精品解析：江苏省海门中学2024-2025学年高二下学期2月半检测数学试题

江苏省海门中学2024-2025学年度高二数学2月半检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与共线，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 或2 D. 或1 5. 在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数 （ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为1 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_______. 13. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则______． 14. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； 16. 在这个数字中选择若干个数. （1）能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ （2）能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 17. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 18. 如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 19. 已知函数. （1）若函数的极值点在内，求m的取值范围； （2）若有两个零点，求m取值的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2024-2025学年度高二数学2月半检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由，有． 曲线在点处的切线方程为，整理为． 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】原函数求导，再令可得结果. 【详解】因为，所以. 令得：. 故选：A 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断B；当时，，利用导数判断此时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案． 【详解】函数的定义域为， 设，则，故为偶函数， 其图象关于轴对称，则B中图象错误； 又当时，， 由，得，由，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故A、C错误，故选D. 4. 已知向量与共线，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的性质求得结论即可. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得或， 故选：D. 5. 在四面体中,点E满足，F为的中点，且，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果． 【详解】由于F为BE的中点， 所以，结合， 整理得，①， 由，得， 即，②， 根据①②的对应关系，可得 故选：D 6. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，则， 依题意在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 则的最小值为. 故选：C 7. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 8. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． 所以有最大值，于是，解得． 故选：B 【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断. 【详解】A：在上的投影向量为，对； B：在中，故P，A，B，C四点共面，对； C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错； D：由，即，故，对. 故选：ABD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的位置关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断C；根据空间距离的向量求法可判读D. 【详解】对于A，连接，则平面，平面， 平面平面，故不相交； 又，,平面， 故不平行，否则重合，不合题意， 即为异面直线，故，，，四点不共面，A错误； 对于B，以D为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 则，即，故，B正确； 对于C，，则, 故， 而直线与所成角的范围为，故直线与所成角的余弦值为，C错误； 对于D，， 则点到直线的距离为，D正确， 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可. 【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，解得：，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，所以的极大值为， 故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由，解得：， 当时，，则在上单调递增，当，， 则在上单调递减， 所以， 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 故选:ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，用四种不同颜色给矩形A、B、C、D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有_______. 【答案】48 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列计数问题列式计算得解. 【详解】求不同的涂色方法有两类办法：用4种颜色涂4个区域有种；若同色，用3种颜色，有种， 由分类加法计数原理，不同的涂色方法共有（种）. 故答案为：48 13. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再由空间向量线性运算得到，最后根据数量积的运算律及计算即可. 【详解】底面为菱形，，， ， 为棱的中点, ， ，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围． 【详解】由，可得， 当，，所以在单调递减， ， ，在上单调递增， ， 对任意的，都有成立， ， ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，， （1）求的值； （2）求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，又因为， 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以． 16. 在这个数字中选择若干个数. （1）能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ （2）能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （2）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【小问1详解】 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 【小问2详解】 当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 17. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值是，最大值是； （2）． 【解析】 【分析】（1）求导根据得到，再计算函数的单调区间，计算得到最值. （2）求导得到导函数，根据单调性变换得到，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 的定义域为，，，则， 解得， 故，令，即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； 【小问2详解】 在区间上恒成立，故， 设，当时，是增函数，其最小值为， 故，即实数的取值范围为． 18. 如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【答案】（1）证明：由题可知，因为分别为中点，所以， 所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，因为， 所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）若函数的极值点在内，求m的取值范围； （2）若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $