2.2用配方法求解一元二次方程（第1课时用配方法解简单的一元二次方程）（导学案）数学北师大版九年级上册

2.2用配方法求解一元二次方程 导学案 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 1．会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的一元二次方程。 2．理解配方法的基本思路. 3．会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程. 学习重点：利用配方法解一元二次方程． 学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n0)的形式． 第一环节 自主学习 温故知新： 思考： 1.平方根的定义是什么？ 一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的平方根.正数 的平方根记作 . 2. 开平方运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方运算 . 3. 因式分解的完全平方公式是什么？ . 新知自研：自研课本第36--37页的内容． 【学法指导】 情景引入 在前面学习的问题情境中，梯子底端滑动的距离 （单位：m）满足方程 我们已经求出了它的近似值，能否用新方法求出它的精确值？ 自研课本P36-37页的内容，思考： ●探究一：直接开平方法解一元二次方程 ◆1.问题探究 思考：我们先看一些特殊形式，如 , 等.它们都能整理为 ，且 .如何求解？ ◆2.新知导出 （1）理论依据：根据平方根的意义，若 ，则 （） （2）注意：当 时，方程无实数根；当 时，只有两个相等实数根. ◆3.学生活动 学生分组讨论、总结出：能直接化成 形式时，可直接开平方求解. 练一练 1.利用直接开平方法解下列方程: (1) =18； (2) －900=0； (3) = 2. 【解答】解:(1)两边开平方,得x=, ∴ x=, ∴x1=, x2=－. (2)移项,得 x2=900 两边开平方,得x=±30， ∴x1=30, x2=－30. (3)两边开平方，得 x+1=, 即x+1=或x+1=, ∴x1=, x2=－. ◆4.总结归纳 应用直接开平方法解一元二次方程的注意事项： 1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=a或（m x＋n）2= a（a≥0）的形式的方程，可得方程的根为x=或m x＋n=. 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当a为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况. ●探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 ◆1.问题引入 如果方程不能直接化为 或 ，该怎么办？如 ，我们如何转化为“某个完全平方”形式？ ◆2.新知导出 （1）关键思路：通过“配方”将一元二次方程形如 转化为 . （2）具体步骤： ①移项：将常数项移至方程另一边； ②加“配方项”：在两边同时加 ； ③形成完全平方式：； ④开平方并求解. ◆3.例题展示 （1）你还能用直接开平方法解下列一元二次方程吗？如何将方程变形为x2=a的形式呢？ 例题1：用配方法解方程： x2+2x+1=5 解：(x+1)2=5 开平方,得 x+1= 即x+1=或x+1= ∴x1=1， x2=﹣. 例题2：用配方法解方程：（x+6）2+72=102 移项得：(x+6)2=102﹣72 即： (x+6)2=51 开平方,得 x+6= 即x+6=或x+6= ∴x1=6， x2=. （2）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 我们可以将方程x2+12x-15=0转化为 (x+6)2=51， 两边开平方，得x+6= 因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1=6， x2=. 练一练 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+ 62 = ( x + 6) 2 ； x2-4x+ 22 = ( x ﹣ 2 ) 2 ； x2+8x+ 42 = ( x + 4 )2． ◆4.知识归纳 配方的方法: 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. ◆5.思考：对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ x2+ax+( )2=(x+ )2 怎样解方程: x2+8x-9=0？ 解：移项：可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9, 配方：两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+ 42，x2+8x+42=9+ 42， 即（x+4)2=25, 开方：两边开平方，得x+4=±5, 求解：即x+4=5，或x+4=5， 所以x1=1，x1=9. ◆5.知识归纳 （1）配方法的定义:像上面这样通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. （2）配方法的关键： 在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即. （3）可化为 ( x + m) 2 = n的形式的一元二次方程的根 一般的，对于方程 ( x + m) 2 = n, ①当n>0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个不等的实数根 x1=，x2=m； ②当n=0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个相等的实数根x1=x2=m； ③当n<0 时，方程 ( x + m) 2 = n无实数根. 练一练 2.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ B ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1：用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0;  (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9;  (4)(2y－3)2＝16. 【分析】（1）先变形为x2＝16，然后利用直接开平方法解方程； （2）先变形为x2＝9，然后利用直接开平方法解方程； （3）两边开方得到x－2＝±3，然后解两个一次方程即可； （4）两边开方得到2y-3=士4，然后解两个一次方程即可. 【解答】解：(1)移项，得x2＝16. 两边开平方,得x＝±4， 所以 x1＝4，x2＝－4. (2)移项，得3x2＝27. 两边同时除以3，得x2＝9. 两边开平方,得x＝±3， 所以 x1＝3，x2＝－3. (3)两边开平方,得 x－2＝±3， 即x－2＝3或x－2＝－3， 所以 x1＝5，x2＝－1. (4)两边开平方,得2y－3＝±4， 即2y－3＝4或2y－3＝－4， 所以 y1＝，y2＝－. 例2：用配方法解方程：x2＋2x－1＝0. 【分析】利用配方法的步骤逐步进行即可解答. 【解答】解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋()2＝1＋()2， 即(x＋1)2＝2. 开平方，得x＋1＝±. 解得x1＝－1，x2＝－－1. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用配方法解一元二次方程； B.