第5章 一元一次方程 重点例题与习题 2025～2026学年青岛版七年级上册数学

回归教材系列 2025～2026学年青岛版七年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：青岛版七年级上册数学第5章 一元一次方程 1.根据下列条件，写出仍然成立的等式： 如果，两边都减去，那么          ； 如果，两边都除以，那么          ； 如果，两边都加上，那么          ； 如果，两边都乘，那么          。 2.根据等式的基本性质，下列各式变形正确的是          。 若，则；    若，则； 若，则；    若，则。 3.解下列方程： ； ； ； 。 4.设未知数并列出方程： 某省现有国家级、省级和市县级自然保护区共个，其中国家级个，省级比市县级多个。市县级自然保护区有多少个？ 用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套。现有张铁皮，分别用多少张铁皮制盒身、盒底，才能既恰好用完铁皮，又使盒身和盒底正好配套？ 5.根据题意列出方程： 的倍与的和等于； 与的差的一半等于的倍； 一个长方形的宽为，长比宽多，面积为； 书包的单价为元，文具盒的单价为元，购买个书包和个文具盒共需元。 6.由等式，能得到等式吗？若能，写出变形的过程及依据； 由等式，能得到等式吗？若能，写出变形的过程及依据。 7.“”“”“”分别表示三种不同的物体。如图，天平保持平衡，如果要使天平也平衡，那么应在天平的右端放几个“”？ 8.对于有理数，，我们规定。若有理数满足，求的值。 9.有下列按一定规律排列的一组数： ，，，，， 若其中三个相邻数的和是，则这三个数各是多少？ 【青岛2024版七年级上册数学第115页第8题】10.下图是一个运算程序的示意图： 若，，求的值； 若，输出结果的值与输入的值相同，求的值。 11.“洛书”是我国古代流传下来的神秘图案，蕴含着深奥的宇宙运行规律，也包含着丰富的数理关系。相传有一句对洛书图案如图数理关系进行解释的口诀：戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。也就是说，将到这九个正整数填入洛书对应的九宫格如图中，满足任一行、列、对角线上三个数之和都相等。在学习了方程相关知识后，尝试探究九宫格的奥秘。 由任一行、列、对角线上三个数之和都相等，设每一行三个数的和为，三行九个数的和就是到这九个正整数之和，由此可得          ； 再设中间数为，利用包含中间数的行、列、对角线上的数与九个数的关系可列出方程，求解中间数。请根据上述探究，列方程求出中间数的值。 12.三个连续奇数的和是，求这三个数。 13.下列变形正确吗？如果不正确，应怎样改正？ 由方程，移项得； 由方程，移项得； 由方程，移项得； 由方程，移项得。 14.某区域每天需要处理生活垃圾，刚好可以被个型和个型处理点位处理完。已知一个型点位比一个型点位每天多处理生活垃圾。每个型点位每天处理生活垃圾多少吨？ 15.某玩具生产厂家车间原来有名工人，车间原来有名工人。现将新增的名工人全部分配到两车间，使车间工人总数是车间工人总数的倍。新分配到，车间的工人数各是多少？ 16.元代朱世杰的算学启蒙记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之。大意为：良马每天行走里，驽马每天行走里。驽马先行走天，问良马几天可追上驽马。 17.张师傅买了发车的高速列车票，他从家门口乘公交车赶往火车站。公交车的平均速度为，在行驶了路程后改乘出租车，车速提高倍，在列车发车前到达火车站。张师傅家到火车站有多远？ 18. 下表为某市居民每月用水收费标准单位：元，不足按计算。 用水量 单价 第一阶梯 含 第二阶梯 含 第三阶梯 以上 某用户用水，共缴水费元，求的值； 在的前提下，该用户月缴水费元，请问该用户月用水多少立方米？ 19.某超市有，两种消费券。若一次性购物大于或等于元，付款时使用券可减元；若一次性购物大于或等于元，付款时使用券可减元。小莹有一张券，小亮有一张券，两人分别购买了一件标价相同的商品，共付现金元。请问所购商品的标价是多少元？ 20. 粮仓在保障粮食安全方面发挥着重要作用。甲、乙两个粮仓共存小麦。如果甲粮仓运进小麦，乙粮仓运出小麦，两个粮仓所存小麦质量恰好相等，那么原来两个粮仓各存小麦多少吨？ 如果设甲粮仓原来存小麦，你能通过下面的表格，用表示问题中的其他未知量吗？ 甲粮仓存小麦质量 乙粮仓存小麦质量 原来 现在 题目中的等量关系是 甲粮仓现存小麦质量乙粮仓现存小麦质量。 21.小亮和小莹去青少年素质教育实践基地参加活动。小亮从学校出发，步行去基地，速度为，后，小莹从学校出发，骑自行车沿相同路线骑行，速度为，结果两人同时到达实践基地。学校到实践基地的路程是多少？ 设学校到实践基地的路程为，填写下表： 速度 时间 路程 步行 骑自行车 题目中的等量关系是 步行所用时间骑自行车所用时间________。 22.已知是关于的方程的解，求的值。 23.为了美化环境，某市计划将若干棵树苗栽在一条街道的一侧，要求街道的两端各栽棵，并且树苗的间隔相等。 方案一：如果每隔栽棵，那么树苗缺棵； 方案二：如果每隔栽棵，那么树苗正好用完 根据上述方案，请你求出原有树苗的棵数和这条街道的长度。 