第32讲：直线的交点坐标与距离公式【知识梳理+题型归纳】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第32讲：直线的交点坐标与距离公式】 【知识梳理】 一、直线的交点坐标 1.核心原理 两条直线的交点坐标，本质是两直线方程所构成方程组的唯一解（两直线相交时）。 2.判定与求解步骤 判定相交条件：设直线， 当时，两直线相交，有唯一交点； 当时，两直线平行或重合，无交点或无数交点。 求解交点坐标：联立两直线方程，解二元一次方程组，所得即为交点坐标。 二、距离公式（三大核心类型） 1.两点间距离公式 适用场景：已知两点、，求两点间距离。 公式： （推导依据：平面直角坐标系中勾股定理） 特殊情况：若两点在x轴上（），则；若在y轴上（），则。 2.点到直线的距离公式 适用场景：已知点和直线（不同时为0），求点到直线的垂线段长度。 公式： （分子取绝对值保证距离非负，分母为直线方程系数的“平方和开根号”，避免分母为0） 易错点：使用前需将直线方程化为一般式（），否则公式不适用。 3.两平行直线间的距离公式 适用场景：已知两条平行直线、（不同时为0，且），求两直线间的距离。 公式： （推导依据：在一条直线上取任意一点，转化为“点到直线的距离”计算） 关键前提：两直线方程需满足“x、y系数对应相等”（即化为相同的一般式形式），若系数不同，需先统一系数（如可化为，再与计算距离）。 三、对称相关知识（四大核心类型） 1.点关于点对称 核心原理：对称点与原点（对称中心）的连线被对称中心平分，即对称中心是两点连线的中点。 求解方法：设点关于点的对称点为，根据中点坐标公式可得： ，解得。 2.点关于直线对称 核心原理：直线是两点连线的垂直平分线，满足两个条件：①两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为-1，若直线斜率存在）；②两点连线的中点在对称轴上。 求解步骤：设点关于直线的对称点为，则： ①垂直条件：若直线斜率为（），则，即； ②中点条件：中点在直线上，代入得； 联立①②，解方程组得x'、y'（若直线斜率不存在，即垂直x轴，直接利用对称性求解，如直线，则，）。 3.直线关于点对称 核心原理：两条对称直线平行（斜率相同），且对称中心到两条直线的距离相等。 求解方法：设直线关于点的对称直线为l'，则l'方程可设为（因平行，x、y系数相同）； 由点到与l'的距离相等，得，即； 又因与l'不重合，故，解得，即。 4.直线关于直线对称 核心原理：分两种情况：①两直线相交，对称直线过两直线的交点，且与两直线的夹角相等；②两直线平行，对称直线与它们平行，且到两条直线的距离相等。 求解方法： 当两直线与对称轴相交时：先求交点；在上取一点，求其关于的对称点Q'；由P、Q'两点确定对称直线； 当两直线与对称轴平行时：设，，对称直线，根据，得（保证与在两侧）。 四、核心易错点与注意事项 1.求交点时，需先判断两直线是否相交（避免联立无解或无数解的情况）； 2.距离公式中，分母不可漏写，且需保证不同时为0； 3.两平行直线距离计算前，必须统一x、y的系数（系数成比例时需化简为相同系数）； 4.所有距离均为非负数，公式中分子的绝对值不可省略； 5.点关于直线对称求解时，需同时满足“垂直”和“中点在直线上”两个条件，缺一不可； 6.直线关于直线对称时，需先判断两直线是否相交，再选择对应方法，避免混淆平行与相交的求解逻辑 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：两直线的位置关系】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线平行的关系求解. 【详解】设过两直线和的交点的直线系方程为， 即． 由于与平行，所以，解得． 当时，直线的方程是，故符合题意. 故答案为： 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】/ 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,所以，解得， 所以，所以． 因为直线过点，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立的方程得解得的交点坐标为． 因为点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：． 【针对训练】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】（1）由得，解得，经检验，符合题意, 故； （2）当时，，联立，解得， 即直线的交点为， 又直线的斜率为， 故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 【解题策略】 判断两直线的位置关系： 利用斜率判断：若两直线斜率都存在，对于不重合的直线、，斜率分别为、，则，。