交流例题的解题思路和易错点，规范解题过程. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列方程可用直接开平方法求解的是( A ) A． x2＝4 B．4 x2－4x －3＝0 C． x2－3x ＝0 D． x2－2x －1＝9 2.下列解方程的过程中，正确的是（ D ） A. x2=-2,解方程，得x=± B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 C. 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=;x2= D. (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 3.一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为　( A ) A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15　   　D.(x+3)2＝3 4.用配方法解方程x2-3x-3＝0时，配方结果正确的是( D   )   A.(x-3)2＝3 B.(x-)2＝3 C.(x-3)2＝ D.(x-)2＝ 5.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k，则 b，k的值分别为( C ) A.6，13 B.6，4 C.-6，4 D.-6，13 6.若关于x的一元二次方程(x-3)2＝c有实数根，则c的值可以为 25 （写出一个即可）. 7.把x2-4x+1化为(x+h)2+k（其中h，k是常数）的形式，是 (x-2)2-3 . 8.把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的的形式后，h= 3 ，k= 6 . 9.解下列方程： (1)(3x＋2)2＝25； (2)3(x＋1)2＝； （3）x2+4x-9=2x-11； （4）x(x+4)=8x+12； 解：(1)开平方，得3x＋2＝ ± 5， 即 3x＋2＝5或3x＋2＝－5， ∴x1＝1，x2＝－. (2)方程两边都除以3，得(x＋1)2＝， 开平方，得x＋1＝± ， 即x＋1=或x＋1 ∴x1＝－，x2＝－. 　　 (3) x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. (4) x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2. 10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 【解答】解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得 整理，得x2-14x+24=0, 即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2， x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 题型一：用直接开平方法解方程 1．（2024秋•玄武区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．， D．x1＝3，x2＝﹣3 【答案】D． 【分析】利用直接开平方法解出方程． 【详解】解：x2﹣9＝0， 则x2＝9， ∴x＝±3， ∴x1＝3，x2＝﹣3， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 2．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程的解是（   ） A．，B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，方程利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， （3）解：， ， ， ， ， （4）解：， ， ， ， ，． 题型二：用直接开平方法求复合型方程 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】利用一元二次方程的解法——直接开方法解方程即可 【详解】 解： 或 ∴ 5．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法及整体的思想是解题的关键．先将系数化1，再直接开平方解方程即可． 【详解】 故答案为： 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可； （2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 题型三：用直接开平方法解方程的条件 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分，两种情况，利用直接开方法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，方程没有实数根； 当时，方程有两个解； 故选B． 8．（2024·全国·九年级假期作业）如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据时方程有实数解，可求出m的取值范围． 【详解】由题意可知时方程有实数解，解不等式得，故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 9．（2024春•永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 【答案】D． 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b， ∴（x﹣a）2＝b+4， ∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根， ∴b+4≥0， ∴b≥﹣4， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键． 题型四：判断配方是否正确 10．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键；二次系数为1的时候，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可得． 【详解】解：； ； 两边同时加上4，得， 故选：A． 11．（2024•陇南模拟）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝0 【答案】A． 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】解：∵x2﹣4x+2＝0， ∴x2﹣4x＝﹣2， ∴x2﹣4x+4＝﹣2+4， ∴（x﹣2）2＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的方法，本题属于基础题型． 12．（2024•大同模拟）将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝17 B． C．（x﹣3）2＝17 D． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：2x2﹣12x+1＝0， x2﹣6x， x2﹣6x+99， （x﹣3）2． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 题型五：用配方法求字母的值 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 14．