3.1.2椭圆的简单几何性质课后提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质课后提升训练人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 一、单项选择题 1．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知和椭圆，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 4．已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（   ） A． B． C．1 D． 5．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为16 B．的周长为14 C．若，则 D．若，则的面积为7 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．若直线交椭圆于另一点，则 D．使得为等腰三角形的点共有4个 三、填空题. 12．已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 13．已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，的面积是，则 ． 14．已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点，且的面积等于，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题 15．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 16．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 17．已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 18．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 19．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 参考答案 一、单项选择题 1．A 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 二、多项选择题 9．AD 10．BCD 11．BC 三、填空题 12．3 13． 14． 四、解答题 15．【解】（1）因为在上，所以①． 由题意知，所以． 由，得，解得②． 由①②联立解得， 所以的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在． 设其方程为，联立消得． 由，得③． 如图，设， 则． 所以，则． 所以，代入③得， 所以． ， 点到直线的距离， ， ． 当时，最大，最大值为． 16．【解】（1）设，则，故， 又， 故， 由题可得，，故， 故椭圆的标准方程为； （2）若直线的斜率为0，则，不满足条件， 斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为， 联立，消去整理得， 则， 根据点和点所在位置，如图： 如图，可得， 又四边形的面积为 ， 又，即， 故，所以直线的斜率为. 17．【解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ），， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． 18．【解】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 19．【解】（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得，， 又由， 可得椭圆C的标准方程为； （2）设直线的方程为，设点A，B的坐标分别为，，点Q的坐标为， （i）联立方程消去y后整理为， 有，可得或， 又有，，可得， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 又由直线与直线的斜率之和为0，有， 可化为， 有，有，由k的任意性可得， 故点Q的坐标为； （ii） 令，有， 有， 当且仅当时等号成立，此时， 故的面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$