3.2.2双曲线的几何性质课后提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的几何性质课后提升训练 人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 一、单项选择题 1．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 2．焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．4 4．已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（   ） A． B． C．7 D．14 二、多项选择题 9．已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 10．已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（   ） A．C的渐近线方程为 B．C的离心率为 C．M到两渐近线的距离之积为 D． 11．已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（    ）． A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为 C．四边形的面积为15 D． 三、填空题. 12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 13．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的离心率，则双曲线的标准方程为 ． 14．若双曲线的离心率为3，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题 15．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 16．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点. (1)求，的坐标及双曲线Γ的渐近线方程； (2)是否存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 17．已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 18．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 19．已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 参考答案 一、单项选择题 1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 二、多项选择题 9．BD 10．BCD 11．ACD 三、填空题 12．2 13． 14． 四、解答题 15．【解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 16．【解】（1）由双曲线Γ的方程得，，得， 则，即. 故，，渐近线方程为. （2）存在过点的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得. 易知直线l不与x轴重合.（当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左右顶点，，，不满足题意） 设，，AB的中点. 由得为等腰三角形， 则，， 即，， 即，.① 因为点A，B在Γ上，所以 ②－③得，即， 则，即， 所以.④ 联立①④，消去得， 解得或（舍）， 当时，，所以， 由得， 所以直线的方程为. 17．【解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率． 18．【解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 将代入，得，得， 故双曲线的方程为，所以，故离心率． （2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． （3）联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 又点在圆上，所以，所以． 19．【解】（1）因为点在双曲线上，所以， 由离心率为可得，解得， 所以的方程为． （2）如图，设直线的方程为，， 联立得， 由题意可得，且， 化简得， 由韦达定理得． 因为， 所以， 整理得， 即， 化简得，因为直线不经过点，所以， 此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系． 所以，即，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$