（24-25九年级下·山东泰安·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 所以，， 故选：A． 15．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得得值，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 题型六：用配方法解一元二次方程 16．用配方法解一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0 （2）y2﹣6y+6＝0 【答案】（1）（2） 【分析】（1）、（2）把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【详解】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， x﹣1＝±， 解得x＝1±； ∴x1，x2． （2）y2﹣6y+6＝0， y2﹣6y＝﹣6， y2﹣6y+9＝﹣6+9， （y﹣3）2＝3， y﹣3＝±， 解得y＝3±； ，； 17．用配方法解方程： （1）x2﹣10x﹣2＝0； （2）y（y+3）； 【答案】（1），； （2），； 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； 【详解】解：（1）x2﹣10x﹣2＝0， x2﹣10x+25＝2+25， （x﹣5）2＝27， ， ，； （2）y（y+3）， ， ， ， ，； 18．用配方法解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0 （2）x2+8x＝20 （3）x2﹣8x+13＝0 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2． （2）解：配方得：x2+8x+16＝20+16，即（x+4）2＝36， 开方得：x+4＝±6， 解得：x1＝2，x2＝﹣10． （3）解：x2﹣8x+13＝0， 移项，得：x2﹣8x＝﹣13， 配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16， 即（x﹣4）2＝3， 开方，得：x﹣4＝±， ∴x14，x24． 1.配方法的定义:通过配成 完全平方式 的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 2.配方法的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即. 3.可化为 ( x + m) 2 = n的形式的一元二次方程的根的情况 一般的，对于方程 ( x + m) 2 = n, ①当n>0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个不等的实数根 x1=，x2=m； ②当n=0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个相等的实数根x1=x2=m； ③当n<0 时，方程 ( x + m) 2 = n无实数根. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2用配方法求解一元二次方程 导学案 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 1．会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的一元二次方程。 2．理解配方法的基本思路. 3．会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程. 学习重点：利用配方法解一元二次方程． 学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n0)的形式． 第一环节 自主学习 温故知新： 思考： 1. 平方根的定义是什么？ 2. 思考什么是开平方运算？ 2. 因式分解的完全平方公式是什么？ 新知自研：自研课本第36--37页的内容． 【学法指导】 情景引入 在前面学习的问题情境中，梯子底端滑动的距离 （单位：m）满足方程 我们已经求出了它的近似值，能否用新方法求出它的精确值？ 自研课本P36-37页的内容，思考： ●探究一：直接开平方法解一元二次方程 ◆1.问题探究 思考：我们先看一些特殊形式，如 , 等.它们都能整理为 ，且 .如何求解？ ◆2.新知导出 （1）理论依据：根据平方根的意义，若 ，则 （） （2）注意：当 时，方程 ；当 时，只有两个 实数根. ◆3.学生活动 学生分组讨论、总结出：能直接化成 形式时，可直接开平方求解. 练一练 1.利用直接开平方法解下列方程: (1) =18； (2) －900=0； (3) = 2. 【解答】 ◆4.总结归纳 应用直接开平方法解一元二次方程的注意事项： 1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是 的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=a或（m x＋n）2= a（a≥0）的形式的方程，可得方程的根为x= 或 . 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当a为 常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“ 、 ”两种情况. ●探究二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 ◆1.问题引入 如果方程不能直接化为 或 ，该怎么办？如 ，我们如何转化为“某个完全平方”形式？ ◆2.新知导出 （1）关键思路：通过“配方”将一元二次方程形如 转化为 = . （2）具体步骤： ①移项：将 移至方程另一边； ②加“配方项”：在两边同时加 ； ③形成完全平方式： ； ④开平方并求解. ◆3.例题展示 （1）你还能用直接开平方法解下列一元二次方程吗？如何将方程变形为x2=a的形式呢？ 例题1：用配方法解方程： x2+2x+1=5 解：(x+1)2=5 开平方,得 x+1= 即x+1=或 ∴x1= ， x2=﹣. 例题2：用配方法解方程：（x+6）2+72=102 移项得：(x+6)2= 即： (x+6)2=51 开平方,得 即x+6= 或x+6= ∴x1= ， x2= （2）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 我们可以将方程x2+12x-15=0转化为 ， 两边开平方，得 因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根 ， x2=. 练一练 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+ = ( x + 6) 2 ； x2-4x+ = ( x﹣ ) 2 ； x2+8x+ = ( x + )2． ◆4.知识归纳 配方的方法: 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于 的平方. ◆5.思考：对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ x2+ax+( )2=(x+ )2 怎样解方程: x2+8x-9=0？ 解：移项：可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x=9, 配方：两边都加 (一次项系数8的一半的平方),得x2+8x+42=9+ 42，x2+8x+42=9+ 42， 即（x+4)2=25, 开方：两边开平方，得 , 求解：即x+4=5，或x+4=5， 所以 . ◆5.