2.6应用一元二次方程 第2课时（课件）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.6 应用一元二次方程 第2课时 营销问题及平均变化率问题 第二章 一元二次方程 1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率 问题.（重点、难点） 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问 题解决问题的能力． 学习目标 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？ 导入新课 利用一元二次方程解决营销问题 例1 ：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900 - x）元，每台冰箱的销售利润为（2900- x -2500）元，平均每天销售冰箱的数量为 台，这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决. 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得 整理,得：x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程,得： x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元. 例2：某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时，能卖600件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？ 解析：销售利润=（每件售价-每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（40+x）元，销售量为（600-10x）件，根据等量关系列方程即可. 解：设每件商品涨价x元，根据题意，得 （40+ x - 30）（600 - 10x）= 10000. 即 x2 - 50x +400 = 0. 解得 x1 = 10，x2 = 40. 经检验, x1=10，x2=40都是原方程的解. 当x = 10时, 售价为: 40+10=50（元）, 销售量为: 600 - 10×10=500（件）. 当x = 40时, 售价为: 40+40=80（元）, 销售量为: 600 - 10×40=200（件）. ∵要尽量减少库存， ∴售价应为80元. 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株? 思考:这个问题设什么为x?有几种设法? 如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量? 如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？ 针对练习 整理，得 x2 - 3x + 2 = 0. 解这个方程,得 x1=1, x2=2. 经检验，x1=1 , x2 = 2 都符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株. 解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3 - 0.5x)元.根据题意,得. (x + 3)(3 - 0.5x) = 10. 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量 进价 单个利润 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 平均变化率问题与一元二次方程 填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 探究归纳 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 5000(1-x) 5000(1-x)2 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 例3 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 典例精析 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 下降率不能超过1. 注意 练一练 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为x，则 二月份营业额为：__________________. 三月份营业额为：_______________. 根据： . 作为等量关系列方程为： 200(1+x) 一月、二月、三月的营业额共950万元. 200(1+x)2 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过1. 平均变化率问题中常见概念 1.增长率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结归纳 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 1.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，某销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 分析:设台灯的售价因定位x元,则应进台灯为 600-10（x - 40）个,单个台灯的利润为（x-30）元,则每月总利润为（x - 30）(600 - 10 (x - 40) ). 当堂练习 解:设台灯的售价因定位x元.根据题意，得 （x - 30）(600 - 10 (x - 40) ) =10000. 整理,得： x2 - 130x + 4000 = 0 . 解得: x1 = 50 , x2= 80. 当x = 50 时 , 应进台灯数：600- 10（50 - 40）=500 （个）. 当x = 80 时 , 应进台灯数：600- 10（80 - 40）=200 （个）. 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 2.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 系数化为1得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%. 7200（1+x)2=8712 （1+x)2=1.21 1+x=1.1, 1+x=-1.1 x1=0.1, x2=-1.1, 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 教师讲解全等三角形时，通常会强调深化的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习分类思想不仅需要记忆公式，更需要掌握嵌入的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。概率分布的教学重点应该放在如何模拟化上。 解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; (2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 利用一元二次方程 解决营销问题 及平均变化率问题 营销问题 平均变化率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 课堂小结 (2)利润率＝×100%； $$