21.3 实际问题与一元二次方程 同步讲义-2025-2026学年人教版九年级上册数学

2025-2026学年人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 同步讲义 知识梳理 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题: (1)认真阅读题目,理解题意,明确题目中的已知条件和所求问题。 (2)找出题目中的关键信息,如数量关系、变化情况等。 2.设未知数: (1)根据题目要求,合理设出未知数。通常可直接设所求的量为未知数,有时也需要间接设未知数,以便于列出方程。 (2)一般用字母(或其他字母)表示未知数,并注明其代表的实际意义。 3.列方程: (1)根据题目中的等量关系,将已知数和未知数代入,列出一元二次方程。 (2)等量关系可能涉及到面积问题、增长率问题、利润问题等不同类型的实际情况,需要准确分析并转化为数学表达式。 4.解方程: (1)运用前面所学的解一元二次方程的方法(如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法)求解所列出的方程。 (2)在解方程过程中,要注意计算的准确性,同时根据实际问题的背景,对解进行取舍(例如,实际问题中某些量不能为负数,则舍去负数解)。 5.检验: (1)把求得的解代入原方程进行检验,看是否满足方程两边相等。 (2)同时还要检验所求得的解是否符合实际问题的题意,如是否符合实际的数量关系、是否在合理的取值范围内等。若不符合,则该解应舍去。 6.答: (1)写出答案,答案要完整,包括单位等,清晰准确地回答题目所问的问题。 二、常见实际问题类型及等量关系 1.面积问题: (1)常见的有长方形、正方形、三角形、梯形等图形的面积相关问题。 (2)例如,长方形面积 = 长 宽;正方形面积 = 边长 边长;三角形面积 = 底 高;梯形面积 = (上底 + 下底) 高。 (3)在解决这类问题时,往往会根据图形面积的变化情况来列出方程。比如,已知一块长方形土地的长增加或减少一定长度,宽也相应变化,且知道变化前后的面积关系,就可以据此列出一元二次方程。 2.增长率问题: (1)若设原来的量为,平均增长率为,增长次数为,则增长后的量可表示为。 (2)当涉及到连续两年的增长率问题时,例如,某产品第一年产量为,第二年比第一年增长了,第三年比第二年又增长了,则第三年的产量可表示为。根据已知的产量数据等条件,就可以列出一元二次方程来求解增长率。 3.利润问题: (1)利润 = 售价 - 成本。 (2)总利润 = 单件利润 销售量。 (3)例如,已知某商品的进价(成本)为每件元,售价为每件元,销售量为件,且销售量与售价之间存在某种关系(如售价每提高或降低一定金额,销售量就会相应减少或增加一定数量),根据总利润的要求等条件,可以列出一元二次方程来求解合适的售价或销售量等。 同步练习 一、选择题 1.两个数的差等于,积等于,则这两个数为( ) A., B., C., D.,或, 2.为了庆祝教师节,市教育工会组织篮球比赛,赛制为单循环比赛(即每两个队比赛一场)共进行45场比赛,则这次参加比赛的球队个数为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 3.某地区有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了28条航线.设这个地区共有n个飞机场,下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 4.随着疫情影响和消费回顾,年电影市场向好.经统计,万达广场电影院月份客人流量万人次,月份客人流量人数达到万人次.设这两个月的月平均增长率为,根据题意列出方程,正确的是( ) A. B. C. D. 5.我国古代数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法.以方程即为例说明,记载的方法是:构造如图面积是的大正方形.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即,因此.则在下列四个构图中,能正确说明方程解法的构图是( ) A. B. C. D. 6.某种药品经过两次降价,由每盒50元调至36元,若每次降价的百分率相同.设第一次降价的百分率为x,由题意可列得方程( ) A. B. C. D. 7.为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,我市开展“健身杯”足球比赛,赛制为单循环形式(每两个队之间赛一场),现计划安排21场比赛,则邀请的参赛队数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.若x支球队参加篮球比赛,共比赛了36场,每2队之间比赛一场,则下列方程中符合题意的是( ) A. B. C. D. 9.如图,在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1800平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为( ) A. B. C. D. 10.2024年8月2日,第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式,据了解,本次鱼峰区比赛采用单循环制(每两支球队之间都进行一场比赛),如果比赛共进行了78场,则一共有多少支球队参加比赛?设一共有x支球队参加比赛,根据题意可列方程是( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.如图,根据物理学规律,如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛,那么物体经过离地面的高度(单位:)为.根据物理学规律,物体经过 落回地面.(结果保留小数后两位) 12.某学校开办篮球比赛,规定每两个球队之间都要进行一场比赛,共要比赛15场,设参加比赛的球队有x支,根据题意,列出的方程是 13.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间只比赛一场),计划安排场比赛,求应邀请多少支球队参加比赛,设应邀请支球队参加比赛,则可列方程为 . 