3.3.2抛物线的简单性质课后提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单性质课后提升训练 人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 一、单项选择题 1．已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，且满足，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 6．已知O为坐标原点，直线交抛物线于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，点A，P，B的纵坐标分别为，且，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 8．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多项选择题 9．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点.点为坐标原点，且，则（    ） A．过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 B．满足为直角三角形的点有且仅有2个 C．若直线的倾斜角为，则 D．若，则的面积为4 10．抛物线的焦点在轴正半轴上，其焦点到准线的距离为2，点是上一点．设直线的斜率存在且与相交于两点，则（   ） A．抛物线方程为 B．直线的斜率为 C．若与的斜率互为相反数，则的斜率为 D．若过焦点，倾斜角为，则面积为 11．已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 三、填空题. 12．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 13．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 14．设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 四、解答题 15．过点作抛物线的弦，弦恰被点P平分. (1)求弦所在直线的方程； (2)求弦的长度. 16．已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. (1)求抛物线E的方程； (2)设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 17．过抛物线上一点作直线，交抛物线于两点，且斜率．问： (1)直线的斜率是否为定值？ (2)的面积是否有最大值？ 18．如图，已知抛物线是曲线上两点，且． (1)求中点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点． 19．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点. (1)若点为抛物线的焦点，求抛物线的方程； (2)若动圆过点，且圆心在抛物线上运动，点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由. 参考答案 一、单项选择题 1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 7．B 8．B 二、多项选择题 9．ACD 10．BC 11．ACD 三、填空题 12． 13． 14．2 四、解答题 15．【解】（1）点在抛物线内部，过点的所有斜率不为0的直线都与抛物线相交， 又是中点，直线斜率存在， 设，则， 则，相减得， 所以， 所以直线方程为，即； （2）由，得， 则， 所以． 16．【解】（1）因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，， 又因为在抛物线上，所以，即， 消去，可得，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设，，直线AB方程为，联立，消得，则，， 直线AP：，令，得纵坐标；同理纵坐标， 因是MN中点，，即，化简得，将，代入，得，即， 直线AB方程为，当时，，故直线AB过定点. （ii）设直线AB：，联立，得， 由韦达定理，，， 弦长， 根据点到直线的距离公式可知，点到直线AB距离为， 由可得，，即，化简得， 因式分解得，因，得， 所以直线AB方程为. 17．【详解】（1）设， ，代入得． 所以，设直线斜率为,则，所以， 即所以 所以． 即为定值． （2）设直线的倾斜角为，由对称性不妨令为锐角，则， ． 而． 因为，所以， 故． ①点处切线方程为，即．当与切线重合时，，； ②当点在右侧，即时，没有最大值； ③当点在两侧，， ，此时． 当点在两侧时，有最大值． 18．【解】（1）设，， 则， 解得（舍）或， 由，两式作差得 当时，,故， 设：，联立，得（*） ，，且， 故直线，可知直线恒过定点， ∴且, 故，即， 当，亦满足上式，， 所以所求为. （2）由（1）可知直线 所以直线恒过定点. 19．【解】（1）设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，， 即，故抛物线的方程是. （2）设圆心，点. 因为圆过点，则可设圆的方程为. 令，得，则 所以. 设抛物线的方程为， 因为圆心在抛物线上，则. 所以. 由此可得，当时，为定值. 故存在一条抛物线，使为定值4. 学科网（北京）股份有限公司 $$