1.1～1.2 有理数与数轴讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数与数轴核心知识，从具有相反意义的量引入正负数概念，进而抽象出有理数的定义与分类标准（按性质和符号分类），再通过数轴三要素（原点、正方向、单位长度）建立数形联系，形成从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如体重增减、海拔高度）培养数学眼光，通过有理数分类和数轴比较大小发展推理意识，用符号和数轴表示数强化符号意识。课中分层考点练习助力教师精准教学，课后练习题覆盖基础与应用，帮助学生查漏补缺。

第一讲 有理数与数轴 1.了解具有相反意义的量，正负数的概念； 2.理解有理数的概念，能正确地将数进行分类； 3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,在数轴上表示数； 4.通过数轴与有理数是相互对应的，初步培养学生数形结合的思想 一、正数和负数 1．概念 正数：大于0的数 负数：在正数前面加上“-”的数 0既不是正数，也不是负数 注意：正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写 2．具有相反意义的量 在同一个问题中，可以使用“+”和“-”，即使用正数和负数表示具有相反意义的量 例如：若将体重增加1.2kg，记为+1.2kg；对应的体重减少1kg，可以记为-1kg 二、有理数 1. 有理数的概念：可以写成分数形式的数 2. 有理数的分类：可以按照以下两个标准进行分类 ① 按照性质分类： ② 按照符号分类 注意：正数和0统称为非负数；负数和0统称为非正数；有限小数和无限循环小数是有理数 三、数轴 1．数轴： （1）概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它规定了原点、正方向和单位长度，这条直线叫做数轴 （2）三要素： ①原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点 ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向 ③单位长度：选择适当的长度为单位长度。直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3……从原点向左,用类似的方法,依次表示-1，-2，-3…… 2．数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 （2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数） 3．利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较：右边的数总比左边的数大 ②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数 ③两个负数比较：距离原点远的数比距离原点近的数小 考点1 正数和负数 1、在﹣2，0，0.5，3四个数中，是负数的是（　　） A．﹣2 B．0 C．0.5 D．3 【答案】A 【解答】解：在﹣2，0，0.5，3四个数中，是负数的是﹣2． 故选：A． 2、下列各数：﹣2，0.8，﹣5，0，﹣3.14，8.3，﹣11，其中负数的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：负数有﹣2，﹣5，﹣3.14，﹣11，共4个， 故选：C． 3、1，，0，﹣2，﹣3中正数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：在：1，，0，﹣2，﹣3中， 正数有：1，，共2个． 故选：A． 4、下列各数中，是负数的是（　　） A．0 B．﹣ C．π D．3 【答案】B 【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，故选项不符合题意； B．﹣是负数，故选项符合题意； C．π是正数，故选项不符合题意； D．3是正数，故选项不符合题意； 故选：B． 考点2 具有相反意义的量 1、2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功下潜，最大下潜深度为10909米，刷新中国载人深潜的新纪录．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地高度记为米，根据题意，“奋斗者”号最大下潜深度10909米，该处的深度可记为 米． 【答案】 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：根据题意，“奋斗者”号最大下潜深度10909米，该处的深度可记为米． 故答案为：． 2、中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并使用负数进行运算的国家．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，节日当天妈妈收到微信红包80元记作元，则妈妈微信转账支付67元可以表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：如果微信红包80元记作元， 那么微信转账支付67元记为元． 故选：D． 3、中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作﹣500年，那么公元2023年应记作（　　） A．﹣2023年 B．+1523年 C．+2023年 D．+2523年 【答案】C 【解答】解：∵公元前500年记作﹣500年， ∴公元前为“﹣”， ∴公元后为“+”， ∴公元2023年就是公元后2023年， ∴公元2023年应记作+2023年． 故选：C． 4、下列四组量中，不具有相反意义的是（　　） A．海拔“上升200米”与“下降400米” B．温度计上“零上15℃”与“零下5℃” C．盈利100元与亏本25元 D．长3米与重10千克 【答案】D 【解答】解：上升于下降具有相反意义，故A不符合题意； 零上于零下具有相反意义，故B不符合题意； 盈利于亏本具有相反意义，故C不符合题意； 长度于质量步具有相反意义，故D符合题意； 故选：D． 