24.九章算术中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步。大意为：同样时间内，走路快的人能走步，走路慢的人只能走步。假定两者步长相等，据此回答以下问题： 走路慢的人先走步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ 走路慢的人先走步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 25. 某届排球联赛的参赛队伍为支，比赛采取单循环方式各队之间均相互进行一场比赛，五局三胜。积分规则如下：比赛中以或者取胜的球队积分，负队积分；比赛中以取胜的球队积分，负队积分。前四名队伍积分榜部分信息如下表： 名次 球队 场次 胜场 负场 总积分 队场胜场中只有一场以取胜，将队的总积分填在表格中； 队积分取胜的场次比积分取胜的场次多场，该队负场共积分，求队胜场的场数； 写出队负场可能的积分。 答案和解析 1.【答案】【小题】   【小题】   【小题】   【小题】 2.【答案】  3.【答案】【小题】 解：去分母，得。 去括号，得。 移项，得。 合并同类项，得。 系数化为，得。 【小题】 去分母，得。 去括号，得。 移项，得。 合并同类项，得。 系数化为，得。 【小题】 去分母，得。 去括号，得。 移项，得。 合并同类项，得。 系数化为，得。 【小题】 去分母，得。 移项，得。 合并同类项，得。 系数化为，得。 4.【答案】【小题】 解：设市县级自然保护区有个，则省级自然保护区有个，根据国家级、省级和市县级自然保护区的数量和，列方程。 【小题】 设用张铁皮制盒身，则用张铁皮制盒底，根据制得盒底的数量制得盒身的数量，列方程。 5.【答案】【小题】 解：； 【小题】 ； 【小题】 ； 【小题】 。 6.【答案】【小题】 解：能。依据等式的基本性质，，即。 【小题】 能。依据等式的基本性质，，即，依据等式的基本性质，，即。 7.【答案】解：在天平的两端各放一个“”，天平仍然保持平衡，与天平比较知，一个“”的质量与两个“”的质量相等；一个“”的质量与个“”的质量相等，所以天平的右端应放个“”。  8.【答案】解：由题意得，即。解方程，得。  9.【答案】解：通过观察可发现这列数的排列规律：后一个数是它前面的数与的乘积。 设三个相邻数中的第个数是，则后面两个数分别是，，根据题意，得，解方程，得，所以，。所以这三个数是，，。 10.【答案】【小题】 解：因为，所以， 所以。 【小题】 当时，， 所以，即，解得； 当时，，所以， 即，解得，不合题意。所以。 11.【答案】【小题】 【小题】 由知，每一行、列、对角线上三个数之和都是，所以，即，解得。 12.【答案】解：设最小的奇数是，则这三个连续奇数可表示为，，，则可列方程，，，。 所以这三个连续奇数是，，。 13.【答案】【小题】 正确； 【小题】 正确； 【小题】 不正确。移项得。 【小题】 正确。 14.【答案】解：设每个型点位每天处理生活垃圾，则每个型点位每天处理生活垃圾。 根据题意，得。 解方程，得， 所以，每个型点位每天处理生活垃圾。 15.【答案】解：设新分配到车间的工人数是名，则新分配到车间的工人数是名。 根据题意，得， 解方程，得， 此时， 所以，新分配到，车间的工人数分别是名、名。 16.【答案】解：设良马天可追上驽马。 根据题意，得， 解方程，得， 所以，良马天可追上驽马。 17.【答案】解：设张师傅家到火车站有。 根据题意，得， 解方程，得， 所以，张师傅家到火车站的路程是。 18.【答案】【小题】 解：，解方程，得 【小题】 ， ， 。 所以该用户月用水量在之间。 设该用户月用水。 根据题意，得，解方程，得。 所以，该用户月用水。 19.【答案】解：设所购商品的标价是元，则 当时，， 解方程得； 当时，， 解方程得。 所以，所购商品的标价是元或元。 20.【答案】解：设原来甲粮仓存小麦，则乙粮仓存小麦。根据题意，得 。 解方程，得 。 此时，。 所以，原来甲、乙两粮仓分别存有小麦和。   21.【答案】解：设学校到实践基地的路程为，那么步行所用时间为，骑自行车所用时间为。根据题意，得 。 解方程，得 。 所以，学校到实践基地的路程为。 如果设骑自行车从学校到实践基地需要，可以用图来分析本题中的数量关系。 根据等量关系： 骑自行车的路程步行的路程 可以列出方程。 22.【答案】解：把代入方程，得，解方程，得。  23.【答案】解：设原有树苗棵，则路的长度为。 根据题意，得， 解方程，得， 此时。 所以，原有树苗棵，这条街道的长度是。 24.【答案】【小题】 解：设当走路慢的人再走步时，走路快的人走了步。 根据题意，得， 解得。 所以步。 所以当走路慢的人再走步时，走路快的人在前面，两人相隔步。 【小题】 设走路快的人走步才能追上走路慢的人。 根据题意，得，解得。 所以走路快的人走步才能追上走路慢的人。 25.【答案】【小题】 解：，故填。 【小题】 设队积分取胜的场次为。 根据题意，得， 解方程，得，此时。 所以，队胜场的场次是。 【小题】 当队积分胜场，积分胜场时，负场分数是分； 当队积分胜场，积分胜场时，负场分数是分。 综上，队负场可能的积分是分或分。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$