1.3.2 等比数列与指数函数课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列与指数函数的关系，通过知识回顾等比数列概念及通项公式，结合4个具体数列求通项、画图并判断单调性，以旧知为支架引出an与n的函数关系，衔接指数函数展开探究。 其亮点是借助指数函数性质分析等比数列单调性，通过实例抽象数量关系培养数学眼光，归纳规律和证明性质发展数学思维，例题与检测题强化数学语言表达。助力学生理解本质提升推理能力，为教师提供清晰教学逻辑与丰富实例。

1.3.2 等比数列与指数函数 第1章 作者编号：32200 1.掌握等比数列与函数的关系. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 学习目标 作者编号：32200 1.等比数列的概念: 2.等比数列的通项公式: 请说出等比数列的概念及通项公式. 知识回顾 … … … 作者编号：32200 求下列等比数列{an}的通项公式，并画出这个数列的图象，判断数列的单调性. (1)a1＝3，q＝2； (2)a1＝3，d＝； (3)a1＝-3，q＝2； (4)a1＝-3，d＝. 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 新知探究 … … … 作者编号：32200 问题1：在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关? 新知探究 … … … 作者编号：32200 借助函数的性质来分析等比数列的性质. 显然当q＞1时，指数函数f(x)＝qx递增； 当0＜q＜1时，指数函数f(x)＝qx递减. 若a1＞0，q＞0，那么c＞0，则 当q＞1时，函数f(x)＝cqx递增，数列递增，如数列(1)； 当0＜q＜1时，函数f(x)＝cqx递减，数列递减，如数列(2)； 作者编号：32200 若a1＜0，q＞0，那么c＜0，则 当q＞1时，函数f(x)＝cqx递减，数列递减，如数列(3)； 当0＜q＜1时，函数f(x)＝cqx递增，数列递增，如数列(4). 借助函数的性质来分析等比数列的性质. 作者编号：32200 特别地，当等比数列的公比q＝1时，等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点. 当q＜0时，例如等比数列的通项公式an＝3·()n-1，此时，如果将n换成实数x， 得到y＝3·()x-1，当x不为整数时没有意义，因此这样的等比数列不能通过指 数函数来研究. 当n为奇数时，an＝3·()n-1＞0， 当n为偶数时，an＝3·()n-1＜0， 可见{an}中的项正负交替， {an}是摆动数列. 作者编号：32200 归纳总结 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列. (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列. (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列. 判断等比数列{an}的单调性的方法 作者编号：32200 例1 设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 B 新知探究 … … … 作者编号：32200 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1<a2，可得a1(q－1)>0， 此时数列{an}不一定是递增数列； 所以“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，求证：{anbn}也是等比数列. 证：设数列{an}，{bn}的公比分别为p，q， 那么anbn＝a1pn－1·b1qn－1与an+1bn+1＝a1pn·b1qn， ∵，它是一个与n无关的非零常数， ∴{anbn}是一个以pq为公比的等比数列. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列. (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}满足bn＝，证明：数列{bn}是等比数列. (2)若数列{an}是公比为q的正项等比数列，数列{bn}满足bn＝lg an，证明：数列{bn}是等差数列. 证：(1)∵bn＝，， ∴数列{bn}是公比q＝10d的等比数列. (2)∵bn+1－bn＝lg an+1－lg an＝lg ＝lg q， ∴数列{bn}是公差d＝lg q的等差数列. 新知探究 … … … 作者编号：32200 问题2：在等比数列{an}中，a52=a1a9是否成立？a52=a3a7是否成立？an2=an-2an+2(n＞2，n∈N*)是否成立？ ∵a5=a1q4，a9=a1q8，∴a1a9=a12q8=(a1q4)2=a52， ∴a52=a1a9成立. 同理a52=a3a7成立，an2=an-2an+2也成立. 新知探究 … … … 作者编号：32200 等比数列的性质： 一般地，如果 {an} 是等比数列，而且正整数s， t，p，q满足 s + t = p + q，则 . 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 = apaq，即 as 是 ap 与 aq 的等比中项. 知识梳理 作者编号：32200 例4 已知{an}为等比数列. (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 解：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a42＋2a3a5＋a52＝(a4＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. 新知探究 … … … 作者编号：32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.等比数列的单调性与指数函数有什么关系？ 2.等比数列的下标有什么关系？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.等比数列{an}中，首项a1<0，则数列{an}是递增数列的充要条件是公比q满足(　　) A.q>1 B.q<1 C.0<q<1 D.q<0 2.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 C D 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.在等比数列{an}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a50的值为(　　) A.10 B.16 C.±4 D.4 4.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 C C 当堂检测 … … … 作者编号：32200 由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 解得或 若数列{an}为递增数列，可得或 $$