考点3 具有相反意义的量的应用 1、有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： （1）这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 　24.5　千克． （2）这8筐白菜中最重的重 　27　千克；最轻的重 　22　千克． （3）若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】（1）24.5； （2）27；22； （3）389． 【解答】解：（1）最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数，因而是25﹣0.5＝24.5（千克）， 故答案为：24.5； （2）∵记录中最大的数为2，最小的数为﹣3 ∴25+2＝27（千克），25﹣3＝22（千克） ∴这8筐白菜中最重的重27克；最轻的22千克， 故答案为：27；22． （3）1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5＝﹣5.525×8+（﹣5.5）＝194.5（千克）194.5×2＝389（元）， 答：出售这8筐白菜可卖389元． 2、某校积极开展劳动教育活动，七年级（2）班利用劳动课举行包饺子比赛，以小组为单位（共分7个小组），以包100个饺子为基准，将这7个小组所包饺子的数量（单位：个）记录如下：﹣8，+5，+3，﹣2，+3，+7，+6．（超过100个的部分记为“+”，不足100个的部分记为“﹣”） （1）包饺子数量最多的小组与数量最少的小组相差多少个？ （2）本次活动该班共包饺子多少个？ 【答案】（1）包饺子数量最多的小组与数量最少的小组相差15个； （2）本次活动该班共包饺子714个． 【解答】解：（1）由题意，得：包的最多的小组比基准多7个，包的最少的小组比基准少8个；+7﹣（﹣8）＝15（个）； 答：包饺子数量最多的小组与数量最少的小组相差15个； （2）（﹣8+5+3﹣2+3+7+6）+7×100＝714（个）； 答：本次活动该班共包饺子714个． 3、某登山队5名队员以大本营为基地，向距离大本营500米的顶峰发起登顶冲击，假设向上走为正，向下走为负，行程记录如下：（单位：米） +115，﹣30，﹣45，+180，+25，﹣20，+30，+110，﹣25，+100 （1）他们有没有登上顶峰？如果没有登上顶峰，他们距离顶峰多少米？ （2）登山时，5名队员在行进中全程均消耗了氧气，每人每100米消耗氧气0.5升，求共使用了多少升氧气？ 【答案】（1）没有登上顶峰，他们距离顶峰60米； （2）他们共消耗了17 升氧气． 【解答】解：（1）500﹣（115﹣30﹣45+180+25﹣20+30+110﹣25+100）＝60（米）． 答：没有登上顶峰，他们距离顶峰60米； （2）115+30+45+180+25+20+30+110+25+100＝680（米）， 因为每人每100米消耗氧气0.5升， 所以680×5÷100×0.5＝17（升）， 答：他们共消耗了17 升氧气． 考点4 有理数的概念辨析 1、下面的说法中，正确的是（　　） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数 【答案】C 【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意； B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意； C．整数和分数统称为有理数，故符合题意； D．整数包括零，故不符合题意． 故选：C． 2、下列有关有理数的说法正确的是（       ） A．有理数包括分数和小数 B．一个有理数不是正数就是负数 C．负分数不是有理数 D．是整数，但不是正数 【答案】D 【分析】根据有理数的概念即可解答． 【详解】解：项“有理数包括分数和小数”错误，有理数分数和整数的统称，故不符合题意 项“一个有理数不是正数就是负数”错误，有理数包括正数、负数、零，故不符合题意； 项“负分数不是有理数”错误，有理数包括负分数和正分数，故不符合题意； 项“是整数，但不是正数”正确，故符合题意． 故选． 3、在，，，，，，，中有理数的个数（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】根据整数和分数统称有理数判断即可． 【详解】∵是有理数，是无理数，是有理数，是有理数，是有理数，是有理数，是无理数， ∴有5个有理数， 故选D． 4、下列说法正确的是（　　） A．3.14不是分数 B．不带“﹣”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【解答】解：A、3.14是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、0不带“﹣”号，但不是正数，故B不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 考点4 有理数的分类 1、把下列各数填入相应的大括号里： ﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0， 正数集合：{　3.14，80，　}； 整数集合：{　﹣3，80，0　}； 负数集合：{　﹣3，﹣0.1，﹣25%　}； 正分数集合：{　3.14，　}． 【答案】3.14，80，；﹣3，80，0；﹣3，﹣0.1，﹣25%；3.14，． 【解答】解：﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，， 正数集合：{3.14，80，，}； 整数集合：{﹣3，80，0，}； 负数集合：{﹣3，﹣0.1，﹣25%，}； 正分数集合：{3.14，，}． 故答案为：3.14，80，；﹣3，80，0；﹣3，﹣0.1，﹣25%；3.14，． 2、把下列各数填在相应的大括号里（填序号）． ①，②0.275，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧， 正数集合{____________}； 负整数集合{____________}； 整数集合{____________}； 负分数集合{____________}． 