要注意前提是两直线斜率都存在。当两直线不重合且斜率都不存在时，两直线平行；一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直。 根据直线方程的一般式判断：对于直线和，若，则；若，则；若方程组有唯一解，则两直线相交。 由两直线的位置关系求参数： 平行关系求参数：根据两直线平行的条件列方程求解，如两直线与平行，则，同时要注意排除两直线重合的情况。 垂直关系求参数：依据两直线垂直的条件（斜率都存在时可用）列方程，进而求出参数的值。 由两直线的位置关系求直线方程： 平行直线系方程：与直线平行的直线方程可设为，再根据已知条件求出的值。 垂直直线系方程：与直线垂直的直线方程可设为，然后结合其他条件确定。 过两直线交点的直线系方程：过直线与交点的直线系方程为（为参数），不包括直线。可根据其他条件求出，进而得到直线方程。 【考点二：距离问题】 【例题】1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是 ． 【答案】 【分析】由条件，结合等差数列定义可得，由此可得直线过定点，推出点到直线的距离，由此可得结论. 【详解】因为，，成等差数列，所以，即， 方程可化为，即， 所以直线过定点， 设点到直线的距离为，则，当且仅当与直线垂直时等号成立， 所以当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 最大距离等于， 所以点到直线的最大距离是， 故答案为：. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 3．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 【解题策略】 一、核心距离公式（解题基础，必须熟记） 1. 点到直线的距离公式 若点坐标为，直线方程为（不同时为0），则点到直线的距离为： 关键前提：直线方程需化为一般式，分母为系数平方和的算术平方根，分子为绝对值（保证距离非负）。 2. 两条平行线间的距离公式 若两条平行线的方程分别为和（不同时为0，），则两直线间的距离为： 关键前提：两直线方程需满足x、y系数完全相同（若不同，需先统一系数，如将化为，再与计算距离）。 3. 两点间距离公式（辅助工具） 若两点坐标为、，则两点间距离为： 常与“点到直线距离”“对称问题”结合使用（如求对称点后计算距离）。 二、常见题型分类及解题步骤（高考高频考法） 题型1：直接利用公式求距离 解题步骤： ① 统一方程形式：将直线方程化为一般式（点到直线距离）或统一x、y系数（平行线间距离）； ② 代入对应公式：明确公式中各参数（如或），注意分子绝对值符号； ③ 计算化简：分母有理化（若有根号），结果需化为最简形式（如分数、整数或根号形式）。 题型2：已知距离求参数（逆向求解） 解题步骤： ① 确定距离类型：判断是“点到直线距离”还是“平行线间距离”，明确已知条件与待求参数的位置（如参数在直线方程系数中，或在点的坐标中）； ② 代入公式列方程：根据距离公式建立含参数的方程，注意绝对值符号带来的“正负两种情况”； ③ 求解并验证：解绝对值方程得到参数值，需验证参数是否满足直线方程的前提（如两直线平行时，需排除重合情况，即系数成比例但常数项不成比例）。 题型3：距离的最值问题（高考难点） 解题思路： ① 转化为“点到直线距离”：若求“直线上一点到定点的最短距离”，直接用点到直线距离（最短距离即定点到直线的垂线段长度）；若求“两条动直线间的最短距离”，需先判断直线位置关系（平行时可转化为定点到直线的距离，相交时最短距离为0）； ② 结合几何意义：利用“三角形两边之和大于第三边”“垂线段最短”等几何性质，避免复杂代数运算； ③ 函数法辅助：若含参数的距离表达式可化为二次函数，可通过配方法求最值（注意参数的取值范围）。 题型4：距离与其他知识结合（综合题） 常见结合方向：与直线的平行/垂直、对称问题、圆的方程（如圆上点到直线的距离）结合； 解题核心：先拆解问题，优先解决“距离相关的核心条件”，再结合其他知识（如利用垂直关系求直线斜率，利用对称点求距离），分步突破。 三、常见误区与规避方法（易错点总结） 1. 公式使用前提错误 误区：计算平行线间距离时，未统一x、y系数（如直接用与代入公式）； 规避：先将两直线方程化为“”与“”形式，确保A、B完全相同。 2. 忽略绝对值的多解性 误区：已知点到直线距离求参数时，直接去掉绝对值（如由只解得，遗漏）； 规避：解绝对值方程时，明确“”等价于“或”，所有解需代入原直线方程验证合理性。 3. 混淆“点到直线距离”与“两点间距离” 误区：求“直线外一点到直线上某点的距离”时，误用水平/垂直距离（如点到直线的距离，误算为横坐标差1）； 规避：牢记“点到直线的距离是垂线段长度”，必须用点到直线距离公式，不可用两点间距离公式随意计算。 【考点三：对称问题】 【例题】1．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 2．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程. 【详解】因为，所以，所以交点是， 设直线的方程为，代入，则，所以， 因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为， 关于的对称点为，且在直线上， 所以，即， 所以直线的方程为. 【针对训练】1．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标. 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 3．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 【解题策略】 一、对称问题核心解题依据（本质原理） 对称问题的本质是“垂直”与“中点在对称轴上”，所有类型的对称求解均围绕这两个核心条件展开： 1. 垂直关系：若点与对称点$P'$关于直线对称，则直线$PP'$与对称轴垂直，即它们的斜率之积为（若其中一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率为）。 2. 中点在轴上：线段$PP'$的中点坐标满足对称轴的方程，即中点在对称轴直线上。 二、常见对称类型及解题策略（高考高频考法） 类型1：点关于直线对称（基础且核心） 解题步骤： 1. 设坐标：设已知点为，其关于直线（不同时为0）的对称点为。 2. 列方程组：根据核心依据列两个方程： 垂直条件：若直线斜率存在（），则；若直线斜率不存在（），则$PP'$平行于轴，即。 中点条件：线段$PP'$的中点代入直线方程，得。 3. 求解方程组：解上述二元一次方程组，得到和的值，即为对称点$P'$的坐标。 类型2：直线关于直线对称（综合应用） 解题思路（两种常用方法）： 1. 两点法（通用）： 取点：在已知直线上任意取两个不重合的点、（优先取与对称轴相交的点，简化计算）。 求对称点：分别求出点、关于对称轴的对称点、（方法同“点关于直线对称”）。 求直线方程：根据两点、，利用两点式或点斜式求出对称直线的方程。 2. 到角公式法（适用于两直线相交）： 求交点：先求出已知直线与对称轴的交点（该点在对称直线上）。 算斜率：设、、的斜率分别为、、，根据“到角相等”（到的角等于到的角），利用到角公式，求解得到。 定方程：已知对称直线过交点且斜率为，用点斜式确定其方程。 类型3：点关于点对称（简单拓展） 解题步骤： 1. 设坐标：设已知点为，关于定点的对称点为。 2. 用中点公式列方程：因是线段$PP'$的中点，根据中点坐标公式得，。 3. 求解：直接解上述方程，得，，即对称点$P'$的坐标。 三、常见误区与规避方法（易错点总结） 1. 忽略斜率不存在的情况： 误区：求解点关于直线对称时，默认直线斜率存在，遗漏“直线垂直于x轴（斜率不存在）”或“直线平行于x轴（斜率为0）”的特殊情况。 规避：先判断对称轴直线的斜率是否存在，再选择对应的垂直条件（如斜率不存在时，对称点的横坐标与已知点相同；斜率为0时，对称点的纵坐标与已知点相同）。 2. 计算中点坐标出错： 误区：列中点条件时，误将中点坐标写为，导致方程错误。 规避：牢记中点坐标公式，代入对称轴方程前先检查中点坐标的表达式是否正确。 3. 直线关于直线对称时漏验证： 误区：用两点法求对称直线时，取的两点过于特殊（如两点连线与对称轴平行），或未验证所求直线是否符合对称性质。 规避：优先取与对称轴相交的点，若两点连线与对称轴垂直，可额外再取一个点验证；求出直线方程后，可随机取原直线上一点，检查其对称点是否在所求直线上。 4. 混淆“到角”与“夹角”： 误区：用到角公式时，误将“到角”等同于“夹角”（夹角是锐角或直角，到角有方向），导致斜率计算错误。 规避：明确“到角”的方向（如到的角是从逆时针转到的角），严格按照到角公式的定义列方程，若斜率不存在需单独讨论。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 二、多选题 5．（25-26高二上·全国·单元测试）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 7．（25-26高二上·全国·课前预习）已知，则 ，AB的中点坐标为 . 8．（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 四、解答题 10．（2025高二·全国·专题练习）求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直． 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，并且的角平分线所在直线方程分别为，求直线的方程． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线交于点C，直线过点C且原点到的距离等于2． (1)求直线的方程； (2)设直线关于直线对称的直线为，x轴与直线和直线分别交于点A，B，求． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程． (2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B C D B AD 1．B 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 2．C 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 3．D 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 4．B 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 故选：B． 5．AD 【分析】设与直线平行的直线方程为，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或． 故选：AD 6．或 【分析】本题利用定点到定直线的距离为求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 7． 【分析】由两点之间距离公式及中点坐标公式得到答案. 【详解】因为，所以， 中点坐标即， 故答案为：；. 8．（或，答案不唯一） 【分析】分别计算、、时的的值即可. 【详解】当时，由两点间距离公式可得，解得； 当时，由两点间距离公式可得， 解得； 当时，由两点间距离公式可得， 此时方程无解，综上，m的取值可能为． 故答案为：（或，答案不唯一）. 9． 【分析】由垂直求得直线的方程，列方程组求得B点的坐标. 【详解】∵△ABC的高CD所在直线方程为，∴直线AB的斜率． 又△ABC的顶点，∴直线AB的方程为，即． 又∠ABC的平分线BE所在直线方程为， ∴联立得∴B点坐标为． 故答案为：. 10．(1) (2)． 【分析】解法1：（1）求出直线的交点，利用线线平行斜率相等即可求解；（2）利用线线垂直斜率关系即可求解； 解法2：（1）（2）设出两条直线和的交点的直线的方程为，利用平行、垂直关系即可求解. 【详解】（1）解法1：联立方程，得两条直线的交点为，所以直线过点． 因为直线与直线平行，所以，即，所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即． （2）解法1：因为直线与直线垂直，所以，即，所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线垂直，所以，解得， 所以直线的方程为，即． 11． 【分析】设点关于的对称点为，由公式求出，同理设点关于的对称点为，由公式求出，再由两点式方程求解即可． 【详解】设点关于的对称点为， 则由对称点公式得，， 故，． 设点关于的对称点为， 则直接由代入法得，即． 由都在直线上，故得直线的方程为， 即． 12．(1)或. (2)或. 【分析】（1）法1：分直线过线段的中点和直线与直线平行两种情况分类讨论即可；法2：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可. （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再求出交点，根据距离公式求出长度即可. 【详解】（1）法1：直线过线段的中点：中点，直线的斜率， 则直线的方程为； 直线与直线平行：直线的斜率，则直线的方程为； 故直线的方程为或. 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 点与点到直线l的距离相等，则，得或， 故直线的方程为或. （2）当直线的斜率不存在时，， 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 得交点； 得交点； 则， 得，则， 综上，直线的方程为或. 13．(1)或 (2)或 【分析】（1）求出交点，再根据斜率是否存在分类讨论即可； （2）先求出上一点关于直线的对称点，再结合（1）求出的点即可求出直线的方程， 再结合（1）所求的的方程即可求出两点，进而求出． 【详解】（1）联立方程，解得，∴， ①当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足原点到的距离为2； ②当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， ∴原点到该直线的距离为，解得， ∴直线的方程为， 综上所述，符合题意的直线的方程为或． （2）如图，在上取一点，设点M关于直线的对称点为，连接MN，      则，解得， ∴， 又，作直线CN， ∴直线CN的方程即为所求直线的方程，即， 化简得， 令中的，得，即， 若为，则， 若为，令中的，得，则， 综上，或． 14．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，先求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程. （2）选①的情况：先联立直线与角平分线的方程求出点的坐标，再利用对称点的性质求出点关于角平分线的对称点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 选②的情况：先联立直线与边上中线的方程求出点的坐标，然后根据中点坐标公式及中点在边上中线所在直线上，得到点满足的方程，再结合在边上高所在直线上，联立求出点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，从而得到直线的方程. 【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 转化为斜截式，其斜率为， 所以直线的斜率为， 又的顶点，所以直线的方程为， 即． （2）若选①：角的平分线所在的直线方程为， 由解得，所以点． 设点 关于的对称点， 则 解得所以点， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由解得所以点． 设点，则的中点在直线上， 所以，即， 所以点在直线上， 因为边上的高所在的直线方程为且边上的高一定过点 所以点在直线上， 由解得即点， 所以， 所以直线的方程为，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第32讲：直线的交点坐标与距离公式】 【知识梳理】 一、直线的交点坐标 1.核心原理 两条直线的交点坐标，本质是两直线方程所构成方程组的唯一解（两直线相交时）。 2.判定与求解步骤 判定相交条件：设直线， 当时，两直线相交，有唯一交点； 当时，两直线平行或重合，无交点或无数交点。 求解交点坐标：联立两直线方程，解二元一次方程组，所得即为交点坐标。 二、距离公式（三大核心类型） 1.两点间距离公式 适用场景：已知两点、，求两点间距离。 公式： （推导依据：平面直角坐标系中勾股定理） 特殊情况：若两点在x轴上（），则；若在y轴上（），则。 2.点到直线的距离公式 适用场景：已知点和直线（不同时为0），求点到直线的垂线段长度。 公式： （分子取绝对值保证距离非负，分母为直线方程系数的“平方和开根号”，避免分母为0） 易错点：使用前需将直线方程化为一般式（），否则公式不适用。 3.两平行直线间的距离公式 适用场景：已知两条平行直线、（不同时为0，且），求两直线间的距离。 公式： （推导依据：在一条直线上取任意一点，转化为“点到直线的距离”计算） 关键前提：两直线方程需满足“x、y系数对应相等”（即化为相同的一般式形式），若系数不同，需先统一系数（如可化为，再与计算距离）。 三、对称相关知识（四大核心类型） 1.点关于点对称 核心原理：对称点与原点（对称中心）的连线被对称中心平分，即对称中心是两点连线的中点。 求解方法：设点关于点的对称点为，根据中点坐标公式可得： ，解得。 2.点关于直线对称 核心原理：直线是两点连线的垂直平分线，满足两个条件：①两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为-1，若直线斜率存在）；②两点连线的中点在对称轴上。 求解步骤：设点关于直线的对称点为，则： ①垂直条件：若直线斜率为（），则，即； ②中点条件：中点在直线上，代入得； 联立①②，解方程组得x'、y'（若直线斜率不存在，即垂直x轴，直接利用对称性求解，如直线，则，）。 3.直线关于点对称 核心原理：两条对称直线平行（斜率相同），且对称中心到两条直线的距离相等。 求解方法：设直线关于点的对称直线为l'，则l'方程可设为（因平行，x、y系数相同）； 由点到与l'的距离相等，得，即； 又因与l'不重合，故，解得，即。 4.直线关于直线对称 核心原理：分两种情况：①两直线相交，对称直线过两直线的交点，且与两直线的夹角相等；②两直线平行，对称直线与它们平行，且到两条直线的距离相等。 求解方法： 当两直线与对称轴相交时：先求交点；在上取一点，求其关于的对称点Q'；由P、Q'两点确定对称直线； 当两直线与对称轴平行时：设，，对称直线，根据，得（保证与在两侧）。 四、核心易错点与注意事项 1.求交点时，需先判断两直线是否相交（避免联立无解或无数解的情况）； 2.距离公式中，分母不可漏写，且需保证不同时为0； 3.两平行直线距离计算前，必须统一x、y的系数（系数成比例时需化简为相同系数）； 4.所有距离均为非负数，公式中分子的绝对值不可省略； 5.点关于直线对称求解时，需同时满足“垂直”和“中点在直线上”两个条件，缺一不可； 6.