1.4.2用空间向量研究夹角问题(第二课时)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

用空间向量研究夹角问题 第二课时 第一章 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 索引 知识点梳理 例题探究 课堂即时练 学习安排 一、新知填空(预习教材P36~P41后填空) 1.两条异面直线所成的角 设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v, 则cos θ=|cos<u,v>|=_____________=______________. 知识点梳理 注：两异面直线所成角的范围是 3 2.直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|=_________=__________. 知识点梳理 注：线面角的范围为. 4 3.两平面的夹角 平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中______________的二面角称为平面α与平面 β的夹角. 4.两平面夹角的计算 设平面α,β的法向量分别是n1,n2,平面α与平面β的夹角为θ, 则cos θ=|cos<n1,n2>|=____________=_____________. 不大于90° 5 (1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题. (2)两平面的夹角的范围是,二面角的范围是[0,π]. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念. 温馨提醒 6 (链接教材P36例7)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,求直线PB和AC所成角的余弦值. 例1 一、异面直线所成的角 法一　如图,取BC的中点O,连接OP,OA, 因为△ABC和△PBC均为等边三角形, 所以AO⊥BC,PO⊥BC,且AO,PO⊂平面PAO,AO∩PO=O, 所以BC⊥平面PAO, 从而平面PAO⊥平面ABC,且∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,建立空间直角坐标系如图所示. 7 设AB=2,则A(,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),P, 所以=(-,-1,0),=, cos<,>==-, 所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 法二　如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA, 因为△ABC和△PBC均为等边三角形, 所以AO⊥BC,PO⊥BC, 所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角. 8 设AB=2,则=-,=-, 故·=(-)·(-)=·-·-·+· =-1-0-0+××=-, 所以cos<,>==-, 即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 9 反思总结 求异面直线所成角的步骤: (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标; (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角; (4)结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角. 10 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M为PC的中点. (1)求证:PA∥平面MBD; 例2 二、直线与平面所成的角 连接AC交BD于点O,连接OM. 因为四边形ABCD为矩形,则O为AC中点. 又M为PC中点,所以OM∥PA. 因为OM⊂平面MBD,PA⊄平面MBD, 所以PA∥平面MBD. 11 由题可得,AB,AD,AP两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),M(1,1,1),D(0,2,0), 所以=(-1,1,1),=(1,1,1),=(0,2,0). 设平面AMD的法向量为n=(x,y,z), 则 (2)若AB=AD=PA=2,求直线BM与平面AMD所成角的正弦值. 12 令x=1,则y=0,z=-1,得n=(1,0,-1). 设直线BM与平面AMD所成角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|===, 所以直线BM与平面AMD所成角的正弦值为. 13 反思总结 若直线l与平面α所成的角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下: 14 (链接教材P37例8)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,点E是PD的中点,AB=1,AD=PA=2. (1)求证:PB∥平面EAC; 例3 三、平面与平面的夹角 因为底面ABCD是矩形, 所以AB⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD. 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 15 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1), 所以=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,-2). 设平面EAC的法向量为n=(x,y,z), 则 取y=1,则x=-2,z=-1, 所以n=(-2,1,-1)是平面EAC的一个法向量, 因为n·=0,且PB⊄平面EAC, 所以PB∥平面EAC. 由(1)可知AB⊥AD,PA⊥AD, 又因为PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB, 所以=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量, 设平面EAC与平面PAB的夹角为θ, 则cos θ=|cos<,n>|===, 所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为. (2)求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值. 17 课堂即时练 1.设两条异面直线a,b的方向向量分别为a=(-1,1,0),b=(0,-1,1),则a与b所成的角为 A. B. C. D. √ 设直线a与b所成的角为θ, 则cos θ===, 又θ∈,故θ=. 18 课堂即时练 2.设直线a的方向向量为a=(-1,2,1),平面α的法向量为b=(0,1,2),则直线a与平面α所成角的正弦值为　　　　　　　　.  　 由题意设直线a与平面α所成的角为θ, 则sin θ===. 19 课堂即时练 3.如图,已知向量m,n分别是平面α和平面β的法向量,若cos<m,n>=-,则二面角α-l-β= A.30° B.60° C.120° D.150° 设二面角α-l-β为θ,0°≤θ≤180°,由题图判断可知,cos θ=cos<m,n>=-, 故θ=120°. √ 20 课堂小结 1.知识清单 （1）两异面直线所称的角 （2）直线与平面所成的角 （2）平面到平面的夹角 2.常见误区： 混淆两个向量的夹角和空间角的关系. 课后作业 1、完成课后习题P44前的所有课后习题 2、完成学校发的习题资料（大小本） $$