【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：正数集合； 负整数集合； 整数集合； 负分数集合． 3、把下列各数填在相应的横线上：5%，﹣，﹣12，0，0.，﹣3.14，+6，0.101101110，． 整数集合：{　﹣12，0，+6　…}； 正数集合：{　5%，0.，+6，0.101101110，　…}； 负分数集合：{　﹣，﹣3.14　…}； 非负整数集合：{　0，+6　…}． 【答案】﹣12，0，+6； 5%，0.，+6，0.101101110，； ﹣，﹣3.14； 0，+6． 【解答】解：整数集合：{﹣12，0，+6…}； 正数集合：{5%，0.，+6，0.101101110，…}； 负分数集合：{﹣，﹣3.14…}； 非负整数集合：{0，+6…}； 故答案为：﹣12，0，+6； 5%，0.，+6，0.101101110，； ﹣，﹣3.14； 0，+6． 4、下列说法①正整数和负整数统称整数②零既不是正数，也不是非负数③有理数除整数外，其余全是分数④正分数和负分数统称为分数．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 【答案】C 【分析】根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】正整数、负整数和0统称整数，故①错误； 零是非负数，故②错误； 有理数除整数外，其余全是分数，故③正确； 正分数和负分数统称为分数，故④正确； 故选：C． 考点5 数轴的画法及应用 1、下面图形是数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴的三要素：原点、方向、单位长度逐项判断即可． 【详解】解：A、无方向，不是数轴，不符合题意； B、没有原点，不是数轴，不符合题意； C、有方向、原点、单位长度，是数轴，符合题意； D、单位长度不一致，不是数轴，不符合题意， 故选：C． 2、如果一条直线规定了 、 、 ，那么这条直线就叫 ． 【答案】 原点 单位长度 正方向 数轴 【分析】根据数轴的定义即可求解． 【详解】解：如果一条直线规定了原点、单位长度、正方向，那么这条直线就叫数轴， 故答案为：原点、单位长度、正方向，数轴． 3、以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 4、下列说法中正确的是（　　） A．数轴是一条射线 B．数轴上离开原点距离越远的点表示的数越大 C．数轴上的点所表示的数从左到右依次减小 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 【答案】D 【解答】解：数轴是一条直线，A说法错误； 在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，B说法错误； 数轴上的点所表示的数从左到右依次增大，C说法错误； 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，D说法正确． 故选：D． 考点6 用数轴上的点表示数 1、如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ）    A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用数轴得出结果即可． 【详解】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为， 故选：C． 2、如图，数轴的长度单位为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是（    ）    A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】直接利用数轴结合点位置进而得出答案． 【详解】解：∵数轴的单位长度为1，如果点表示的数是， ∴点表示的数是：3． 故选：C． 3、如图，在数轴上表示的点是（    ）．    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点A、B、C、D中，表示的点是B， 故选：B． 4、已知数轴上点A到点B的距离是4，且点B所表示的数是2，则点A所表示的数是（　　） A．4或﹣4 B．6或﹣2 C．6或2 D．﹣6或﹣2 【答案】B 【解答】解：∵点B到点A的距离是4． ∵B表示2， ∴A表示为2﹣4＝﹣2或2+4＝6． 故选：B． 5、点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为（　　） A．7或﹣3 B．3或﹣7 C．3或﹣3 D．7或﹣7 【答案】B 【解答】解：向左移动5个单位长度对应的点表示﹣2﹣5＝﹣7，向右移动5个单位长度对应的点表示﹣2+5＝3， 故选：B． 6、如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：由图可知，被墨水盖住的整数为：﹣3，﹣2，1，2，3， 相加为﹣3+（﹣2）+1+2+3＝1； 故选：C 考点7 利用数轴比较有理数的大小 1、把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“”把这些数连接起来．                 【答案】作图见详解， 【分析】根据有理数与数轴的关系，将各数表示在数轴上，再根据数轴的特点即可求解． 【详解】解：将各数表示在数轴上，如图所示， ∴． 2、请画出数轴，把下列各数表示到数轴上，并将它们用“”连接起来． ，，，， 【答案】数轴见解析； 【分析】在数轴上表示各数，根据数轴右边的数大于左边的数，即可求解． 【详解】解：如图所示，    3、已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m n．（填“<”、“>”或“=”）    【答案】< 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【详解】解： 在n的左边， ， 故答案为：<． 学科网（北京）股份有限公司 $$