3.2.1 双曲线及其标准方程学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 一、学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想. 二、重难点 重点：双曲线的定义、标准方程. 难点：双曲线标准方程的推导. 三、自主预习 1.双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 2.双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程： ，焦点坐标，，其中 . （2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程：，焦点坐标 ， ，其中. 四、应用举例 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为. 由，，得， 又，因此. 所以双曲线的标准方程为. 例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合. 设炮弹爆炸点P的坐标为， 则，即，. 又，所以，，. 因为， 所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此. 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，，； （2）焦点在x轴上，经过点，； （3）焦点为，，且经过点. 2.求证：双曲线与椭圆的焦点相同. 3.已知方程表示双曲线，求m的取值范围. 4.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值. （二）课本习题 1.双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于______. 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，，经过点； （2）经过两点. 3.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 4.m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？ 六、课后练习 1.已知双曲线的左、右焦点分别是，，P是双曲线C上一点.若，则( ) A.3 B.9 C.21 D.27 2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则点P的纵坐标为( ) A.1 B.2 C. D. 3.已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.在中，，，点C在双曲线上，则( ) A. B. C. D. 5.已知,圆,动圆P经过M点且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 6.（多选）过点且的双曲线的方程是( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知方程，则下列说法中正确的是( ) A.方程C可表示圆 B.当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆 C.当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 D.当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 8.双曲线的左焦点到直线的距离为__________. 9.从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，点O为坐标原点，点M为PF的中点，则__________.（填“>”“<”“=”） 答案及解析 三、自主预习 1.差的绝对值 焦距 2. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为， 因为，，所以双曲线方程为； （2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为， 因为经过点，，代入可得， 令，，可得， 解得，所以， 所以双曲线方程为：； （3）因为焦点为，，所以，且交点在y轴， 因为过点且经过点， 根据双曲线定义可得， 解得， 又， 所以双曲线方程为：. 2.答案：证明见解析 解析：证明：双曲线即为：，，， 焦点为， 椭圆的，，， 焦点为， 即有双曲线与椭圆的焦点相同. 3.答案： 解析：因为方程表示双曲线，所以， 解得或，即. 4.答案：9 解析：由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以. （二）课本习题 1.答案：17 解析：把双曲线方程化为标准方程，得，所以. 由双曲线定义可知，点P到两焦点距离的差的绝对值等于16， 设点P到另一个焦点的距离为m，有， 解得或(舍去).因此点P到另一焦点的距离等于17. 2、（1）答案： 解析：因为双曲线的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 因为，且双曲线过点，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）答案： 解析：设所求双曲线的方程为， 由已知条件，得解得 所以所求双曲线的标准方程为. 3.答案：见解析 解析：当点P在圆O上运动吋，点Q的轨迹是双曲线. 连接OA，QA（图略），由已知得， 所以. 又因为点A在圆外，所以. 所以点Q的轨迹是双曲线. 4.（1）答案：. （2）答案：. （3）答案：. 六、课后练习 1.答案：D 解析：由已知可得||，解得或，又因为时，，故舍去；当时，，满足题意，故选D. 2.答案：C 解析：因为，所以.由双曲线的定义可得，所以，解得，故的面积为. 设点P的纵坐标为h，则的面积为，解得. 所以点P的纵坐标为.故选C. 3.答案：B 解析：由双曲线方程可知，，，故右焦点，设左焦点为，则. 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知， 所以， 从而， 又， 所以，因此的最小值为6，此时点P在线段与双曲线左支的交点处.故选B. 4.答案：D 解析：在中，，，，.由双曲线的方程易知该双曲线的左、右焦点坐标分别为，，，B分别为左、右焦点.，.故选D. 5.答案：C 解析：圆,即,圆心为,半径, 设动圆P的半径为R, 若动圆P与圆C相内切,则圆C在圆P内,所以,, 所以, 所以动点P是以、为焦点的双曲线的右支,且、, 所以, 所以动圆圆心P的轨迹方程是, 若动圆P与圆C相外切,所以,, 所以, 所以动点P是以、为焦点的双曲线的左支,且、, 所以, 所以动圆圆心P的轨迹方程是, 综上可得动圆圆心P的轨迹方程是. 故选：C. 6.答案：AC 解析：因为，所以可设双曲线的方程为或.将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，所以双曲线的方程为或.故选AC. 7.答案：BCD 解析：对于A，当方程C表示圆时，，无解，故A错误； 对于B，当时，，，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当方程C表示双曲线时，，焦距为10，当方程C表示椭圆时，，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确. 故选BCD. 8.答案： 解析：因为双曲线的方程为，所以，解得（负值已舍去），所以双曲线的左焦点的坐标为，则其到直线的距离. 9.答案：= 解析：不妨设点P在第一象限，点是该双曲线的右焦点，连接，点M，O分别为，的中点，.由双曲线的定义得，又，. 学科网（北京）股份有限公司 $$