3.1.2椭圆的简单几何性质学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 一、学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、定点、离心率等简单几何性质. 2.能利用椭圆的简单性质求椭圆方程. 3.理解数形结合思想. 二、重难点 重点：椭圆的几何性质. 难点：椭圆性质的理解和应用. 三、自主预习 椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置 及坐标 焦点在x轴上 ， . 焦点在y轴上 ， . 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ，， ， ， ， ， 长、短轴长 长轴长 ，短轴长 离心率 4、 应用举例 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解：把原方程化成标准方程，得， 于是，，. 因此椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，，和. 例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上. 由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点. 已知，，. 试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1 cm）. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为. 在中，. 由椭圆的性质知，， 所以， . 所以，所求的椭圆方程为. 例3 动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹. 解：如图，设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合. 由此得. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆. 例4 如图，已知直线和椭圆. m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？ 解：由方程组消去，得.① 方程①的根的判别式. 由，得. 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点. 由，得. 此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点. 由，得，或. 此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？ 2.求下列椭圆的焦点坐标： （1）； （2）. 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，，； （2）焦点在y轴上，，. 4.求适合下列条件的㮋圆的标准方程： （1）经过，两点； （2）长轴长等于20，离心率等于. 5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与； （2）与. 6.求下列直线与椭圆的交点坐标： （1），； （2），. 7.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长. （二）课本习题 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经点； （3）焦距是8，离心率等于0.8. 2.已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标. 3.点M与定点的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 4.如图，矩形ABCD中，.E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，是线段CF的四等分点.请证明直线ER与与与的交点L，M，N都在椭圆上. 5.已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离. 六、课后练习 1.阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为( ) A. B. C. D. 2.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点M为线段的中点（O为坐标原点），点P在椭圆上且满足轴，点M到直线的距离为，则椭圆的离心率为( ) A.或 B. C.或 D. 3.已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，（）.若椭圆的离心率为，则的最小值为( ) A.1 B. C. D. 4.已知P为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.设A，B是椭圆长轴的两个端点.若C上存在点M满足，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.点P，Q分别在圆和椭圆上，则P，Q两点间的最大距离是( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知椭圆的焦距为4，则( ) A.椭圆C的焦点在x轴上 B. C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C的短轴长为 8.（多选）已知椭圆，则下列结论正确的是( ) A.若，则的离心率为 B.若的离心率为，则 C.若，为的两个焦点，直线l过点且与交于点A，B，则的周长为4a D.若，分别为的左、右顶点，P为上异于点，的任意一点，则，的斜率之积为 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，椭圆C短轴的一个端点恰为的重心，则椭圆C的长轴长为___________. 