2025年土耳其奥林匹克数学竞赛复仇赛试题

2025土耳其奥林匹克复仇赛 2025 Turkey Olympic Revenge 题目1.设三角形ABC的内心为I.直线BL,CI分别与AC,AB交于 点E,F.圆(AEF)和(ABC)的第二个交点记为R.(ABC)在A处的 切线与过点I平行于BC的切线交于点P.若BL,CI分别与(AEF) 交于异于E,F的点B,C',证明：BC'与(APR)相切 题目2.设σ(m)是m的正约数之和.试求所有正整系数多项式P,满 足存在整系数多项式Q丰±1和整系数多项式R,使得对所有正整数 n,都有(P(n)1(n)-1. 题目3.是否存在双射g:R→R,使得唯一满足如下性质的函数 f:R→R是fx)=x? ()对每个x∈R,存在一个整数使得f(x+1)=f(x)+2+1. (i)81(f(g(x+1))-81(f(g(x))=1. 题目4.试求所有函数f:R→R+满足对所有正实数x,y,都有 f(x+yf(x))+f(x)=xf(x+1)+f(xy). 题目5.若2n(n≥2)个顶点上的图中，每个顶点的度数都至多是3. 将顶点集划分为A,B两个子集，满足A,B吲≥2.若在A和B之间 的边中没有圈，我们就称这是一个安静划分. 若某个图上安静划分的数目是偶数，证明：这个图上有哈密顿圈.」 (注：可以认为划分是无序集合对，即划分(A,B)和(B,A)视作同 一个划分.) 题目6.设三角形ABC的外心和垂心分别为O和H.设BE,CF分 别是三角形的高线，其中E∈AC,F∈AB.记(ABC)中A的对径点为 S,ABA'C是一个平行四边形.(AH)和(ABC)再次交于点Q,(ABC) 在点B,C处的切线交点为T.设AQ和BC交于点R.在(ABC)上 取点L使得AL,(AOR),BC共点于L≠Q.设LH与(ABC)交于点 U,SU和AH交于点W.证明：OW,(OEF),(QTA)共点，