14.某商店以每件25元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出件,商店计划要盈利500元,则可列方程为 . 15.习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆125人次,进馆人次逐月增加,第三个月进馆405人次,若进馆人次的月平均增长率相同.进馆人次的月平均增长率是 . 16.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长及阔各几步.”译文:一块矩形田地的面积是864平方步,它的长和宽共60步,问它的长和宽各是多少步?设这块矩形田地的长为x步,根据题意可列方程为 . 17.如图,在长为28米,宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),余下部分铺设草坪,要使得草坪的面积为243平方米,设道路的宽为x米,则 . 三、解答题 18.在国家政策的调控下,某市的商品房成交均价由今年3月份的每平方米10000元下降到5月份的每平方米8100元. (1)求4、5两月平均每月降价的百分率; (2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,请你预测到6月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米7200元?请说明理由. 19.“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种,在山西省被广泛种植.某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩,到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩. (1)求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率: (2)市场调查发现,当“早黑宝”的售价为20元/千克时,每天能售出200千克,销售单价每降低1元,每天可多售出50千克,为了尽快减少库存,该基地决定降价促销.已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克,若使销售“早黑宝”每天可获利1750元,则销售单价应降低多少元? 20.某农场打算修建一个如图所示的矩形养鸡场 , 养鸡场一面靠墙 (墙足够长), 另外三面用总长为 20 m 的篱笆围成。 (1) 如果养鸡场的面积为 , 则边 的长为多少? (2)养鸡场的面积能否达到 ? 若能, 求出 的长; 若不能, 请说明理由. 21.我校新城校区新建一个三层停车楼,每一层布局如图所示.已知每层长为50米,宽20米.阴影部分设计为停车位,其余部分是等宽的通道,已知喷漆面积为736平方米. (1)求通道的宽是多少米? (2)据调查分析,停车场多余64个车位可以对外出租,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出;当每个车位的月租金每上涨10元,就会少租出1个车位,当每个车位的月租金上涨多少元时,既能优惠大众,又能使对外开放的月租金收入为14400元? 22.阅读以下信息,探索完成任务. 凤凰快讯1 “乐学雷锋好榜样,爱心义卖暖人心”凤凰中学每月举行义卖活动,同学们用自己的手工制作表达爱心,随着同学们的技术变得娴熟,该手工作品9月份生产100个,11月份生产144个. 凤凰快讯2 该手工作品的生产成本为30元/个,义卖一段时间后发现,当义卖价格为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上义卖价格每上涨1元,则月销售量将减少10个. 问题解决 任务1 求手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率; 任务2 若该的月捐出善款(去除成本后)10000元,而且尽可能让更多的人能够献出爱心,请问该手工作品应该定价为多少元? 参考答案 1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.A 10.D 11. 12. 13. 14.(a-25)=500. 15. 16.x(60﹣x)=864 17.1 18.解:(1)设4、5两月平均每月降价的百分率为, 根据题意得, 解得,(不符合题意,舍去), 答:4、5两月平均每月降价的百分率为. (2)不会. 理由:(元,且7290元元, 到6月份该市的商品房成交均价不会跌破每平方米7200元. 19.(1)解:设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x, 根据题意得:, 解得:(不合题意,舍去). 答:该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为. (2)解:设售价应降低y元,则每天可售出千克, 根据题意得:, 整理得:, 解得:. ∵尽快减少库存, ∴, 答:售价应降价3元. 20.(1)解: 设 , 则 , 由题意得: , 整理得: , 解得: , 答: 当 长度是 4 m 或 6 m 时, 养鸡场的面积为 . (2)解:由题意得: , 整理得: , 方程没有实数根, 养鸡场的面积不能达到 . 21.(1)解:设通道的宽是x米,则每一层的停车位可合成长为米,宽为米的长方形, 依题意得:, 整理得:, 解得:,(不符合题意,舍去). 答:通道的宽是2米. (2)解:设每个车位的月租金上涨y元,则每个车位的月租金为元,少租出个车位,依题意得:, 整理得:, 解得:,, 又∵要优惠大众, . 答:每个车位的月租金应上涨40元. 22.解:(1)设手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为x,由题意得 , 解得或(舍去). 答:手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为; (2)设该手工作品应该定价为m元,由题意得, , 整理得, 解得或. ∵要尽可能让更多的人能够献出爱心, ∴. 答:该手工作品应该定价为50元。 1 学科网(北京)股份有限公司 $$