向量的线性运算 方法提炼 用基向量表示指定向量的方法 结合已知向量和所求向量观察图形，将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例2.1.】 如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【例2.2.】 如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 【例2.3.】 若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【例2.4.】 如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 在四面体中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 考法3：共线向量定理及其推论的应用 方法提炼 1. 共线向量定理：对任意两个空间向量，，∥存在实数，使得.要用此定理判定，所在直线平行，还需向量（或）所在直线上有一点不在向量（或）所在直线上. 2. 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. 【例3.1.】 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值等于 . 【例3.2.】 如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【例3.3.】 设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 考法4：共面向量定理及其推论的应用 方法提炼 已知不共线，证明空间四点共面的方法: (1) 证明存在有序实数对，使. (2) 证明对于空间任一点，存在有序实数组，使 （其中）. (3) 证明(或或). 【例4.1.】 在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（    ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 【例4.4.】 （多选）点，，不在同一条直线上，点在平面外，则下列的表示中，对应的点在中的有（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【例4.6.】 如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 【例4.7.】 如图所示，已知斜三棱柱中，，在上和上分别有一点M和N，且，其中．求证：，，共面．    考法5：空间向量的线性运算在立体几何中的应用 方法提炼 (1) 立体几何中的线线平行可转化为两向量平行,即证明两向量具有数乘关系。 (2) 利用向量证明线面平行有两种方法:一是利用共线向量定理,找出平面内的一个向量与直线的方向向量共线;二是利用共面向量定理,找出平面内不共线的两个向量来表示直线的方向向量。两种方法都需说明直线不在平面内. 【例5.1.】 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    【例5.2.】 已知分别是空间四边形的边的中点.    (1)用向量法证明四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 【例5.3.】 如图，从所在平面外一点O作向量.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.1.1 空间向量及其线性运算 目录 知识点一：空间向量的有关概念 2 知识点二：空间向量的线性运算 2 知识点三：直线的方向向量与共面向量 3 考法1：空间向量的概念理解 4 考法2：空间向量的线性运算 7 考法3：共线向量定理及其推论的应用 11 考法4：共面向量定理及其推论的应用 14 考法5：空间向量的线性运算在立体几何中的应用 19 知识点一：空间向量的有关概念 1. 空间向量的定义及其表示 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量的表示方法： (1) 几何表示：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模. (2) 符号表示：用字母表示，若向量的起点是A，终点是B，则向量可记作，其模记为或. 2. 几类常见的空间向量 （1） 我们规定，长度为0的向量叫做零向量.当有向线段起点A与终点B重合时，. （2） 模为1的向量叫做单位向量. （3） 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为. （4） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．我们规定：与任意向量平行. （5） 方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。 知识点二：空间向量的线性运算 由于任意两个空问向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算，由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算. (1) 加减运算的运算法则 加法运算 减法运算 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 (2) 空间向量的数乘运算 与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反；当时，，其方向是任意的．的长度是的长度的倍． (3) 空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）: 交换律： ； 结合律：；； 分配律：;. · 利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 知识点三：直线的方向向量与共面向量 (1) 共线向量定理 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 推论：设O是平面内任意一点，若三点共线，则. (2) 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (3) 共面向量 如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l.如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 共面向量定理的推论：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使 ；或对空间任一点，有.事实上，，显然，，故（其中）是四点共面的充要条件. 考法1：空间向量的概念理解 【例1.1.】 （多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 【例1.2.】 （多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则的长度相等而方向相同或相反 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若两个非零向量与满足，则 D．若空间向量，满足，且与同向，则 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】A中结合模长与向量的关系可判断错误；B中结合向量可平移和共线的概念判断正确； C中可判断与为相反向量，正确；D中向量大小不能进行比较，错误 【详解】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误； B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确； C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确； D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误. 故选：BC 【例1.3.】 下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、空间向量的数乘运算 【分析】对于A，由共线向量的定义分析判断，对于B，举例判断，对于C，根据数乘向量的意义分析判断，对于D，根据向量和加法法则判断. 【详解】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误. 故选：C 【例1.4.】 