素养提升小题专项训练17：函数的构造问题-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题训练17：函数的构造问题 （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 1. 单选题 1.已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（四川省广安市三区联考2026届高三上学期8月T8） 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3.（河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模T7）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.（江西省宜春市2025届高三下学期二模T8） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题 6.已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 7.（湖北省恩施高中、夷陵中学、郧阳中学2025届高三下学期5月T11）下列不等关系中，正确的是（ ） A. B． C. D． 8. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 9. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 三、填空题 11.（四川省成都市石室中学2026届高三零诊模拟T14） 若恒成立，则实数______． 12.已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题训练17：函数的构造问题 （高考第T7、T8、T10、T11、T14） 1. 单选题 1.已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 因为，， 为奇函数， 又因为，由函数单调性可知为的增函数， ，则， ，，， ，． 故选A． 2.（四川省广安市三区联考2026届高三上学期8月T8） 函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则， ，，即在R上单调递减， 又，则不等式等价于， ，即， ，解得.所以不等式的解集为. 故选：C. 3.（河北省石家庄市2025届高三下学期5月三模T7）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 4. 已知函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，，符合题意； 当时，存在，使得，即，显然不满足题意； 当时，由得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 由得， 设，则， 所以在上单调递减，又，所以， 综上，，即的取值范围是. 故选：B 5.（江西省宜春市2025届高三下学期二模T8） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】不等式可化为，，又， 所以，故， 由已知不等式在上恒成立， 因为有意义，故，又，所以， 当时，不等式恒成立， 设，，则， 因为，所以，所以函数在上单调递增， 所以，故， 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 故，所以，所以的取值范围为故选：C. 二、多选题 6.已知，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】构造函数 ， ， 当 时， ， 时， ， 时， ， 在处取最大值， ， ， 函数图像如下： ， ，A正确；B错误； ， ， ，C正确，D错误； 故选：AC. 7.（湖北省恩施高中、夷陵中学、郧阳中学2025届高三下学期5月T11）下列不等关系中，正确的是（ ） A. B． C. D． 【答案】ACD 【解析】对A.当 ，，令，可得，所以，故A对； 对B. 当时，恒成立，令，可得，故B错； 对C. 法1：因为，所以，令，可得C对. 法2：构造函数，易证：在单调递增，所以，，可得， 可知，.故C对； 对D. 构造函数，，，，所以， 在，可得，令，所以，故D对. 故选ACD. 8. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 【答案】ACD 【详解】令，而是定义在上的奇函数，则， ，即在R上也是奇函数， 而，当时，， 所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减， 综上，时，时，，故， 显然时，故时，时， 所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对； 由，显然在上单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增，且周期为，， 所以在上不一定单调，B错. 故选：ACD 9. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】因为，所以， 所以可化为， 即；令， 则有对于定义域内任意，都有， 所以在上单调递减，所以在上，； 因为，所以，即， 因为，所以，即； 令，，当时，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 可化为，，因为所以； 由，可知当时，，当时，， 根据在上的单调性以及的正负情况， 有：若，则在上恒成立，所以， 即在上恒成立；令，则， ，解得，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递增减， 所以时，取得最大值，，所以； 因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误. 故选：ACD. 【归律总结】隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为，即. 10. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 【答案】ACD 【详解】令，而是定义在上的奇函数，则， ，即在R上也是奇函数， 而，当时，， 所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减， 综上，时，时，，故， 显然时，故时，时， 所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对； 由，显然在上单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增，且周期为，， 所以在上不一定单调，B错. 故选：ACD 三、填空题 11.（四川省成都市石室中学2026届高三零诊模拟T14） 若恒成立，则实数______． 【答案】## 【解析】因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 设，则恒成立， 又，则在上单调递增， 可得恒成立，即恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以，解得故答案为： 12.已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为 【答案】 【详解】由，令，得，解得； 设，则，由，得，即，设，则在上单调递减．由，得，即． 所以解得，即不等式的解集为． 故答案为：2；. 试卷第1页，共3页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$