知识归纳 （1）配方法的定义:像上面这样通过配成 的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . （2）配方法的关键： 在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 . （3）可化为 ( x + m) 2 = n的形式的一元二次方程的根 一般的，对于方程 ( x + m) 2 = n, ①当n>0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个 的实数根 x1=，x2= ； ②当n=0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个 的实数根x1=x2= ； ③当n<0 时，方程 ( x + m) 2 = n 实数根. 练一练 2.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 典例分析 例1：用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0;  (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9;  (4)(2y－3)2＝16. 【分析】（1）先变形为 ，然后利用直接开平方法解方程； （2）先变形为 ，然后利用直接开平方法解方程； （3）两边开方得到 ，然后解两个一次方程即可； （4）两边开方得到 ，然后解两个一次方程即可. 【解答】 例2：用配方法解方程：x2＋2x－1＝0. 【分析】利用配方法的步骤逐步进行即可解答. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何用配方法解一元二次方程； B.交流例题的解题思路和易错点，规范解题过程. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A． x2＝4 B．4 x2－4x －3＝0 C． x2－3x ＝0 D． x2－2x －1＝9 2.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2=-2,解方程，得x=± B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 C. 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=;x2= D. (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 3.一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为　( ) A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15　   　D.(x+3)2＝3 4.用配方法解方程x2-3x-3＝0时，配方结果正确的是(  )   A.(x-3)2＝3 B.(x-)2＝3 C.(x-3)2＝ D.(x-)2＝ 5.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k，则 b，k的值分别为( ) A.6，13 B.6，4 C.-6，4 D.-6，13 6.若关于x的一元二次方程(x-3)2＝c有实数根，则c的值可以为（写出一个即可）. 7.把x2-4x+1化为(x+h)2+k（其中h，k是常数）的形式，是. 8.把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的的形式后，h= ，k=. 9.解下列方程： (1)(3x＋2)2＝25； (2)3(x＋1)2＝； （3）x2+4x-9=2x-11； （4）x(x+4)=8x+12； 　 10.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 【解答】 题型一：用直接开平方法解方程 1．（2024秋•玄武区期末）一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．， D．x1＝3，x2＝﹣3 2．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程的解是（   ） A．，B．， C．， D．， 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：用直接开平方法求复合型方程 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的根是 ． 5．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于x的方程的解是 ． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 题型三：用直接开平方法解方程的条件 7．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．有两个解 B．当 时，有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 8．（2024·全国·九年级假期作业）如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 9．（2024春•永嘉县月考）若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 题型四：判断配方是否正确 10．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A． B． C． D． 11．（2024•陇南模拟）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝0 12．（2024•大同模拟）将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝17 B． C．（x﹣3）2＝17 D． 题型五：用配方法求字母的值 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 14．（24-25九年级下·山东泰安·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 15．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 题型六：用配方法解一元二次方程 16．用配方法解一元二次方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0 （2）y2﹣6y+6＝0 17．用配方法解方程： （1）x2﹣10x﹣2＝0； （2）y（y+3）； 18．用配方法解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0 （2）x2+8x＝20 （3）x2﹣8x+13＝0 1.配方法的定义:像上面这样通过配成 的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . 2.配方法的关键： 在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 . 3.可化为 ( x + m) 2 = n的形式的一元二次方程的根 一般的，对于方程 ( x + m) 2 = n, ①当n>0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个 的实数根 x1=，x2= ； ②当n=0 时，方程 ( x + m) 2 = n有两个 的实数根x1=x2= ； ③当n<0 时，方程 ( x + m) 2 = n 实数根. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$