3.1.2第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 一、单选题 1．点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 4．若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：，是椭圆上的点，，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（     ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．外接圆的面积为 二、多选题 9．（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为16 B．的周长为14 C．若，则 D．若，则的面积为7 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．若直线交椭圆于另一点，则 D．使得为等腰三角形的点共有4个 11．已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与垂直 B．若点的坐标为，则直线的方程为 C．若直线的方程为，则点的坐标为 D．若直线过椭圆的焦点，则 三、填空题 12．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 13．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是 . 14．圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆的离心率为 ． （2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ． 15．嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 四、解答题 16．已知椭圆过点且左、右焦点分别为，椭圆与椭圆有相同的焦点，直线与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积． 17．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 18．已知椭圆C：的右焦点为，且过点． (1)求C的方程； (2)已知C的左顶点为A，过点的直线l与C交于M，N两点，求面积的最大值． 19．如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.1.2 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D C D D BCD BC 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 2．B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 3．A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 4．C 【分析】由直线方程得出直线过定点，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计算即可． 【详解】由直线得，直线过定点， 由题意得，点在椭圆上或椭圆内部， 所以，则，所以椭圆焦点在轴上， 所以， 故选：C． 5．D 【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标法列得不等式，变形后求得离心率的取值. 【详解】设，则，，， ， 因为，所以，又， 所以时，取得最大值， 恒成立，则，变形得， 又，故解得. 故选：D. 6．C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【详解】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 7．D 【分析】设，依题意可得切点弦方程为，取的中点，连接，则，利用点到直线的距离公式及的范围计算可得. 【详解】设、、， 设切线上任意一点为，则，， 所以，即， 即切线的方程为， 同理可得切线的方程为， 所以且， 因为点、的坐标都满足方程， 所以直线的方程为， 取的中点，连接，则，， 又，即， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：D. 8．D 【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出，即可求的面积；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，利用正弦定理求出外接圆半径即可得出. 【详解】椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则，， 对A，根据椭圆定义可得， 则①， 在中，由余弦定理得 ②， 由①②可得， 所以的面积为，故A错误； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故B错误； 对C，由A知的面积为， 则，解得，故C错误； 对D，设外接圆的半径为r， 由正弦定理，得，所以， 所以外接圆的面积，故D正确. 故选：D. 9．BCD 【分析】根据椭圆的性质对选项逐一判断计算即可. 【详解】椭圆中，，则，． 因为和都是焦点三角形，周长均为，所以A错误B正确； 由椭圆的定义知， 所以，所以C正确； 在中，，所以是直角三角形，且． 直角三角形中，斜边的中线长等于斜边的一半， 方法一，由得  ①． 由勾股定理得，代入①得， 故． 方法二，由焦点三角形面积公式可得．所以D正确. 故选：BCD.    10．BC 【分析】对A，由焦点三角形面积公式判断；对B，当点位于椭圆上、下顶点时满足；对C，由焦半径性质判断；对D，分别以为顶角顶点讨论. 【详解】由题意知，，，， 对于A，由焦点三角形面积公式得，A错误； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，(为坐标原点)，则为直角，B正确； 对于C，由焦半径性质可得，，C正确； 对于D，焦半径范围为，即． 若是以为顶角顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶角顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共有6个，D错误． 故选：BC. 11．BD 【分析】根据给定条件，结合椭圆中点弦问题逐项判断得解. 【详解】对于A，设，则， ， 因此，即，直线与不垂直，A错误； 对于，由点，得，则，则直线的方程为，即，B正确； 对于C，由直线的方程为，得，点的坐标不可能为，C错误； 对于D，过椭圆焦点的弦中，最短弦长为通径长，最长弦长为长轴长， 而椭圆最短弦长为1，最长弦长为4，又直线的斜率存在且不过原点，则，D正确. 故选：BD 12． 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 13． 【分析】根据条件依次求得P点坐标、与，进而得，由，令，则，即可求得t的取值范围. 【详解】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用向量数量积判断为直角，利用勾股定理和双曲线定义表示出离心率，然后根据离心率范围求解. 14． / 【分析】（1）利用椭圆的定义，结合已知求出离心率； （2）根据给定条件，利用光的反射定理结合椭圆定义求出椭圆长半轴长即可求解. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，则由发出的光经椭圆两次反射后回到， 经过的路程为，从而； （2）如图，延长，交于点， 在中，，由反射角等于入射角，得， 则，且为中点， 在中，， 则，， 所以椭圆方程为． 故答案为： ； 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为(A>0，B>0，A≠B)． 15． 【分析】根据题意由已知条件根据勾股定理即可分别计算得出两离心率的大小，可得结果. 【详解】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为： 16．(1) (2) 【分析】（1）方法一：根据两椭圆有相同焦点，设椭圆的方程，然后将点代入从而求得方程；方法二：先求出椭圆的焦点，然后根据椭圆的定义求出，从而求出椭圆的方程. （2）联立直线方程和椭圆方程组，根据韦达定理求出的面积. 【详解】（1）方法一：利用共焦点的椭圆系方程（与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为，与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为）. 因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆， 因为椭圆过点，所以，即，解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为． 方法二：利用椭圆的定义 设点，因为椭圆的焦点为，椭圆过点， 所以， 所以，而，所以， 所以椭圆的方程为． （2）直线过椭圆的左焦点；该椭圆的右焦点为． 设，由得，所以， 所以． 所以．    17．(1) (2)或 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【详解】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 18．(1) (2)． 【分析】（1）由题意得，再用待定系数法可得C的方程 （2）联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，解得所以C的方程为． （2）由（1）得C的左顶点为，设直线l的方程为，，． 联立消去得， 所以，， 故， 又， 所以， 设，则， 故， 易知函数在上单调递增， 所以， 即当时，等号成立，取得最大值， 所以面积的最大值为． 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在， 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义，即可求解； （2）（ⅰ）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用根与系数间的关系，得，进而可解得或，即可求解；（ii）根据条件得，，结合条件可得，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 由椭圆定义可得，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. （2）（ⅰ）设直线为，设 由，消去得， ，则， 所以， 则，整理得，解得或， 当时，直线方程为，过点，不合题意，舍去， 当时，直线方程为，过定点，命题得证. （ii）设，因为，则， 又，得到， 所以，又， 则，同理可得， 因为，， 又由（i）知，，所以 ， 得到， 所以， 则， 整理得，解得或， 又，则，代入，得到，此时，故存在满足题意. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$