直线关于直线对称时，需先判断两直线是否相交，再选择对应方法，避免混淆平行与相交的求解逻辑 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：两直线的位置关系】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【针对训练】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【解题策略】 判断两直线的位置关系： 利用斜率判断：若两直线斜率都存在，对于不重合的直线、，斜率分别为、，则，。要注意前提是两直线斜率都存在。当两直线不重合且斜率都不存在时，两直线平行；一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直。 根据直线方程的一般式判断：对于直线和，若，则；若，则；若方程组有唯一解，则两直线相交。 由两直线的位置关系求参数： 平行关系求参数：根据两直线平行的条件列方程求解，如两直线与平行，则，同时要注意排除两直线重合的情况。 垂直关系求参数：依据两直线垂直的条件（斜率都存在时可用）列方程，进而求出参数的值。 由两直线的位置关系求直线方程： 平行直线系方程：与直线平行的直线方程可设为，再根据已知条件求出的值。 垂直直线系方程：与直线垂直的直线方程可设为，然后结合其他条件确定。 过两直线交点的直线系方程：过直线与交点的直线系方程为（为参数），不包括直线。可根据其他条件求出，进而得到直线方程。 【考点二：距离问题】 【例题】1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是 ． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【解题策略】 一、核心距离公式（解题基础，必须熟记） 1. 点到直线的距离公式 若点坐标为，直线方程为（不同时为0），则点到直线的距离为： 关键前提：直线方程需化为一般式，分母为系数平方和的算术平方根，分子为绝对值（保证距离非负）。 2. 两条平行线间的距离公式 若两条平行线的方程分别为和（不同时为0，），则两直线间的距离为： 关键前提：两直线方程需满足x、y系数完全相同（若不同，需先统一系数，如将化为，再与计算距离）。 3. 两点间距离公式（辅助工具） 若两点坐标为、，则两点间距离为： 常与“点到直线距离”“对称问题”结合使用（如求对称点后计算距离）。 二、常见题型分类及解题步骤（高考高频考法） 题型1：直接利用公式求距离 解题步骤： ① 统一方程形式：将直线方程化为一般式（点到直线距离）或统一x、y系数（平行线间距离）； ② 代入对应公式：明确公式中各参数（如或），注意分子绝对值符号； ③ 计算化简：分母有理化（若有根号），结果需化为最简形式（如分数、整数或根号形式）。 题型2：已知距离求参数（逆向求解） 解题步骤： ① 确定距离类型：判断是“点到直线距离”还是“平行线间距离”，明确已知条件与待求参数的位置（如参数在直线方程系数中，或在点的坐标中）； ② 代入公式列方程：根据距离公式建立含参数的方程，注意绝对值符号带来的“正负两种情况”； ③ 求解并验证：解绝对值方程得到参数值，需验证参数是否满足直线方程的前提（如两直线平行时，需排除重合情况，即系数成比例但常数项不成比例）。 题型3：距离的最值问题（高考难点） 解题思路： ① 转化为“点到直线距离”：若求“直线上一点到定点的最短距离”，直接用点到直线距离（最短距离即定点到直线的垂线段长度）；若求“两条动直线间的最短距离”，需先判断直线位置关系（平行时可转化为定点到直线的距离，相交时最短距离为0）； ② 结合几何意义：利用“三角形两边之和大于第三边”“垂线段最短”等几何性质，避免复杂代数运算； ③ 函数法辅助：若含参数的距离表达式可化为二次函数，可通过配方法求最值（注意参数的取值范围）。 题型4：距离与其他知识结合（综合题） 常见结合方向：与直线的平行/垂直、对称问题、圆的方程（如圆上点到直线的距离）结合； 解题核心：先拆解问题，优先解决“距离相关的核心条件”，再结合其他知识（如利用垂直关系求直线斜率，利用对称点求距离），分步突破。 三、常见误区与规避方法（易错点总结） 1. 公式使用前提错误 误区：计算平行线间距离时，未统一x、y系数（如直接用与代入公式）； 规避：先将两直线方程化为“”与“”形式，确保A、B完全相同。 2. 忽略绝对值的多解性 误区：已知点到直线距离求参数时，直接去掉绝对值（如由只解得，遗漏）； 规避：解绝对值方程时，明确“”等价于“或”，所有解需代入原直线方程验证合理性。 3. 混淆“点到直线距离”与“两点间距离” 误区：求“直线外一点到直线上某点的距离”时，误用水平/垂直距离（如点到直线的距离，误算为横坐标差1）； 规避：牢记“点到直线的距离是垂线段长度”，必须用点到直线距离公式，不可用两点间距离公式随意计算。 【考点三：对称问题】 【例题】1．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 2．