下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】举特例否定①；利用向量共线的定义否定②；依据共面向量基本定理否定③. 【详解】当，时，，不能说与方向相同或相反，①不正确； 当时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确； 当，不共线时，当且仅当共面时才满足(). 故③不正确. 故选：A 考法2：空间向量的线性运算 方法提炼 用基向量表示指定向量的方法 结合已知向量和所求向量观察图形，将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【例2.1.】 如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【例2.2.】 如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 . 故选：A. 【例2.3.】 若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：A. 【例2.4.】 如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据向量的线性运算，分析即得解 【详解】由题意，向量， 故选：D 【例2.5.】 在四面体中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，    因为，所以，又， 所以， 又， 所以且，解得：． 故选：A 【例2.6.】 已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解. 【详解】因为四面体中，是的中点， 所以. 故选：B. 考法3：共线向量定理及其推论的应用 方法提炼 1. 共线向量定理：对任意两个空间向量，，∥存在实数，使得.要用此定理判定，所在直线平行，还需向量（或）所在直线上有一点不在向量（或）所在直线上. 2. 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. 【例3.1.】 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值等于 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意，由三点共线可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因三点共线，故. ， . 故答案为： 【例3.2.】 如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【答案】(1)、、三点共线，证明见解析； (2)、、三点共线，证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】（1）用分别表示即可求解； （2）用分别表示即可求解. 【详解】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 【例3.3.】 设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证. （2）利用共线向量定理及平面向量基本定理列式求解. 【详解】（1）由，，， 得， ， 则，且有公共点B，所以A，B，C三点共线． （2）由与共线，则存在实数，使得， 即，又，是不共线的两个非零向量， 因此，解得或， 所以实数k的值是，当时，与反向共线. 考法4：共面向量定理及其推论的应用 方法提炼 已知不共线，证明空间四点共面的方法: (1) 证明存在有序实数对，使. (2) 证明对于空间任一点，存在有序实数组，使 （其中）. (3) 证明(或或). 【例4.1.】 在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点不共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由可得， 即，因为，所以四点共面. 故选：D 【例4.2.】 已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 【例4.3.】 已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（    ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据共面向量的基本定理可得出结论. 【详解】因为，则， 即，即，所以共面， 又因为它们有公共点，所以点、、、共面. 故选：B. 【例4.4.】 （多选）点，，不在同一条直线上，点在平面外，则下列的表示中，对应的点在中的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用空间四点共面的结论可判断A；利用向量的加减运算结合向量的共线可判断B；利用向量的线性运算，结合向量加法的平行四边形法则可判断C、D. 【详解】由题意知点，，不在同一条直线上，点在平面外， 则点O与，，共面的充要条件为存在实数对， 使，且， 对于A，，右边系数和为3，故O，，，不共面，A错误； 对于B，，则，    即，则O，，，共面，但点在外，B错误； 对于C，，则， 即， 如图，当分别为的中点时，设D为BC的中点， 四边形为平行四边形，故，    由可知，即点在中，C正确； 对于D，，则， 即，    如图，设分别为的中点，设G为AB的靠近A的三等分点， 则由，结合向量加法的平行四边形法则知M落在线段DF上， 即点在中，D正确； 故选：CD 【例4.5.】 在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【例4.6.】 如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面 【分析】利用空间向量的共面定理证明即可. 【详解】证明取，，， 则 ， 所以与，共面,即与共面， 即，，，四点共面． 【例4.7.】 如图所示，已知斜三棱柱中，，在上和上分别有一点M和N，且，其中．求证：，，共面．    【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据共面向量定理结合已知条件证明即可. 【详解】证明：因为， ， 所以． 由共面向量定理可知，，，共面． 考法5：空间向量的线性运算在立体几何中的应用 方法提炼 (1) 立体几何中的线线平行可转化为两向量平行,即证明两向量具有数乘关系。 (2) 利用向量证明线面平行有两种方法:一是利用共线向量定理,找出平面内的一个向量与直线的方向向量共线;二是利用共面向量定理,找出平面内不共线的两个向量来表示直线的方向向量。两种方法都需说明直线不在平面内. 【例5.1.】 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据空间向量的线性运算得到，再根据向量共面的充要条件可证结论正确. 【详解】∵M在BD上，且，∴． 同理得． ∴． 又与不共线， ∴根据向量共面的充要条件可知，，共面． ∵不在平面内，∴平面CDE． 【例5.2.】 已知分别是空间四边形的边的中点.    (1)用向量法证明四点共面； (2)用向量法证明：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、判定空间向量共面、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）用向量的加法求出，即可证明四点共面； （2）用向量表示，就证明线线平行，进而由线面平行的判断即可求证. （3）根据线线平行证明四边形为平行四边形，利用向量的加法运算即可求解. 【详解】（1）连接，由于均为中点，所以, 则， 所以共面，进而可得：四点共面．    （2）因为． 所以，又平面，平面， 所以平面． （3）连接， ，，所以， ，故四边形为平行四边形， 所以交于点且被平分， 所以 ＝． 【例5.3.】 如图，从所在平面外一点O作向量.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用共面向量定理证明，由可得四点共面； （2）利用共线向量定理，可得：，，从而利用面面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以， 因为从所在平面外一点O作向量， 所以 , 所以共面， 因为有公共端点， 所以四点共面； （2）证明：因为， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以， 由（1）知，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 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