多面体的外接球内切球 学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学导学案聚焦多面体的外接球与内切球，衔接必修四《立体几何初步》内容，通过阅读引导梳理教材定义拓展高考高频模型，如墙角模型、对棱相等模型等，以“定义梳理-性质总结-模型分类-方法提炼”逻辑破解球心定位、半径计算等疑难，搭建从基础到高考的学习支架。 资料特色在于采用问题驱动阅读法与勾画标注法，引导学生带着问题思考模型原理，结合自我检测与变式训练强化应用。通过模型分类培养数学眼光，等体积法等通用方法提升数学思维，助力学生自主突破难点，发展空间观念与模型意识。

( 山东省 2024级高二 年级阅读学案 编号 ：03 编制人 ： 审核人： )课题：多面体的外接球内切球 ----------衔接教材必修四《立体几何初步》 1、 阅读引导： 1. 阅读的价值与意义 （1）教材内容的拓展：教材仅初步介绍了球的定义、球与多面体的位置关系（如内接、外切），但未深入探讨外接球的球心定位、半径计算，以及内切球半径的求解方法。本阅读内容将补充 “墙角模型”“对棱相等模型”“汉堡模型” 等专题。 （2）高考命题的延伸：多面体的外接球、内切球问题是高考的高频考点与难点，常以选择题、填空题压轴形式出现，甚至在解答题中作为关键步骤考查。本阅读内容正是针对高考命题趋势，系统梳理解题模型与方法，以突破高频难点。 （3）疑难问题的集中破解：在学习立体几何时，同学们常面临三大核心难题：一是无法快速确定外接球的球心位置，导致半径计算无从下手；二是面对不同结构的多面体（如直棱柱、正四面体、任意三棱锥），不知如何选择对应的解题策略；三是内切球问题中，难以建立半径与多面体体积、表面积的关联。本阅读内容通过 “定义梳理 - 性质总结 - 模型分类 - 方法提炼”的逻辑，逐一解答上述疑难。 2.阅读要求与方法建议 （1）勾画标注法： 标注勾画核心定义（如外接球、内切球的定义），重要性质与结论（如长方体外接球球心在体对角线中点、等体积法求内切球半径）； （2）问题驱动阅读法：带着预设问题阅读，边读边思考解答，提升专注度与针对性： 阅读“外接球性质”前，思考“如何利用球的性质确定外接球的球心？” 学习“对棱相等模型”前，提问“为什么对棱相等的三棱锥可以补形为长方体？补形后如何关联两者的外接球？” 阅读“内切球体积分割法”前，追问“等体积法的核心逻辑是什么？如何将三棱锥体积拆分为与内切球相关的小棱锥体积？” 3.检查方式 自我检测：独立完成 “思考与评价”，再对照“答案与提示”修改完善，分析错误原因（如模型判断失误、公式记错、步骤遗漏）。 变式训练：自主寻找 1-2 道同类高考真题或模拟题（如 “直三棱柱的外接球表面积”“正四棱锥的内切球半径”），尝试用阅读中学到的方法解答。 二、阅读目标 1.通过阅读材料内容，能说出几何体的外接球和内切球的几何特征以及它们的性质； 2.通过七种模型的外接球及多面体的内切球的学习，会求解与之有关的球的切接问题． 三、阅读内容 （一）有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. （二）外接球的有关知识与方法 1．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 2．结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆 心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论5：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论6：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 3．终极利器：勾股、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； （三）内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法： （1）构造三角形利用相似比和勾股定理； （2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 专题一 多面体的外接球模型 类型一：墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 类型二：对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 思考：如何求棱长为的正四面体体积，如何求其外接球体积？ 类型三：汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 类型四：棱锥模型 1.侧棱垂直地面的棱锥的外接球 如图，平面，求外接球半径． 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点， 作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 2.正棱锥的外接球 第一步：取底面的外心，则三点共线； 第二步：先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高； 第三步：在利用勾股定理：，解出. 类型五：台体模型 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面圆的半径、下底面圆的半径、高． 例.正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为，故选：B. 类型六：面面垂直模型 方法点拨: 若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的 垂直线，交点即球心. 例.已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点,且平面平面，,,,则三棱锥外接球的表面积为          ． 解：因为为外接圆的圆心，且平面平面， 过作面的垂线，则垂线一定在面内， 根据球的性质，球心一定在垂线上，即球心也是外接圆的圆心， 在中，由余弦定理得， 则， 设球的半径为，由正弦定理得：，解得， 三棱锥外接球的表面积为， 故答案为:． 类型七：二面角模型 方法点拨: 如图所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 例.已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【解析】方法1：如图，设分别为的中点，连接， 则是边长为的等边三角形， 则球心必在线段上，其中， 设球的半径为，在中，, 又,, 所以在中，, 因为，所以.解得， 故球的表面积为. 方法2：如图，设分别为的中点， 连，则球心必在线段上，且. 设在直线上的射影为，则为正的重心， 且底面. 所以，所以，， 故球的表面积为.故选：A 专题二 多面体的内切球问题 1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 四、思考与评价 1.已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　) A.π B.14π C.56π D.π 2. 已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为(　　) A.π B.π C.π D.π 3.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积为________. 4. 已知四面体SABC的所有棱长为2，球O1是其内切球.若在该四面体中再放入一个球O2，使其与平面SAB，平面SBC，平面SAC以及球O1均相切，则球O2与球O1的半径比值为(　　) A. B. C. D. 五、答案与提示 1.解析　以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′， 设外接球的半径为R，则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求球的表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π. 2.解析　如图将棱长为1的正四面体B1－ACD1放入正方体ABCD－A1B1C1D1中，且正方体的棱长为1×cos 45°＝， 所以正方体的体对角线AC1＝＝， 所以正方体外接球的半径R＝＝，所以正方体外接球的体积为πR3＝π×＝π， 因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为π. 3.解析　由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得 BC＝＝＝， 所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°， 所以底面外接圆的圆心为斜边AB的中点.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝＝1. 又S△ABC＝BC·AC＝××1＝，所以V柱＝S△ABC·AA1＝，所以AA1＝2， 因为三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，设其外接球的半径为R，则R2＝r2＋＝12＋12＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π. 4.解析　设S在平面ABC内的射影为O，R1为球O1的半径，R2为球O2的半径，F，H分别为球O1，球O2与侧面SBC的切点.在Rt△SAO中，该四面体的高 h＝SO＝＝＝＝＝2. 又四面体的表面积S＝4××(2)2＝12，则·S·R1＝×3h，解得R1＝， 由＝，得＝，即＝，解得R2＝，故＝.故选D. 感悟提升　“切”的问题处理规律： (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的常用方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$