10.已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，若椭圆上存在点P，使得是直角，则椭圆离心率的取值范围是___________. 11.如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，轴，点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，. （1）求椭圆C的方程. （2）已知M，N是椭圆C上的两点，若点，，试探究：点M，，N是否一定共线？说明理由. 答案及解析 三、自主预习 五、课堂练习 （一）课本练习 1.答案：能，依据见解析 解析：能. 如图， 以点（或）为圆心，（或）为半径画圆弧，与x轴交于点，， 则点，就是椭圆的两个焦点. 依据：因为在中，，， 所以，同理有. 2.答案：（1）和 （2）和 解析：（1）因为椭圆方程为，焦点在x轴， 所以，， 因为，即， 所以椭圆的焦点坐标为和. （2）因为，所以，焦点在y轴， 所以，， 因为，即， 所以椭圆的焦点坐标为和. 3.答案：（1） （2） 解析：（1），，即， 解得，， 则椭圆的标准方程为：； （2），，即， 解得，，. 则椭圆的标准方程为：. 4.答案：（1） （2）或 解析：（1）设椭圆方程为：， 因为椭圆经过点，， ，分别为左顶点和下顶点， 所以得，所以椭圆标准方程为. （2）椭圆的长轴长等于20，离心率等于， 依题意：，所以， 由，即， 所以椭圆标准方程为：或. 5.答案：（1）椭圆更接近于圆 （2）椭圆更接近于圆 解析：因为椭圆的离心率， 所以e越大，越小，椭圆越扁；e越小，越大，椭圆越圆. （1）椭圆即，其离心率， 椭圆的离心率， 因为，所以椭圆更接近于圆； （2）椭圆即，其离心率， 椭圆的离心率， 因为，所以椭圆更接近于圆. 6.答案：（1） （2）， 解析：（1）联立，消去y，得，即， 代入得， 所以与的交点坐标为； （2）同理可得与的交点坐标为，. 7.答案： 解析：椭圆方程为， 焦点分别为，， 直线AB过左焦点倾斜角为， 直线AB的方程为， 将AB方程与椭圆方程消去y，得， 设，，可得，. ， 因此，. 故答案为：. （二）课本习题 1、（1）答案： 解析：由题意知，椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为. ，椭圆的标准方程为. （2）答案： 解析：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为.，且椭圆过点， .椭圆的标准方程为. 当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为. ，且椭圆过点. 椭圆的标准方程为. （3）答案：或 解析：， ， 椭圆的标准方程为或. 2.答案：或或或 解析：设点P的坐标为， 由题意知. 于是有. 将代入方程，得. 由椭圆的对称性知， 点P的坐标为或或或. 3.答案：见解析 解析：设，依题意有. 整理，得， 即点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆. 4.答案：见解析 解析：证明：由题知， ，则直线ER的方程为， 直线的方程为. 由得 点L的坐标为. . 同理可证点M，N也在椭圆上. 5.答案：； 解析：椭圆的长半轴长为， 半焦距为. 地球到太阳的最大距离为， 最小距离是. 六、提升训练 1.答案：B 解析：由题意可设椭圆C的方程为，因为椭圆C的离心率为，面积为， 所以解得，，所以椭圆C的方程为，故选B. 2.答案：A 解析：轴，将代入椭圆方程可得， 不妨设， 直线的斜率为， 则直线的方程为， 即， 则到直线的距离为， 整理得， ， 解得或， 即或， 则椭圆的离心率为或. 故选A. 3.答案：A 解析：设，，不妨设点A是椭圆长轴的左端点，则，.因为椭圆的离心率，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选A. 4.答案：A 解析：方法一：当轴时，有两个点P满足为直角三角形； 当轴时，有两个点P满足为直角三角形. 使为直角三角形的点P有且只有4个， 以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，， ，，又，解得. 方法二：由使为直角三角形的点P有且只有4个，且当点P落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，得，又，.故选A. 5.答案：A 解析：依题意得，或所以或解得或.故选A. 6.答案：C 解析：圆的圆心为，半径.设点，则且，所以，当且仅当时，等号成立，所以.故选C. 7.答案：BCD 解析：因为，所以，所以椭圆C的焦点在y轴上，故A错误.因为椭圆C的焦距为4，所以，所以，所以，故B正确.因为，，所以离心率，故C正确.因为，所以短轴长，故D正确.选BCD. 8.答案：BCD 解析：选项A，离心率，若，则，所以A不正确；选项B，离心率，则，所以B正确；选项C，根据椭圆的定义可知C正确；选项D，设，则，由椭圆方程可知，，所以，所以D正确.故选BCD. 9.答案： 解析：由椭圆方程，得，则，. 由题可知，点（b为椭圆的短半轴长）是的重心，，则长轴长. 10.答案： 解析：若椭圆上存在点P，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点. 设，，则以为直径的圆为， 联立解得，即，所以，解得.又，故. 11.答案：（1） （2）点M，，N不一定共线；理由见解析 解析：（1）由，得. 设.将代入椭圆C的方程，得， 所以，所以. 因为，，所以， 所以，即，解得. 又，，所以. 所以椭圆C的方程为. （2）当轴时，设，， 则. 由已知条件和方程，可得，整理，得， 解得或. 因为，所以当时，点M，，N共线；当时，点M，，N不共线. 所以点M，，N不一定共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$