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【针对训练】1．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 3．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【解题策略】 一、对称问题核心解题依据（本质原理） 对称问题的本质是“垂直”与“中点在对称轴上”，所有类型的对称求解均围绕这两个核心条件展开： 1. 垂直关系：若点与对称点$P'$关于直线对称，则直线$PP'$与对称轴垂直，即它们的斜率之积为（若其中一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率为）。 2. 中点在轴上：线段$PP'$的中点坐标满足对称轴的方程，即中点在对称轴直线上。 二、常见对称类型及解题策略（高考高频考法） 类型1：点关于直线对称（基础且核心） 解题步骤： 1. 设坐标：设已知点为，其关于直线（不同时为0）的对称点为。 2. 列方程组：根据核心依据列两个方程： 垂直条件：若直线斜率存在（），则；若直线斜率不存在（），则$PP'$平行于轴，即。 中点条件：线段$PP'$的中点代入直线方程，得。 3. 求解方程组：解上述二元一次方程组，得到和的值，即为对称点$P'$的坐标。 类型2：直线关于直线对称（综合应用） 解题思路（两种常用方法）： 1. 两点法（通用）： 取点：在已知直线上任意取两个不重合的点、（优先取与对称轴相交的点，简化计算）。 求对称点：分别求出点、关于对称轴的对称点、（方法同“点关于直线对称”）。 求直线方程：根据两点、，利用两点式或点斜式求出对称直线的方程。 2. 到角公式法（适用于两直线相交）： 求交点：先求出已知直线与对称轴的交点（该点在对称直线上）。 算斜率：设、、的斜率分别为、、，根据“到角相等”（到的角等于到的角），利用到角公式，求解得到。 定方程：已知对称直线过交点且斜率为，用点斜式确定其方程。 类型3：点关于点对称（简单拓展） 解题步骤： 1. 设坐标：设已知点为，关于定点的对称点为。 2. 用中点公式列方程：因是线段$PP'$的中点，根据中点坐标公式得，。 3. 求解：直接解上述方程，得，，即对称点$P'$的坐标。 三、常见误区与规避方法（易错点总结） 1. 忽略斜率不存在的情况： 误区：求解点关于直线对称时，默认直线斜率存在，遗漏“直线垂直于x轴（斜率不存在）”或“直线平行于x轴（斜率为0）”的特殊情况。 规避：先判断对称轴直线的斜率是否存在，再选择对应的垂直条件（如斜率不存在时，对称点的横坐标与已知点相同；斜率为0时，对称点的纵坐标与已知点相同）。 2. 计算中点坐标出错： 误区：列中点条件时，误将中点坐标写为，导致方程错误。 规避：牢记中点坐标公式，代入对称轴方程前先检查中点坐标的表达式是否正确。 3. 直线关于直线对称时漏验证： 误区：用两点法求对称直线时，取的两点过于特殊（如两点连线与对称轴平行），或未验证所求直线是否符合对称性质。 规避：优先取与对称轴相交的点，若两点连线与对称轴垂直，可额外再取一个点验证；求出直线方程后，可随机取原直线上一点，检查其对称点是否在所求直线上。 4. 混淆“到角”与“夹角”： 误区：用到角公式时，误将“到角”等同于“夹角”（夹角是锐角或直角，到角有方向），导致斜率计算错误。 规避：明确“到角”的方向（如到的角是从逆时针转到的角），严格按照到角公式的定义列方程，若斜率不存在需单独讨论。 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 二、多选题 5．（25-26高二上·全国·单元测试）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 7．（25-26高二上·全国·课前预习）已知，则 ，AB的中点坐标为 . 8．（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 四、解答题 10．（2025高二·全国·专题练习）求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直． 11．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，并且的角平分线所在直线方程分别为，求直线的方程． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线交于点C，直线过点C且原点到的距离等于2． (1)求直线的方程； (2)设直线关于直线对称的直线为，x轴与直线和直线分别交于点A，B，求． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． (1)求直线的方程． (2)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$