素养提升小题专项训练15：极值与函数的零点-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题专项训练15：极值与函数的零点 （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一、单选题 1.当是函数的极值点，则的值为 A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -3或2 【答案】B 【解析】由，得， ∵x＝1是函数f（x）的极值点，∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2， 当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去； 当3时，时，x＝1或x=9， 满足x＝1为函数f（x）的极值点，∴． 故选B 2.（成都市2023级高中毕业班摸底T8）已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为存在，所以要求，故函数的定义域为， 因为函数存在极大值，所以其导数需存在零点，且零点处由正变负，求导得：， 令，即.二阶导数， 当时，在定义域上恒成立，所以在上单调递增， 此时函数可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意； 当时，时，即，时，即； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增；故的极小值为， 若函数存在极大值，则，故，所以， 又因为，所以，故化简为，所以. 故选：D 3. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，则，令，则， 如图，作出函数的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点，且， 令，则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为. 对于A，函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，， 当或时，，当时，， 所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意； 对于D，， 则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符. 故选：C. 4. 若函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 5. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意，求导得， 由即解得，所以函数的“新驻点”. 同理，求导得，则即， 设函数，易知函数在定义域上单调递增， 且， 根据零点存在定理可知，的根. 由求导得，则即， 设函数，则， 所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为， 根据零点存在定理，可知的根. 综上，. 故选：D. 二、多选题 6.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ） A.函数在上为增函数 B.-1是函数的极小值点 C.函数必有2个零点 D. 【答案】BD 【解析】， 当时，，故在上为增函数； 当时，，故在上为减函数， 故-1是函数的极小值点，错误，B正确. 若，则有1个零点，若，则没有零点，C错误. 在上为增函数，则，即， 化简得，D正确.故选BD. 7.（四川省新高考2025届高三适应性考试（第三次联考）T11） 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 【答案】ACD 【解析】对于A中，由函数，可得， 因为是的极大值点，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确； 对于B中，当时，，则， 因为在区间上单调递减，所以，所以B错误； 对于C中，由，且当时，，当时，， 可得的图象，如图所示， 当时，有3个相异零点，所以C正确； 对于D中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 构造函数（其中）， 则，当时，，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD. 8. 设，函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，， 当时，，单调递增，无极值点； 当时，得或，，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时有两个极值点，故A选项错误； 对于B选项，当，时， 由上述知，在上单调递增，在上单调递减， 则，故B选项正确； 对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 当时，若有个零点， 则由单调性可知必然有，解得. 而当时，，， 在区间，，中分别各有一个零点，故C选项正确； 对于D选项，， 等价于或，，故D选项正确. 故选：BCD 9.已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于选项AB：因为，可知有2个不同实根， 则，且，即，故A正确，B错误； 对于选项C：可得，故C正确； 对于选项D：因为， 构建 若，即，即， 且，则， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：ACD. 三、填空题 10.（四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断T14）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为__________. 【答案】 【解析】由，，则， 设切点为，则， 则，因为过点恰能作曲线的2条切线， 所以方程有2个解， 则函数，与函数有2个交点， 由， 当时，，， 因为，所以函数为偶函数， 当时，单调递增， 且时，，时，， 画出函数的大致图象， 此时满足函数，与函数有2个交点； 若，令，得或；令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，画出函数的大致图象， 要使函数，与函数有2个交点， 则；若，令，得；令，得或，则函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，画出函数的大致图象， 要使函数，与函数有2个交点， 则. 综上所述，所有点构成的集合为. 故答案为：. 11. 已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】解：当时，设，则， 易知当时，，即是减函数，∴时，， 又时，且，而时，是增函数，． 有两个零点，即的图象与直线有两个交点，函数的图象如下所示： 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题专项训练15：极值与函数的零点 （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一、单选题 1.当是函数的极值点，则的值为 A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -3或2 2.已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数有极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 6.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ） A.函数在上为增函数 B.-1是函数的极小值点 C.函数必有2个零点 D. 7. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 8. 设，函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 9.已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的取值范围为 三、填空题 10.在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为__________. 11. 已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$