山西省临汾市第一中学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

1 临汾一中 2025-2026 学年度第一学期高二年级开学考试 数学试题（卷） （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 命题人：郭建云 第Ⅰ部分（选择题 共 58 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．复数 2i 2 i 的虚部为( ) A． 2 5  B． 4 5  C． 2 5 D． 4 5 2．如图所示，直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则下列结论正确的是( ) A．k1>k2>k3 B．k2>k3>k1 C．k2>k1>k3 D．k3>k2>k1 3．某工厂利用随机数表对生产的 50个零件进行抽样测试，先将 50个零件进行编号，编 号分别为 01，02， ，50，从中抽取 6个样本，下面提供随机数表的第 1行到第 2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第 1行第 6列开始向右依次读取数据，则得到的第 6个样本编号是( ) A．57 B．50 C．40 D．10 4．已知向量  ,1a n ， ( 2, 3)b n    ，则“ 2n  ”是“ / /a b  ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若 2 2 2 0x y x y m     是一个圆的方程，则实数 m的取值范围是( ) A． 1( , ) 4   B． 1( , ) 4  C． 1( , ) 4   D． 1( , ) 4  6．如图，空间四边形OABC中，OA a   ，OB b   ，OC c   ，点M 在线段 AO上，且 2MA MO ，点 N 为 BC中点，则MN  等于( ) A． 5 3 1 3 2 2 a b c     B． 1 1 1 3 2 2 a b c     C． 2 1 1 3 2 2 a b c      D． 1 1 1 3 2 2 a b c      2 7．如图所示，为测量河对岸的塔高 AB，选取了与塔底 B在同一水平面 内的两个测量基点C与D，现测得 3tan , 50m 4 ACB CD   ， 5 3cos ,cos 5 5 BCD BDC   ，则塔高 AB为( ) A．15 3m B． 20 3m C．15 5m D．20 5m 8．已知三棱锥 S ABC 的各条棱均相等，P，Q分别为棱 SA，BC的中点，则直线 PQ和 直线 AC所成角的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知事件 A与事件 B， A是事件的对立事件， B是事件 B的对立事件，若   2 3 P A  ，   1 4 P B  ，则下列说法正确的是( ) A．   34P B  B．若事件 A与事件 B是互斥事件，则   3 4 P A B  C．若事件 A与事件 B相互独立，则   112P AB  D．若   14P AB  ，则事件 A与事件 B不相互独立 10．函数     πsin 0, 0, 2 f x A x A            的部分图象如图所示，则下列说法正确 的是( ) A．  f x 的最小正周期为 π B．直线 11π 12 x   为  f x 的一条对称轴 C．  f x 在 π π, 2 4      上单调递减 D．若  f x  为偶函数，则 π π , 2 12 k k   Z 3 11．如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 O为线段 BD的中点，且点 P满 足 1BP BC BB      （0 1  ，0 1  ），则下列说法正确的是( ) A．若 1 / /D P 平面 1ABD，则 2 2  最小值为 1 2 B．若 PO 平面 1ABD，则 1 2   ， 1  C．若 1 2 λ μ  ，则 P到平面 1ABD的距离为 2 3 3 D．若 1  ，0 1  时，直线DP与平面 1ABD所成角为 ，则 3 6sin , 3 3        第Ⅱ部分（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知直线 1 : 1) 1 0l x a y   （ ，直线 2 : 2 2 0l ax y   ，若l1//l2，则 a  ． 13．在平面上有如下命题：“若O为直线 AB外一点，则点 P在直线 AB 上的充要条件是：存在实数 , ，满足OP OA OB      ，且 1   ．” 将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体OABC的棱长为 1， P为底面 ABC内一点，且满足 1 1 3 2 OP OA OB OC       ，其中为实数， 则OP OA    ． 14．已知正四棱台的高为 2，上、下底面边长分别为 2和 4，其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分）某城市交通部门为了对该城市共享 单车加强监管，随机选取了 100人就该城市共享 单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100人根据其满意度评分值（百分制）按照      50,60 , 60,70 , , 90,100 分成 5组，制成如图 所示频率分直方图． （1）求图中 x的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； 4 （3）已知满意度评分值在  50,60 内的男生数与女生数的比为 3∶2，若在满意度评分值为  50,60 的人中随机抽取 2人进行座谈，求 2人均为男生的概率． 16．（15分）已知直线 l经过点 P −1,2 ． （1）若 l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求 l的方程； （2）设 l的斜率 0k  ，l与两坐标轴的交点分别为 A和 B，当△AOB的面积最小时，求 l的 斜截式方程． 17．（15分）在平面直角坐标系 xOy中，圆 C经过点 A 1,0 和点 B −1,2 ，且圆心 C在直 线 2 2 0x y   上． （1）求圆 C的标准方程； （2）已知圆C的方程为 2 2 6 5 0x y y    ，请问圆 C与圆C会相交吗？若相交求出两圆 的公共弦长；若不相交，请说明理由． 18．（17分）在 ABCV 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 2 2 cosb c a C  ， 2b  ． （1）求 A； （2）若 D为 BC中点，且 7AD  ，求 ABCV 的周长； （3）若 ABCV 是锐角三角形，求 ABCV 面积的取值范围． 19．（17分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 平面 ABCD， PAD△ 是边长为 2 的等边三角形，底面 ABCD为直角梯形，其中 //BC AD， AB AD ， 1AB BC  ． （1）求证： AB PD ； （2）线段 PD上是否存在一点E，使得平面 EAC 与平面DAC 夹角的余弦值为 10 5 ？若存在，求出 PE PD 的值；若不存在，请 说明理由．