1.4.1空间中直线、平面的垂直(第三课时)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间中直线、平面的垂直 第三课时　 第一章 1.4　用空间向量研究直线、平面的位置关系 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 索引 知识点梳理 例题探究 课堂即时练 学习安排 一、新知填空(预习教材P31~P32后填空) 1.直线与直线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔_________⇔__________. u1⊥u2 u1·u2=0 知识点梳理 2.直线与平面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔________⇔∃λ∈R,使得__________. u∥n u=λn 3.平面与平面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔________⇔________________. n1⊥n2 n1·n2=0 3 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直. (2)向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直. 温馨提醒 (3)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径: 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直,进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直得面面垂直. 4 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN. 例1 一、直线和直线垂直 法一　设=a,=b,=c, 则由已知条件和正三棱柱的性质,得|a|=|b|=|c|=1, a·c=b·c=0,=a+c, =(a+b),=b+c, 5 =-=-a+b+c, ∴·=(a+c)·=-+cos 60°+0-0+0+=0. ∴⊥, ∴AB1⊥MN. 反思总结 利用空间向量证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 7 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点. 求证:EF⊥平面B1AC. 例2 二、直线与平面垂直 法一　设=a,=c,=b, 则=+=(+)=(+)=(+-)=(-a+b+c). ∵=+=a+b,=-=c-b, 8 ∴·=(-a+b+c)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b|2-|a|2+0+0)=0. ∴⊥,即EF⊥AB1. ·=(-a+b+c)·(c-b)=(-a·c+a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(-|b|2+|c|2)=0, ∴⊥,即EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面B1AC, ∴EF⊥平面B1AC. 法二　设正方体的棱长为2,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2). ∵=(-1,-1,1),=(0,2,2),=(-2,2,0), ∴·=(-1,-1,1)·(0,2,2)=(-1)×0+(-1)×2+1×2=0, ·=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0, ∴⊥,⊥, ∴EF⊥AB1,EF⊥AC. 又AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面B1AC, ∴EF⊥平面B1AC. 法三　由法二得=(0,2,2), =(-2,2,0),=(-1,-1,1). 设平面B1AC的法向量n=(x,y,z), 则·n=0,·n=0, 即 取x=1,则y=1,z=-1, 故n=(1,1,-1), 故=-n, 故∥n,所以EF⊥平面B1AC. 反思总结 证明线面垂直的方法及步骤 向量法: (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0. 坐标法: (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量. (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 13 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB, AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E为棱PC的中点.证明: (1)BE∥平面PAD; 例3 三、平面与平面垂直 因为PA⊥平面ABCD,且AB⊂平面ABCD,所以AB⊥PA. 又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 故AB,AD,AP两两垂直. 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 14 则B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2). 由E为棱PC的中点,得E(1,1,1), 则=(0,1,1). 由题可知=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量. 因为·=0×1+1×0+1×0=0, 所以⊥,即BE⊥AB. 又BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD. 由(1)知,平面PAD的法向量为=(1,0,0), 且=(0,2,-2),=(2,0,0). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则 令y=1,得x=0,z=1,所以n=(0,1,1). 又n·=0×1+1×0+1×0=0, 所以n⊥,所以平面PAD⊥平面PCD. (2)平面PCD⊥平面PAD. 16 反思总结 证明面面垂直的两种方法 (1)几何法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直. 17 题型补充 如何解决立体几何中探索性问题的基本方法 1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理. 2.探索性问题的关键是设点:(1)空间中的点可设为(x,y,z);(2)坐标平面内的点其中一个坐标为0,如Oxy面上的点为(x,y,0);(3)坐标轴上的点两个坐标为0,如z轴上的点为(0,0,z);(4)直线(线段)AB上的点P,可设为=λ,表示出点P的坐标,或直接利用向量运算. 18 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点. (1)求证:A1E⊥BD; 例4 以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图, 设正方体的棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a). 设E(0,a,e)(0≤e≤a). 19 =(-a,a,e-a),=(-a,-a,0), 因为·=a2-a2+(e-a)·0=0, 所以⊥,即A1E⊥BD. 20 (2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置. 设平面A1BD,平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2). 因为=(a,a,0),=(a,0,a),=(0,a,e), 所以 所以 取x1=x2=1,得n1=(1,-1,-1),n2=. 由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.所以2-=0,即e=. 所以当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD. 21 课堂即时练 1.已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3, 12,-9),则 A.l1⊥l2,但l1与l3不垂直 B.l1⊥l3,但l1与l2不垂直 C.l2⊥l3,但l2与l1不垂直 D.l1,l2,l3两两互相垂直 因为a·b=(4,-1,0)·(1,4,5)=4-4+0=0, a·c=(4,-1,0)·(-3,12,-9)=-12-12+0=-24≠0, b·c=(1,4,5)·(-3,12,-9)=-3+48-45=0, 所以a⊥b,a与c不垂直,b⊥c, 所以l1⊥l2,l2⊥l3,但l1与l3不垂直.故选A. √ 22 课堂即时练 2.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 由题意知=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(x,-1,z), 又PA⊥平面ABC, 所以有·=(-1,-1,-1)·(x,-1,z)=0, 得-x+1-z=0.① √ ·=(2,0,1)·(x,-1,z)=0, 得2x+z=0,② 联立①②得x=-1,z=2,故点P的坐标为(-1,0,2). 23 课堂即时练 3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一点,N是A1B1的中点,则当=　　　　时,ON⊥AM.  以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1, 则A(0,0,0),O,N. 设M(0,1,a)(0≤a≤1),则·=·=-+a=0,∴a=. ∴当=时,ON与AM垂直. 24 课堂小结 1.知识清单 （1）直线与直线垂直的向量表示及应用 （2）直线与平面垂直的向量表示及应用 （3）平面与平面垂直的向量表示及应用 2.常见误区： 直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆. 课后作业 1、完成课后习题P32的课后习题 2、完成学校发的习题资料（大小本） $$